Matematyka — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Przykład: $2+3\cdot4^2=2+3\cdot16=2+48=50$.
$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r\lt b$$
gdzie $a$ — dzielna, $b$ — dzielnik, $q$ — iloraz, $r$ — reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.
Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$.
O zaokrągleniu decyduje pierwsza cyfra odrzucana. Jeśli jest mniejsza niż $5$ — zaokrąglamy w dół, jeśli $5$ lub więcej — w górę.
Przykład: $3\,748$ do setek → cyfra dziesiątek to $4$, więc $3\,700$.
$I=1$, $V=5$, $X=10$, $L=50$, $C=100$, $D=500$, $M=1000$. Znak mniejszy przed większym oznacza odejmowanie: $IV=4$, $IX=9$, $XL=40$.
Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — liczymy je po kolei od lewej: $24:4\cdot2=6\cdot2=12$, a nie $24:8=3$. Podobnie dodawanie i odejmowanie.
$$\text{ostry}\lt 90^\circ,\quad \text{prosty}=90^\circ,\quad 90^\circ\lt \text{rozwarty}\lt 180^\circ$$
$$\text{półpełny}=180^\circ,\qquad \text{pełny}=360^\circ$$
Kąt prosty nie jest ani ostry, ani rozwarty — to granica między nimi.
Ze względu na boki: równoboczny, równoramienny, różnoboczny. Ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny.
Suma kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$.
$$P_{\square}=a\cdot b,\qquad Ob_{\square}=2(a+b)$$
$$P_{kw}=a^2,\qquad Ob_{kw}=4a$$
Kwadrat ma $4$ osie symetrii, prostokąt (niebędący kwadratem) — $2$.
$$1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2,\qquad 1\ \text{cm}^2=100\ \text{mm}^2$$
Przy zamianie jednostek pola przelicznik podnosimy do kwadratu.
Przed obliczeniem pola sprowadź wszystkie boki do tej samej jednostki. Pole podajemy w jednostkach kwadratowych, obwód w zwykłych.
W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik (ile części bierzemy), a $b$ to mianownik (na ile części podzielono całość). Mianownik nigdy nie może być zerem.
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.
Dzieląc lub mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymujemy ułamek równy wyjściowemu:
$$\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3},\qquad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$$
Ułamek jest nieskracalny, gdy $\mathrm{NWD}$ licznika i mianownika wynosi $1$.
Ułamki o różnych mianownikach sprowadzamy do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki. Przykład: $\frac34=\frac68$, a $\frac68>\frac58$.
Mianownik $10$, $100$, $1000$ zapisujemy przecinkiem:
$$\frac{3}{10}=0{,}3,\qquad \frac{25}{100}=0{,}25=\frac14$$
Skracać wolno tylko przez wspólny dzielnik licznika i mianownika — nie wolno skreślać pojedynczych cyfr. W $\frac{16}{64}$ przypadkowe skreślenie szóstek daje poprawny wynik $\frac14$, ale to zbieg okoliczności, a nie metoda.
Mnożymy od prawej strony, cyfra po cyfrze, przenosząc nadmiar do następnej kolumny.
Przykład: $234\cdot6$
$$234\cdot6=1404$$
Dzielimy od lewej strony, zabierając kolejne cyfry dzielnej.
Przykład: $852:4$
$$852:4=213$$
Wynik zawsze warto sprawdzić mnożeniem: $213\cdot4=852$.
Siedem podstawowych znaków:
$$I=1,\quad V=5,\quad X=10,\quad L=50,\quad C=100,\quad D=500,\quad M=1000$$
Przykład: $MMXXVI=1000+1000+10+10+5+1=2026$.
Przy mnożeniu pisemnym najczęstszym błędem jest zgubienie przeniesienia — warto zapisywać je drobną cyfrą nad kolumną. Przy zapisie rzymskim uważaj na kolejność: $XL$ to $40$, ale $LX$ to już $60$.
W każdym trójkącie zachodzi:
$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
Dlatego znając dwa kąty, trzeci zawsze obliczymy odejmowaniem. Przykład: gdy $\alpha=50^\circ$ i $\beta=60^\circ$, to $\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ$.
Trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty — dwa takie kąty przekroczyłyby już sumę $180^\circ$.
W trójkącie równoramiennym równe są kąty przy podstawie, a nie dowolne dwa. Jeśli kąt między ramionami ma $40^\circ$, to na dwa pozostałe zostaje $140^\circ$, czyli po $70^\circ$ każdy.
