Uczysz innych? Poznaj LekcjeRazem.pl →
PP11

Odczytywanie własności funkcji i funkcje kawałkami — klucz maturalny, poziom podstawowy

PriorytetA+najwyższy zwrot z nauki
Częstotliwość6/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszuśr. 2,3 pkt (0–4)
Formy zadańwiązka zadań do jednego wykresu lub wzoru „klamrowego” (uzupełnij, ABCD, P/F)
🔑 Sygnał: Wykres → rzutuj na osie; kółko puste = wartości brak. Klamra → wynik musi leżeć w przedziale wzoru.

🎯 Co musisz umieć

  • odczytywać z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartości największą i najmniejszą,
  • rozwiązywać graficznie $f(x)=a$, $f(x)\gt a$, $f(x)\le a$,
  • interpretować puste i pełne kółka na końcach odcinków,
  • posługiwać się funkcją określoną kilkoma wzorami („klamrą”),
  • przesuwać i odbijać wykres: $f(x-p)+q$, $-f(x)$, $f(-x)$.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • wykres złożony z odcinków albo wzór z klamrą $\begin{cases}\dots\end{cases}$ i kilka poleceń do niego — to zawsze kilka punktów,
  • pytania „dziedziną jest…”, „zbiorem wartości jest…”, „funkcja jest malejąca w…”,
  • polecenie przyporządkowania wykresów funkcji $f(x+3)$, $f(-x)$ itp.

📘 Teoria w pigułce

  • Dziedzina — cień wykresu na osi $Ox$; zbiór wartości — cień na osi $Oy$.
  • Pełne kółko — punkt należy do wykresu; puste — nie należy (wartość może nie być osiągana!).
  • Miejsca zerowe — punkty wspólne wykresu z osią $Ox$; $f(x)\gt 0$ — część wykresu nad osią $Ox$.
  • Funkcja „klamrowa”: najpierw sprawdź, do którego przedziału należy $x$, dopiero potem wybierz wzór.
  • $y=f(x-p)+q$ — przesunięcie o $p$ w prawo i $q$ w górę; $y=-f(x)$ — symetria względem $Ox$; $y=f(-x)$ — względem $Oy$.

∑ Najważniejsze wzory

$g(x)=f(x-p)+q$: wektor $[p,q]$
$D_g=D_f$ przesunięta o $p$
$y=-f(x)$: $(x,y)\to(x,-y)$
$y=f(-x)$: $(x,y)\to(-x,y)$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Opisz wykres: końce odcinków (kółka pełne/puste) i punkty przecięcia z osiami.
  2. Dziedzina i zbiór wartości: rzutuj wykres na osie, uważaj na puste końce.
  3. Równanie/nierówność: narysuj poziomą prostą $y=a$ i odczytaj $x$, dla których wykres jest na niej / nad nią / pod nią.
  4. Przy wzorze klamrowym rozwiąż równanie w każdym przedziale osobno i sprawdź, czy wynik do niego należy.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ zbiór wartości $[-2,3]$ „od najniższego do najwyższego”✓ $[-2,2)\cup\{3\}$sprawdź, czy każda wartość jest osiągana
✗ $f(x-2)$ — przesunięcie w lewo✓ o $2$ w prawow nawiasie znak „odwrotnie”
✗ $x+3=3 \Rightarrow x=0$ „rozwiązanie”✓ $0\notin[-5,-1)$ — odrzucamywynik musi należeć do przedziału wzoru
✗ miejsca zerowe podane jako punkty $(4,0)$✓ miejsce zerowe to liczba $4$argument, nie punkt

