40 kluczy, 600 zadań z rozwiązaniami. Arkusz rozszerzony ma 50 pkt (1 pkt = 2% wyniku); wszystkie zadania są otwarte — tak samo było w Formule 2015 (2020–2022).
Sygnał rozpoznawczy i najważniejsze wzory każdego klucza. Przejrzyj ją przed maturą.
| PR01 | Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Dziedzina → wspólna podstawa lub podstawienie → porównanie (podstawa $\lt 1$ odwraca znak). |
$\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$ $a^{\log_ab}=b$ $N(t)=N_0\cdot k^t$ |
| PR02 | Dowody algebraiczne i nierówności Wszystko na jedną stronę → rozkład z $(a-b)^2$ → znak każdego czynnika → wniosek. |
$(a-b)^2\ge0$ $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ ($a,b\ge0$) $x+\dfrac1x\ge2$ ($x\gt 0$) |
| PR03 | Wartość bezwzględna — równania i nierówności Miejsca zerowe pod modułami → przedziały → rozwiązanie ∩ przedział → suma. |
$\sqrt{a^2}=|a|$ $|f|\lt a \iff -a\lt f\lt a$ $|f|=|g| \iff f=\pm g$ |
| PR04 | Wielomiany i nierówności wymierne Pierwiastek z dzielników wyrazu wolnego → Horner → wężyk. Ułamki: wspólny mianownik, nie mnożyć! |
$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$ $R(x)=ax+b$ przy dzielniku stopnia $2$ $\dfrac fg\ge0 \iff fg\ge0,\ g\ne0$ |
| PR05 | Ciągi arytmetyczne i geometryczne — zadania łączone Wszystko przez $a_1$ i $r$ (lub środkowy wyraz) → $b^2=ac$ / $2b=a+c$ → równanie → odrzuć sprzeczne. |
$a_n=a_1+(n-1)r$ $a_n=a_1q^{n-1}$ $2b=a+c$ |
| PR06 | Szereg geometryczny nieskończony Najpierw $|q|\lt 1$. Suma $\frac{a_1}{1-q}$. Rozważ $q$ dodatnie i ujemne. |
$S=\dfrac{a_1}{1-q}$, $|q|\lt 1$ $0{,}(a)=\dfrac a9$, $0{,}(ab)=\dfrac{ab}{99}$ pola: iloraz $k^2$ |
| PR07 | Granice ciągów i funkcji $\frac\infty\infty$ → najwyższa potęga; $\frac00$ → skróć; $\frac c0$ → znak mianownika. |
$\lim\dfrac{a_kn^k}{b_kn^k}=\dfrac{a_k}{b_k}$ $\sqrt A-B=\dfrac{A-B^2}{\sqrt A+B}$ $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ |
| PR08 | Kombinatoryka rozszerzona Kolejność? powtórzenia? → wzór. Zero z przodu i sąsiedztwo — odejmij lub sklej. |
$n!$ $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ $\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ |
| PR09 | Prawdopodobieństwo: klasyczne, warunkowe, Bernoulli Nazwij model: klasyczny / Bernoulli / warunkowy / drzewo. Zapisz wzór z liczbami, potem licz. |
$\binom nk p^kq^{n-k}$ $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ $P(A)=\sum P(A|B_i)P(B_i)$ |
| PR10 | Tożsamości trygonometryczne Rozpisz kąty podwojone, sumy zamień na iloczyny, wszystko przez sin i cos. |
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ |
| PR11 | Równania trygonometryczne Wyłącz, nie dziel. Jednorodne → $\operatorname{tg} x$. Sinus: dwie serie. Na końcu przedział. |
$\sin2x=2\sin x\cos x$ $\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$ $\sin a+\sin b=2\sin\tfrac{a+b}2\cos\tfrac{a-b}2$ |
| PR12 | Planimetria z twierdzeniem sinusów i cosinusów Bok–kąt–bok → cosinusów; kąt naprzeciw boku + $R$ → sinusów. Sinus kąta daje dwa kąty. |
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$ $\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$ $P=\tfrac12ab\sin\gamma$ |
| PR13 | Okręgi i czworokąty wpisane/opisane Wpisany: kąty do $180^\circ$. Opisany: sumy boków. Przekątna + tw. cosinusów w dwóch trójkątach. |
$\alpha+\gamma=180^\circ$ $a+c=b+d$ $R=\dfrac{abc}{4P}$ |
| PR14 | Geometria analityczna: proste, punkty, pola Brak współrzędnych? Wprowadź układ. Prostopadłość = iloczyn skalarny 0. Pole = ½|wyznacznik|. |
$d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ $P=\tfrac12|u_1v_2-u_2v_1|$ $\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2$ |
| PR15 | Okrąg w układzie współrzędnych Postać kanoniczna → $S$, $r$. Styczność: $d=r$. Dwa okręgi: odejmij równania. |
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ $r^2=a^2+b^2-c$ $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ |
| PR16 | Stereometria rozszerzona Ustal spodek wysokości. Kąt = kąt w nazwanym trójkącie. Kąt dwuścienny — wysokości z jednego punktu krawędzi. |
$V=\tfrac13P_pH$ $R=\tfrac{a\sqrt3}3,\ r=\tfrac{a\sqrt3}6$ $\cos\varphi=\dfrac{h_1^2+h_2^2-d^2}{2h_1h_2}$ |
| PR17 | Parametr, funkcja kwadratowa i wzory Viète’a $a\ne0$ → $\Delta\gt 0$ → warunek przez Viète’a → część wspólna. |
$x_1+x_2=-\dfrac ba$ $x_1x_2=\dfrac ca$ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ |
| PR18 | Pochodna, monotoniczność i ekstrema Pochodna → rozkład → znak → monotoniczność i ekstrema. Styczna: $f^\prime(x_0)$ i punkt. |
$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$ $\left(\dfrac fg\right)^\prime=\dfrac{f^\prime g-fg^\prime}{g^2}$ $y=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ |
| PR19 | Optymalizacja z pochodną Model + dziedzina → pochodna → znak → ekstremum globalne → pełna odpowiedź. |
$\left(\dfrac fg\right)^\prime=\dfrac{f^\prime g-fg^\prime}{g^2}$ $V_{\text{stożka}}=\tfrac13\pi r^2h$ $P=\tfrac12ah$ |
| PR20 | Dowód geometryczny i zadania mieszane Rysunek + założenia. Most: kąty, podobieństwo, wspólna wysokość, tw. sinusów lub współrzędne. |
$\dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{a_1}{a_2}$ (wspólna $h$) $\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R$ $\sin a+\sin b=2\sin\tfrac{a+b}2\cos\tfrac{a-b}2$ |
| PR21 | Rownania i nierownosci logarytmiczne Najpierw dziedzina (argumenty $>0$), potem sprowadz do jednego logarytmu i porownaj argumenty. |
$\log_a f(x)=c\iff f(x)=a^c$ $\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$ $\log_a x-\log_a y=\log_a\tfrac{x}{y}$ |
| PR22 | Równania i nierówności wykładnicze Sprowadź obie strony do potęgi o tej samej podstawie i porównaj wykładniki. |
$a^x=a^k\iff x=k$ $a^{x+y}=a^x a^y$ $a^{-x}=\tfrac{1}{a^x}$ |
| PR23 | Nierówności wymierne Przenieś wszystko na jedną stronę, sprowadź do jednego ułamka i analizuj znak licznika i mianownika. |
$\tfrac{a}{b}>0\iff ab>0$ dziedzina: mianownik $\ne0$ $(x-p)(x-q)>0$ - poza $\langle p,q\rangle$ |
| PR24 | Nierówności wielomianowe Rozłóż na czynniki, znajdź pierwiastki i analizuj znak na osi (metoda 'wężyka'). |
$(x-p)(x-q)>0$ - poza $\langle p,q\rangle$ $(x-p)(x-q)<0$ - między $p$ a $q$ $(x-a)^2\ge0$ zawsze |
| PR25 | Funkcja kwadratowa z parametrem Warunki na $\Delta$ decydują o liczbie rozwiązań; wzory Viete'a wiążą sumę i iloczyn pierwiastków. |
$\Delta=b^2-4ac$ $\Delta>0$ - dwa pierwiastki $\Delta=0$ - jeden pierwiastek |
| PR26 | Wzory Viete'a w zadaniach $x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}$, $x_1 x_2=\tfrac{c}{a}$ - licz sumy i iloczyny pierwiastków bez ich wyznaczania. |
$x_1+x_2=-\tfrac{b}{a}$ $x_1 x_2=\tfrac{c}{a}$ $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ |
| PR27 | Granice ciągów Dziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$; wyrazy z niższą potęgą dążą do $0$. |