W ułamku $\frac{a}{b}$ liczba $a$ to licznik — mówi, ile części bierzemy. Liczba $b$ to mianownik — mówi, na ile równych części podzielono całość. Mianownik nigdy nie może być zerem.
$$a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c}$$
Przykład: $3\frac14=\frac{3\cdot4+1}{4}=\frac{13}{4}$.
Dzielimy licznik przez mianownik z resztą. Wynik dzielenia to część całkowita, a reszta staje się nowym licznikiem.
Przykład: $22:7=3$ reszty $1$, więc $\frac{22}{7}=3\frac17$.
$$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}$$
Działamy tylko na licznikach — mianownik przepisujemy bez zmian. Przykład: $\frac49+\frac29=\frac69=\frac23$.
Liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek o tym samym mianowniku: $1=\frac{c}{c}$.
Przykład: $1-\frac27=\frac77-\frac27=\frac57$.
Najczęstszy błąd to dodawanie mianowników — $\frac13+\frac13$ to $\frac23$, a nie $\frac26$. Mianownik opisuje rozmiar części i przy dodawaniu takich samych części się nie zmienia. Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej.
Najpierw dodajemy pełne godziny, potem minuty. Gdy minut wyjdzie $60$ lub więcej, zamieniamy je na godzinę.
Przykład: $16{:}30$ plus $105$ minut. Najpierw $105$ min $=1$ h $45$ min. Potem $16{:}30+1$ h $=17{:}30$, a $17{:}30+45$ min $=18{:}15$.
Wygodnie liczyć „przez pełną godzinę”: najpierw ile brakuje do pełnej godziny, potem ile zostaje.
Przykład: od $14{:}50$ do $15{:}20$ — do pełnej godziny $10$ minut, potem jeszcze $20$ minut, razem $30$ minut.
Po $31$ dni mają: styczeń, marzec, maj, lipiec, sierpień, październik, grudzień. Po $30$ dni: kwiecień, czerwiec, wrzesień, listopad. Luty ma $28$ dni, a w roku przestępnym $29$.
Rok jest przestępny, gdy dzieli się przez $4$. Wyjątkiem są pełne stulecia — te muszą dzielić się przez $400$. Dlatego rok $2000$ był przestępny, a $1900$ nie.
Aby ustalić dzień tygodnia za $n$ dni, dzielimy $n$ przez $7$ i liczy się tylko reszta. Przykład: za $10$ dni od poniedziałku — $10:7=1$ reszty $3$, więc przesuwamy się o $3$ dni do czwartku.
Kwoty zapisujemy z dwoma miejscami po przecinku, a przy dodawaniu i odejmowaniu wyrównujemy przecinki, nie ostatnie cyfry: $50{,}00-34{,}60=15{,}40$ zł.
Czas nie jest zapisem dziesiętnym — $2{,}5$ godziny to $2$ h $30$ min, a nie $2$ h $50$ min. Ułamek godziny mnożymy przez $60$, a nie przez $100$. Zapis $10{:}75$ nie istnieje, bo minut nie może być więcej niż $59$.
Obwód to długość linii dookoła figury — mierzymy ją w centymetrach, metrach, kilometrach. Pole to wielkość powierzchni wewnątrz figury — mierzymy je w jednostkach kwadratowych: cm$^2$, m$^2$.
Dobre skojarzenie: obwód to długość płotu wokół działki, a pole to ilość trawy w środku.
$$O_{\text{kwadratu}}=4a,\qquad P_{\text{kwadratu}}=a\cdot a$$
$$O_{\text{prostokąta}}=2a+2b=2(a+b),\qquad P_{\text{prostokąta}}=a\cdot b$$
Prostokąt $9$ cm na $4$ cm: obwód $2(9+4)=26$ cm, pole $9\cdot4=36$ cm$^2$.
Znając obwód kwadratu, bok znajdujemy dzieleniem: $a=O:4$. Znając pole prostokąta i jeden bok, drugi bok to $b=P:a$.
Przelicznik jednostek pola jest kwadratem przelicznika długości:
Figurę o dziwnym kształcie dzielimy na prostokąty i dodajemy ich pola — albo uzupełniamy do dużego prostokąta i odejmujemy to, czego brakuje.
Przy obwodzie figury złożonej z kilku sklejonych kwadratów pamiętaj: boki stykowe leżą wewnątrz i nie liczą się do obwodu.