✍️ Przykład wzorcowy typ zadań 12 z matur 2023 i 2026

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej na przedziale $[-4,5)$.
xy−5−4−3−2−1123456−2−112340
Podaj: a) zbiór wartości funkcji $f$, b) miejsca zerowe, c) zbiór rozwiązań nierówności $f(x)\le0$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2026zad. 12.1, 12.24 pktfunkcja $f$ określona dwoma wzorami: równanie $f(x)=3$, zbiór wartości, $f(x)\gt 1$
2025zad. 114 pktfunkcja trzema wzorami: wykres, wartości, liczba rozwiązań, $f(x)\ge0$
2024zad. 14.42 pktwykresy $g(x)=f(x+3)$ i $h(x)=f(-x)$
2023zad. 12.1–12.33 pktdziedzina, największa wartość, przedział monotoniczności z wykresu
2022zad. 9, 102 pktodczyt $f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)$; wykres $g$ zbudowanej z $f$
2021zad. 71 pkt$g(x)=f(x)-2$ — przesunięcie wykresu
2020—0 pktbrak zadania z tego klucza
Działy w serwisie:Monotoniczność funkcjiOdczytywanie własności funkcji z wykresu (1)Odczytywanie własności funkcji z wykresu (2)Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OX

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PP11.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$ (zadania PP11.1–PP11.9 dotyczą tej funkcji). Dziedziną funkcji $f$ jest

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
A$[-5,6]$
B$[-2,3]$
C$(-5,6)$
D$[-5,6)$
PP11.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
A$[-2,3]$
B$[-2,2)\cup\{3\}$
C$[-2,2]\cup\{3\}$
D$(-2,3]$
PP11.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Miejscami zerowymi funkcji $f$ są liczby

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
A$-3$ i $2$
Btylko $-3$
C$-3$ i $4$
D$3$ i $-4$
PP11.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Równanie $f(x)=3$

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
Ama dokładnie jedno rozwiązanie
Bma dokładnie dwa rozwiązania
Cnie ma rozwiązań
Dma nieskończenie wiele rozwiązań
PP11.5zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $[0,5]$ jest równa

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
A$-1$
B$3$
C$-2$
D$0$
PP11.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
A$[-5,-1)$
B$[2,6]$
C$[-1,2]$
D$[-1,6]$
PP11.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\gt 0$ jest

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
A$(-3,-1)\cup(2,4)$
B$[-3,4]$
C$(-3,4)$
D$(-5,6)$
PP11.8prawda / fałsz★★★ 0–1 pkt🔗

Oceń prawdziwość stwierdzeń dotyczących funkcji $f$.

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
  1. $f(-2)+f(5)=0$.
  2. Funkcja $f$ przyjmuje wartość $2$ dla dokładnie dwóch argumentów.

Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.

P/P1. P, 2. P
P/F1. P, 2. F
F/P1. F, 2. P
F/F1. F, 2. F
PP11.9odpowiedź krótka★★★ 0–2 pkt🔗

Funkcja $g$ jest określona wzorem $g(x)=f(x-2)$. Podaj dziedzinę funkcji $g$ oraz jej miejsca zerowe.

xy−6−5−4−3−2−11234567−3−2−112340y = f(x)
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PP11.10otwarte★★★ 0–4 pkt🔗

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\begin{cases}2x+6 & \text{dla } x\in[-4,-1)\\ 4 & \text{dla } x\in[-1,1]\\ -2x+6 & \text{dla } x\in(1,4]\end{cases}$
a) Podaj zbiór wartości funkcji $f$. b) Podaj liczbę rozwiązań równania $f(x)=2$. c) Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności $f(x)\ge0$. d) Podaj wszystkie argumenty, dla których $f$ przyjmuje wartość największą.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
PP11.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dla $f(x)=-3x+7$ wartość $f(2)$ jest równa

A$13$
B$-1$
C$4$
D$1$
PP11.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Miejscem zerowym funkcji $f(x)=x-4$ jest

A$4$
B$-4$
C$0$
D$1$
PP11.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dla $f(x)=x^2+3$ wartość $f(0)$ jest równa

A$0$
B$3$
C$9$
D$6$
PP11.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Dla $f(x)=-x+2$ wartość $f(2)$ jest równa

A$4$
B$-2$
C$0$
D$2$
PP11.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Dla $f(x)=x^2-1$ oblicz $f(2)$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura podstawowa

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1,3 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 6,1 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3,5 MB ⬇
LekcjeRazem.pl — prowadź korepetycje profesjonalnie. Tablica online, grafik, rozliczenia i AI w jednym miejscu. Sprawdź LekcjeRazem.pl.
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas