Układy równań i zadania tekstowe — klucz maturalny, poziom podstawowy

1. Dodajemy równania stronami: $2x=10 \Rightarrow x=5$.
2. $y=7-5=2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B i D spełniają tylko pierwsze równanie; C — tylko pierwsze ($4-3\ne3$).

1. Z pierwszego: $y=5-2x$.
2. $3x-2(5-2x)=4 \Rightarrow 7x-10=4 \Rightarrow x=2$, $y=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A i C spełniają tylko pierwsze równanie — zawsze sprawdzaj oba.

1. Podstawiamy $y$: $4x-2(2x-1)=2 \Rightarrow 2=2$ — tożsamość.
2. Oba równania opisują tę samą prostą, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — układ równań liniowych nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań.

1. Proste $y=-x+3$ i $y=-x-1$ mają ten sam współczynnik kierunkowy $-1$ i różne wyrazy wolne.
2. Są więc równoległe i różne — układ jest sprzeczny.

Odpowiedź: D

1. Brak rozwiązań ⇔ proste równoległe i różne: $1\cdot a-2\cdot2=0 \Rightarrow a=4$.
2. Dla $a=4$: drugie równanie to $x+2y=\tfrac12$, a pierwsze $x+2y=4$ — sprzeczność ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — dla $a=2$ proste się przecinają (współczynniki nie są proporcjonalne).

1. Łącznie: $x+y=1500$.
2. Zostało: w pierwszym $0{,}8x$, w drugim $0{,}9y$; w drugim o $350$ mniej: $0{,}9y=0{,}8x-350$.
3. (Rozwiązanie: $x=1000$, $y=500$; sprawdzenie: $800-450=350$ ✓.)

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — porównano ilości sprzedane, a nie pozostałe; C — zamienione procenty; D — „o 350 mniej” zapisane jak „więcej”.

1. $d$ — cena długopisu, $z$ — zeszytu: $\begin{cases}3d+2z=17\\ 2d+5z=26\end{cases}$
2. Mnożymy: pierwsze przez $2$, drugie przez $3$: $6d+4z=34$, $6d+15z=78$.
3. Odejmujemy: $11z=44 \Rightarrow z=4$; $3d=17-8 \Rightarrow d=3$.

Odpowiedź: długopis $3$ zł, zeszyt $4$ zł

1. $\begin{cases}a+b=40\\ a-b=8\end{cases} \Rightarrow 2a=48$, $a=24$, $b=16$.
2. 1. Większa liczba to $24$ — prawda.
3. 2. Iloczyn: $24\cdot16=384\ne400$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $n$ — bilety normalne, $u$ — ulgowe: $\begin{cases}n+u=200\\ 40n+25u=6800\end{cases}$
2. $u=200-n$: $40n+5000-25n=6800 \Rightarrow 15n=1800 \Rightarrow n=120$, $u=80$.
3. Sprawdzenie: $4800+2000=6800$ ✓.

Odpowiedź: $120$ normalnych i $80$ ulgowych

1. $v$ — prędkość (km/h), $t$ — czas (h): $\begin{cases}v\cdot t=240\\ (v+20)(t-1)=240\end{cases}$
2. Rozwijamy drugie: $vt-v+20t-20=240 \Rightarrow 240-v+20t-20=240 \Rightarrow v=20t-20$.
3. Podstawiamy do $vt=240$: $(20t-20)t=240 \Rightarrow t^2-t-12=0 \Rightarrow (t-4)(t+3)=0$.
4. $t\gt 0$, więc $t=4$ h i $v=60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$. Sprawdzenie: $80\cdot3=240$ ✓.

Odpowiedź: $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$

1. Dodając równania: $2x=6\Rightarrow x=3$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to $y$.

1. $2x+3=7\Rightarrow x=2$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.

1. $x=\tfrac{10+4}{2}=7$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.

1. $3y+y=8\Rightarrow y=2$, $x=6$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to $y$.

1. Dodając: $2x=8\Rightarrow x=4$.
2. $y=6-4=2$.

Odpowiedź: $x=4$, $y=2$