Spośród wszystkich prostokątów o tym samym obwodzie największe pole ma kwadrat. Przy obwodzie $20$ cm prostokąt $7\times3$ ma pole $21$ cm$^2$, a kwadrat o boku $5$ — aż $25$ cm$^2$.
Dwa najczęstsze błędy: podanie pola tam, gdzie pytano o obwód (i odwrotnie), oraz przeliczanie jednostek pola tak jak długości — $1$ m$^2$ to $10\,000$ cm$^2$, a nie $100$.
Przykład: $2+3\cdot4=2+12=14$. Liczenie po kolei od lewej dałoby błędne $20$ — to najczęstsza pomyłka w tym dziale.
Mnożymy przez każdą cyfrę drugiego czynnika osobno, przesuwając kolejne wyniki o jedno miejsce w lewo, a na końcu dodajemy.
Przykład: $128\cdot25$. Liczymy $128\cdot5=640$ oraz $128\cdot20=2560$, w sumie $3200$.
Sprytniej: $25=100:4$, więc $128\cdot25=12\,800:4=3200$.
Dzielimy od najstarszej cyfry, zapisując reszty. Przykład: $748:4$ — kolejno $7:4=1$ r. $3$, potem $34:4=8$ r. $2$, wreszcie $28:4=7$. Wynik: $187$.
Sprawdzenie zawsze przez mnożenie: $187\cdot4=748$ ✔
$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r\lt b$$
Litera $q$ to iloraz, $r$ to reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika — gdyby była równa lub większa, można by wykonać jeszcze jedno pełne dzielenie.
Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$.
Znając dzielnik, iloraz i resztę, odzyskujemy liczbę ze wzoru wyżej. Dla dzielnika $9$, ilorazu $12$ i reszty $5$: $9\cdot12+5=113$.
Uwaga na interpretację. Przy $180$ uczniach i autokarach na $52$ miejsca $180:52=3$ r. $24$ — ale trzeba zamówić cztery autokary, bo dwudziestu czterech uczniów nie zostawimy. W innych zadaniach (np. „ile pełnych pudełek”) resztę się odrzuca. Zawsze decyduje treść.
Przed zapisaniem wyniku warto go oszacować: $27\cdot24$ to mniej więcej $27\cdot25=675$, więc wynik $648$ jest wiarygodny, a np. $6480$ od razu wyglądałby podejrzanie.
Trzy klasyczne błędy: liczenie od lewej bez uwzględnienia pierwszeństwa mnożenia, zgubienie przeniesienia przy mnożeniu pisemnym oraz podanie reszty większej od dzielnika.
Liczby zapisujemy dziesięcioma cyframi: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji), na którym stoi.
Kolejne pozycje od prawej to jedności, dziesiątki, setki, tysiące. W liczbie $3572$ mamy $3$ tysiące, $5$ setek, $7$ dziesiątek i $2$ jedności.
$$3572=3\cdot1000+5\cdot100+7\cdot10+2$$
Zero „trzyma" puste miejsce i zmienia wartość: $50$ to inna liczba niż $5$.
Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym punktem $0$, obraną jednostką i zwrotem. Każdej liczbie odpowiada dokładnie jeden punkt osi.
Odcinek między $0$ a $1$ to jednostka. Kolejne liczby $2,3,4,\ldots$ odkładamy co jednostkę, idąc w prawo.
Im dalej w prawo, tym większa liczba. Punkt liczby $5$ leży na prawo od punktu liczby $3$, dlatego $5>3$.
Oś liczbowa pomaga porównywać liczby oraz zaznaczać i odczytywać wyniki.
Używamy znaków: $\lt $ (mniejsze), $>$ (większe) oraz $=$ (równe). Na przykład $7>4$ oraz $3\lt 9$.
Większa jest liczba, która ma więcej cyfr. Przy tej samej liczbie cyfr porównujemy od lewej pierwszą różniącą się cyfrę.
$$253\lt 261$$ bo setki są równe ($2=2$), a wśród dziesiątek $5\lt 6$.
Liczba większa leży dalej w prawo na osi liczbowej.
Zaokrąglenie zastępuje liczbę bliską wartością „okrągłą", wygodniejszą w szacowaniu i szybkich rachunkach.
Patrzymy na cyfrę na pozycji niższej niż zaokrąglana. Cyfry $0,1,2,3,4$ zaokrąglają w dół, a $5,6,7,8,9$ — w górę.
$$47\approx50\ (\text{do dziesiątek}),\qquad 430\approx400\ (\text{do setek})$$
Zawsze zaokrąglamy do wskazanego rzędu: dziesiątek, setek, tysięcy.