$\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0$ $\lim\tfrac{an+b}{cn+d}=\tfrac{a}{c}$ $\lim\tfrac{c}{n^k}=0$ |
| PR28 | Granice funkcji w punkcie Podstaw punkt; przy symbolu $\tfrac00$ skróć wspólny czynnik (rozkład na czynniki). |
$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ (gdy ciągła) $\dfrac{x^2-a^2}{x-a}=x+a$ $\tfrac00$ - symbol nieoznaczony |
| PR29 | Pochodna funkcji w punkcie Pochodna to wspolczynnik kierunkowy stycznej; policz $f'(x)$ i podstaw punkt. |
$(x^n)'=nx^{n-1}$ $(c)'=0$ $(cx)'=c$ |
| PR30 | Dzialania na pochodnych Pochodna sumy = suma pochodnych; stala wynosisz przed pochodna. |
$(x^n)'=nx^{n-1}$ $(cf)'=c f'$ $(f+g)'=f'+g'$ |
| PR31 | Monotonicznosc i ekstrema z pochodnej $f'>0$ -> funkcja rosnie, $f'<0$ -> maleje; ekstremum tam, gdzie $f'$ zmienia znak. |
$f'(x)>0\Rightarrow$ rosnie $f'(x)<0\Rightarrow$ maleje ekstremum: $f'(x_0)=0$ i zmiana znaku |
| PR32 | Wartosc najwieksza i najmniejsza funkcji Sprawdz wartosci w miejscach zerowych pochodnej i na koncach przedzialu. |
kandydaci: $f'(x)=0$ oraz konce $p=-\tfrac{b}{2a}$ (wierzcholek) najwieksza $=\max$ wartosci |
| PR33 | Równania trygonometryczne - poziom rozszerzony Sprowadź do postaci $\sin x=a$ lub $\cos x=a$ i skorzystaj z wartości podstawowych oraz przedziału. |
$\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$ $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$ $\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac12$ |
| PR34 | Wzory na kąt podwojony i sumy trygonometryczne $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha=\cos^2\!\alpha-\sin^2\!\alpha$ - upraszczają wyrażenia. |
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ $\cos 2\alpha=\cos^2\!\alpha-\sin^2\!\alpha$ $\cos 2\alpha=1-2\sin^2\!\alpha$ |
| PR35 | Twierdzenie sinusów $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=2R$ - wiąże bok z sinusem kąta naprzeciwległego. |
$\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$ $2R=\dfrac{a}{\sin\alpha}$ $a=2R\sin\alpha$ |
| PR36 | Twierdzenie cosinusów $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ - uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny kąt. |
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ $\gamma=90^\circ\Rightarrow c^2=a^2+b^2$ $\cos60^\circ=\tfrac12$ |
| PR37 | Okrąg wpisany i opisany na czworokącie Czworokąt wpisany w okrąg: przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$; opisany: sumy przeciwległych boków równe. |
wpisany: $\alpha+\gamma=180^\circ$ wpisany: $\beta+\delta=180^\circ$ opisany: $a+c=b+d$ |
| PR38 | Pole trojkata w ukladzie wspolrzednych Pole liczysz ze wzoru wyznacznikowego lub jako $\tfrac12\cdot$podstawa$\cdot$wysokosc, gdy bok jest poziomy/pionowy. |
$P=\tfrac12|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|$ $P=\tfrac12 a h$ $|AB|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ |
| PR39 | Kąty i trygonometria w stereometrii Przekątna ściany sześcianu to $a\sqrt2$, przekątna sześcianu to $a\sqrt3$; kąty licz z trójkąta prostokątnego. |
przekątna ściany: $a\sqrt2$ przekątna sześcianu: $a\sqrt3$ prostopadłościan: $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ |
| PR40 | Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ - prawdopodobieństwo $A$ pod warunkiem, że zaszło $B$. |
$P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ $P(A\cap B)=P(A|B)P(B)$ $P=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$ |
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.