Zapisujemy liczby jedną pod drugą: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Działanie wykonujemy od prawej strony.
Gdy suma cyfr w kolumnie jest równa co najmniej $10$, przenosimy jedną dziesiątkę do następnej kolumny w lewo.
Przy odejmowaniu, gdy cyfra u góry jest za mała, pożyczamy dziesiątkę z sąsiedniej kolumny.
Odejmowanie sprawdzamy dodawaniem: jeśli $a-b=c$, to $c+b=a$.
Ułamek $\frac{a}{b}$ opisuje część całości. Licznik $a$ mówi, ile części bierzemy, a mianownik $b$ — na ile równych części podzielono całość.
$\frac{3}{4}$ to trzy z czterech równych części — tort pokrojony na $4$ kawałki, z których bierzemy $3$.
Mianownik nie może być zerem. Im większy mianownik, tym drobniejsze części.
Ułamek $\frac{b}{b}=1$, na przykład $\frac{4}{4}$ to jedna cała.
Ułamek dziesiętny zapisujemy z przecinkiem, np. $0{,}7$ lub $3{,}25$. Cyfry po przecinku oznaczają części dziesiąte, setne, tysięczne.
$$0{,}7=\frac{7}{10},\qquad 0{,}25=\frac{25}{100}$$
Pierwsza cyfra po przecinku to części dziesiąte, druga — setne. W liczbie $3{,}25$ są $2$ dziesiąte i $5$ setnych.
Ułamki dziesiętne spotykamy w cenach i pomiarach, np. $2{,}50$ zł.
Gdy mianowniki są równe, większy jest ułamek o większym liczniku: $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$.
Gdy liczniki są równe, większy jest ułamek o mniejszym mianowniku, bo części są większe: $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$.
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a potem porównujemy liczniki.
$\frac{b}{b}=1$. Ułamek mniejszy od $1$ ma licznik mniejszy od mianownika.
Punkt oznaczamy wielką literą, np. $A$. Prosta jest nieograniczona w obie strony i nie ma końców.
Półprosta ma początek (jeden koniec) i biegnie nieskończenie w jedną stronę.
Odcinek $AB$ ma dwa końce i określoną długość, którą można zmierzyć linijką.
Dwie proste mogą być równoległe (nie przecinają się) albo przecinać się w jednym punkcie.
Prostokąt ma cztery kąty proste. Przeciwległe boki są równe i równoległe.
Kwadrat to prostokąt, którego wszystkie boki są równe — ma $4$ równe boki i $4$ kąty proste.
Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$: $2\cdot(a+b)$. Obwód kwadratu o boku $a$: $4\cdot a$.
Pole prostokąta: $P=a\cdot b$. Pole kwadratu: $P=a\cdot a=a^2$.
Ułamki dziesiętne dodajemy i odejmujemy pisemnie, podpisując przecinek pod przecinkiem. Wtedy jedności stoją pod jednościami, a części dziesiąte pod dziesiątymi.
Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, dopisujemy zera na końcu, np. $3{,}5=3{,}50$.
$$3{,}50+1{,}25=4{,}75$$
Przecinek w wyniku stawiamy dokładnie pod przecinkami składników.
Okrąg to linia zamknięta — zbiór punktów jednakowo odległych od środka. Ta odległość to promień $r$.
Koło to okrąg wraz z jego wnętrzem. Brzegiem koła jest okrąg.
Promień $r$ łączy środek z okręgiem, a średnica $d$ przechodzi przez środek. Zachodzi $d=2r$.
Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu; najdłuższą cięciwą jest średnica.
Kąty mierzymy w stopniach. Pełny obrót to $360^\circ$, kąt półpełny $180^\circ$, a kąt prosty $90^\circ$.
Do mierzenia używamy kątomierza: środek przykładamy do wierzchołka kąta, a podstawę do jednego z ramion.
Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$, prosty równo $90^\circ$, a rozwarty od $90^\circ$ do $180^\circ$.
Kąt $45^\circ$ to połowa kąta prostego.
Porównujemy cyfry na tych samych miejscach, zaczynając od najważniejszego: części całkowite, potem dziesiąte, setne.
Możemy dopisać zera, aby ułamki miały tyle samo cyfr po przecinku: $0{,}5$ i $0{,}50$ to ta sama liczba.
$$0{,}7>0{,}65$$ bo wśród części dziesiątych $7>6$.
Więcej cyfr po przecinku nie oznacza większej liczby: $0{,}5>0{,}45$.
Potęga to skrócony zapis mnożenia jednakowych czynników: $a^n=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a$ ($n$ czynników).
W zapisie $a^n$ liczba $a$ to podstawa, a $n$ to wykładnik. $a^2$ czytamy „a do kwadratu", $a^3$ „a do sześcianu".
$$2^3=2\cdot2\cdot2=8,\qquad 5^2=25$$
Każda liczba do potęgi pierwszej równa się sobie: $a^1=a$.
$1\,\text{cm}=10\,\text{mm}$, $1\,\text{m}=100\,\text{cm}$, $1\,\text{km}=1000\,\text{m}$.
$1\,\text{dag}=10\,\text{g}$, $1\,\text{kg}=1000\,\text{g}$, $1\,\text{t}=1000\,\text{kg}$.
Na jednostki mniejsze mnożymy, a na większe dzielimy. Np. $3\,\text{m}=300\,\text{cm}$.
$2\,\text{kg}=2000\,\text{g}$, a $500\,\text{cm}=5\,\text{m}$.
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki.
Przykład: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$.
Potęga to iloczyn $n$ jednakowych czynników.
Przykład: $2^5=32$, $(-3)^2=9$, $(-3)^3=-27$, $7^0=1$.
Warunki dla prostych $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$.
Przykład: Prosta prostopadła do $y=2x+1$ ma $a=-\frac{1}{2}$.
Licznik i mianownik mnożymy (lub dzielimy) przez tę samą liczbę różną od zera — wartość ułamka się nie zmienia.
Przykład: $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}$, a $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$ (dzielimy przez 6).
Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta.
Przykład: Kąty $50^\circ$ i $70^\circ$: trzeci kąt $60^\circ$.
Całości mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik.
Przykład: $2\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5}$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile wynosi $234+567$?
Oblicz $500-127$.
Oblicz $345+678$.
Ile wynosi $1000-1$?
W bibliotece było $845$ książek. Wypożyczono $268$. Ile zostało?
Do liczby $456$ dodaj różnicę liczb $200$ i $150$.
Oblicz $123+456$.
Oblicz $800-345$.
Ile wynosi $99+99$?
Oblicz $567+433$.
Oblicz $1234-234$.
Oblicz $250+250+250$.
Ile wynosi $505-99$?
Oblicz $348+152$.
Na wycieczkę pojechało $145$ dziewcząt i $167$ chłopców. Ilu uczniów razem?
Oblicz $2000-1001$.
Sklep miał $500$ zł, kupił towar za $237$ zł i sprzedał za $410$ zł. Ile ma teraz?
Oblicz $1000-1-1-1$.
Ile wynosi $678+322$?
W magazynie było $1250$ paczek, przywieziono $340$, wywieziono $560$. Ile zostało?
Oblicz $2+3\cdot4$.
Oblicz sposobem pisemnym $234\cdot6$.
Oblicz sposobem pisemnym $748:4$.
Ile wynosi reszta z dzielenia $47$ przez $5$?
Oblicz $(15-7)\cdot3$.
Która liczba leży na osi liczbowej dokładnie w połowie między $20$ a $30$?
Oblicz $100-4\cdot(12-7)$.
Oblicz sposobem pisemnym $128\cdot25$.
Ile wynosi $36:6+4\cdot2$?
Cukierki pakuje się po $8$ sztuk do pudełka. Ile pełnych pudełek powstanie ze $150$ cukierków i ile cukierków zostanie?
Która liczba jest największa?
Oblicz $2\cdot(30-5\cdot4)+18:3$.
W szkole jest $27$ klas po $24$ uczniów. Ilu uczniów liczy szkoła?
Przy dzieleniu przez $7$ jaka reszta jest niemożliwa?
Bilet do kina kosztuje $23$ zł. Ile zapłaci grupa $15$ osób i ile reszty otrzyma z $400$ zł?
Ile wynosi $5\cdot(8-8)+7$?
Wyścig ma długość $1250$ m. Zawodnik pokonał $3$ pełne okrążenia po $400$ m. Ile metrów mu zostało?
Dzieląc pewną liczbę przez $9$, otrzymano iloraz $12$ i resztę $5$. Jaka to liczba?
Do sklepu przywieziono $6$ skrzynek po $18$ kg jabłek i $4$ skrzynki po $25$ kg gruszek. Ile kilogramów owoców przywieziono łącznie i o ile więcej jest jabłek niż gruszek?
W autokarze jest $52$ miejsca. Na wycieczkę jedzie $180$ uczniów. Ile autokarów trzeba zamówić i ile miejsc zostanie wolnych?
Kąt o mierze $45^\circ$ jest kątem:
Oblicz obwód prostokąta o bokach $7$ cm i $5$ cm.
Oblicz pole prostokąta o bokach $9$ cm i $4$ cm.
Ile wynosi suma kątów w każdym trójkącie?
Oblicz pole kwadratu o boku $8$ cm oraz jego obwód.
Trójkąt, w którym wszystkie boki mają różną długość, nazywamy:
Dwa kąty trójkąta mają $30^\circ$ i $90^\circ$. Oblicz trzeci kąt i podaj, jaki to trójkąt.
Obwód kwadratu wynosi $36$ cm. Oblicz długość boku i pole tego kwadratu.
Proste prostopadłe oznaczamy symbolem:
Pole prostokąta wynosi $48$ cm$^2$, a jeden bok ma $6$ cm. Oblicz drugi bok i obwód.
Ile stopni ma każdy kąt w trójkącie równobocznym?
Ogród ma kształt prostokąta o wymiarach $12$ m i $8$ m. Ile metrów płotu potrzeba, aby go ogrodzić, i ile metrów kwadratowych ma jego powierzchnia?
Kąt półpełny ma miarę:
Kwadrat i prostokąt mają takie samo pole $36$ cm$^2$. Prostokąt ma bok $4$ cm. Oblicz obwody obu figur i porównaj je.
Trójkąt równoramienny ma obwód $32$ cm, a jego podstawa mierzy $12$ cm. Oblicz długość ramienia.
Ile wynosi pole kwadratu o boku $12$ cm?
Pokój ma wymiary $5$ m na $4$ m. Ile kosztuje położenie paneli, jeśli $1$ m$^2$ kosztuje $45$ zł?
Figura składa się z dwóch prostokątów: pierwszy $6$ cm na $4$ cm, drugi $3$ cm na $4$ cm. Oblicz jej łączne pole.
Prostokąt ma obwód $30$ cm, a jego długość jest dwa razy większa od szerokości. Oblicz wymiary i pole prostokąta.
Z kwadratowej kartki o boku $10$ cm wycięto w rogu kwadrat o boku $3$ cm. Oblicz pole pozostałej części oraz jej obwód.
Która liczba jest największa?
Zaokrąglij liczbę $4738$ do setek.
Zapisz znakami rzymskimi liczbę $24$.
Ile wynosi $2^5$?
Zaokrąglij liczbę $2650$ do tysięcy.
Liczba rzymska XLII to:
Jaka liczba leży na osi liczbowej dokładnie w połowie między $140$ a $200$?
Zapisz cyframi arabskimi liczby: XIX, LXXV, CDL.
Ile wynosi $10^4$?
Ustaw liczby w kolejności rosnącej: $2050$, $2500$, $2005$, $2055$.
Zaokrąglenie liczby $8496$ do dziesiątek to:
Rozłóż liczbę $47\,306$ na rzędy i podaj cyfrę setek oraz cyfrę tysięcy.
Ile wynosi $3^3+2^4$?
Która liczba rzymska jest zapisana błędnie?
Podaj najmniejszą i największą liczbę czterocyfrową, którą można zapisać, używając cyfr $3$, $0$, $7$, $5$ (każdej raz).
Ile liczb naturalnych leży między $47$ a $53$ (nie licząc końców)?
Zaokrąglij liczbę $16\,748$ kolejno do dziesiątek, setek i tysięcy.
Na osi liczbowej zaznaczono punkty $A=20$ i $B=68$. Odcinek $AB$ podzielono na cztery równe części. Jakie liczby odpowiadają punktom podziału?
Liczba po zaokrągleniu do setek daje $3400$. Jaka jest najmniejsza i największa liczba naturalna o tej własności?
Ile wynosi $5^3-4^2\cdot2$? Pamiętaj o kolejności działań.
Ile wynosi $2+3\cdot4$?
Oblicz $20-2\cdot(3+4)$.
Która liczba jest większa: $3049$ czy $3094$?
Zaokrąglij liczbę $4567$ do pełnych setek.
Oblicz $100-36:4$.
Jaka liczba leży na osi liczbowej dokładnie w połowie między $20$ a $30$?
Oblicz $5\cdot6+8\cdot3$.
Zaokrąglij $28\,764$ do pełnych tysięcy.
Oblicz $(12+8):5$.
Oblicz $48:(2\cdot3)+7$.
Ile liczb naturalnych spełnia warunek $12\le x\lt 17$?
Oblicz $2\cdot(15-3\cdot4)+10$.
Zapisz liczbę: siedem tysięcy pięćset trzy.
Oblicz $36:6:2$.
W sklepie było $1250$ zeszytów. Dostarczono jeszcze $8$ paczek po $50$ sztuk. Ile zeszytów jest teraz w sklepie?
Zaokrąglij $649$ do pełnych dziesiątek.
Oblicz $3\cdot4^2$ (uwaga na potęgę).
Bilet do kina kosztuje $23$ zł. Klasa liczy $28$ uczniów i $2$ opiekunów. Ile trzeba zapłacić za wszystkie bilety?
Oblicz $56+24:8-3\cdot2$.
Do magazynu przywieziono $5$ palet po $144$ worki cementu. Rozwieziono $3$ ciężarówki po $160$ worków. Ile worków zostało w magazynie?
Zaokrąglij $47$ do dziesiątek.
Zaokrąglij $324$ do setek.
Oblicz $234+567$.
Ile wynosi $8\cdot7$?
Oblicz $2+3\cdot4$ (pamiętaj o kolejności działań).
Zaokrąglij $1250$ do tysięcy.
Oblicz $144:12$.
Oblicz $(15+5)\cdot3$.
Które zaokrąglenie $86$ do dziesiątek jest poprawne?
Oblicz $500-127$.
Ile wynosi $100:4$?
Oblicz $6\cdot9-14$.
Zaokrąglij $7649$ do setek.
Ile wynosi $0\cdot123$?
W sklepie było $340$ jabłek. Sprzedano $185$. Ile zostało, i ile to w zaokrągleniu do dziesiątek?
Ile wynosi $12\cdot0+12$?
Do autokaru na $48$ miejsc wsiadło $35$ osób. Na kolejnym przystanku wsiadło $10$. Ile wolnych miejsc zostało?
Oblicz $100-6\cdot(8+2)$.
Klasa zebrała $256$ zł na wycieczkę. Bilet kosztuje $8$ zł. Ile biletów można kupić?
Wyjaśnij, dlaczego liczba $2495$ zaokrąglona do setek to $2500$, a do tysięcy to $2000$ — mimo że chodzi o tę samą liczbę.
Ile minut ma $3$ godziny?
Film zaczął się o $16{:}30$ i trwał $105$ minut. O której godzinie się skończył?
Ile dni ma luty w roku przestępnym, a ile w zwykłym?
Zapłacono banknotem $50$ zł za zakupy o wartości $34{,}60$ zł. Ile wyniosła reszta?
Ile minut trwa lekcja z przerwą, jeśli lekcja trwa $45$ minut, a przerwa $10$ minut?
Który miesiąc jest dziesiąty w roku?
Pociąg odjeżdża o $7{:}40$, a podróż trwa $3$ godziny $35$ minut. O której przyjedzie?
Ile kosztują $4$ bilety po $12{,}50$ zł?
Ile dni ma tydzień, a ile godzin doba?
Ala miała $80$ zł. Kupiła książkę za $34$ zł i zeszyt za $6{,}50$ zł. Ile pieniędzy jej zostało?
Ile godzin ma $3$ doby?
Zajęcia trwają od $8{:}15$ do $13{:}45$. Ile czasu trwają?
Który dzień tygodnia będzie za $10$ dni, jeśli dziś jest poniedziałek?
Sprzedawca ma wydać resztę $23$ zł. Jakimi banknotami i monetami może to zrobić przy najmniejszej ich liczbie?
Ile dni ma pierwsze półrocze roku (styczeń–czerwiec) w roku zwykłym?
Ile sekund ma $2$ minuty $30$ sekund?
Rodzina kupiła $3$ bilety dorosłe po $28$ zł i $2$ bilety ulgowe po $15$ zł. Ile zapłacili razem?
Zegar wskazuje $14{:}50$. Za ile minut będzie godzina $15{:}20$?
Wycieczka rozpoczęła się o $9{:}00$, a zakończyła o $16{:}30$. W trakcie były dwie przerwy po $20$ minut. Ile czasu trwało samo zwiedzanie?
Kuba oszczędza $15$ zł tygodniowo. Chce kupić rower za $540$ zł. Ile tygodni musi oszczędzać i ile to w przybliżeniu miesięcy?
Ile minut ma $2$ godziny?
Film zaczął się o $17{:}45$ i trwał $95$ minut. O której się skończył?
Ile dni ma luty w roku przestępnym, a ile w zwykłym?
Ile wynosi $2{,}5$ godziny w minutach?
Ania kupiła zeszyt za $4{,}50$ zł i długopis za $3{,}20$ zł. Ile reszty otrzymała z $10$ zł?
Ile godzin ma tydzień?
Pociąg odjechał o $8{:}40$, a przyjechał o $12{:}15$. Jak długo trwała podróż?
Jaki to dzień tygodnia, jeśli $1$ marca wypada w poniedziałek, a pytamy o $15$ marca?
Ile groszy to $7{,}05$ zł?
Ile dni upłynie od $25$ marca do $8$ kwietnia? (marzec ma $31$ dni)
Która godzina będzie $7$ godzin po $19{:}00$?
Bilet ulgowy kosztuje $12{,}50$ zł, a normalny $25$ zł. Ile zapłaci rodzina kupując $3$ bilety ulgowe i $2$ normalne?
Ile sekund ma pół godziny?
Które miesiące mają po $31$ dni?
Kurs trwa $3$ godziny dziennie przez $12$ dni. Ile godzin łącznie? Ile to pełnych dób?
Zakupy kosztowały $34{,}80$ zł. Ile reszty z $50$ zł?
Autobus odjeżdża co $25$ minut. Pierwszy o $6{:}00$. O której odjedzie piąty autobus?
Kasia oszczędza $15$ zł tygodniowo. Ile zaoszczędzi w $8$ tygodni i czy wystarczy jej na rower za $150$ zł? Ile jej zabraknie lub zostanie?
Lekcje trwają po $45$ minut, a przerwy po $10$ minut. Pierwsza lekcja zaczyna się o $8{:}00$. O której kończy się czwarta lekcja?
Wycieczka trwa od $5$ lipca do $19$ lipca włącznie. Ile dni trwa wycieczka? Ile nocy uczestnicy spędzą poza domem?
Ile minut ma $2$ godziny?
Film zaczął się o $17{:}30$ i trwał $95$ minut. O której się skończył?
Ile dni ma luty w roku przestępnym, a ile w zwykłym?
Kupiłem zeszyt za $4{,}50$ zł i długopis za $3{,}20$ zł. Ile reszty dostanę z $10$ zł?
Ile sekund ma $3$ minuty?
Pociąg odjeżdża o $8{:}45$, a jedzie $2$ godziny $40$ minut. O której będzie na miejscu?
Lekcja trwa $45$ minut, a przerwa $10$ minut. O której skończy się trzecia lekcja, jeśli pierwsza zaczyna się o $8{:}00$?
Ala urodziła się $15$ marca, a Bartek $40$ dni później. Kiedy urodził się Bartek? (Marzec ma $31$ dni.)
Ile groszy to $3{,}75$ zł?
Mama dała Oli $50$ zł. Ola kupiła bilet za $12$ zł, lody za $6{,}50$ zł i książkę za $24{,}90$ zł. Ile pieniędzy jej zostało?
Która godzina będzie za $3$ godziny, jeśli teraz jest $22{:}00$?
Ile tygodni i dni to $45$ dni?
Sklep jest otwarty od $6{:}30$ do $21{:}00$. Ile godzin dziennie jest czynny?
Bilet dla dorosłego kosztuje $18$ zł, a dla dziecka o połowę mniej. Ile zapłaci rodzina: $2$ dorosłych i $2$ dzieci?
Ile dni upłynie od $28$ lutego do $5$ marca w roku zwykłym?
Ile kwadransów ma $3$ godziny?
Autobus odjeżdża z przystanku co $20$ minut. Pierwszy o $6{:}00$. O której odjedzie szósty autobus?
Tata zarabia $30$ zł za godzinę. W poniedziałek pracował $8$ godzin, we wtorek $6$ godzin, a w środę $7$ godzin. Ile zarobił przez te trzy dni?
Zawody trwały od $9{:}15$ do $14{:}05$. Ile czasu trwały? Odpowiedź podaj w godzinach i minutach oraz w samych minutach.
Kasjer ma wydać $37$ zł reszty, używając jak najmniejszej liczby banknotów i monet. Dostępne nominały: $50$, $20$, $10$, $5$, $2$, $1$ zł. Ile sztuk użyje?
Oblicz obwód kwadratu o boku $7$ cm.
Oblicz pole kwadratu o boku $7$ cm.
Oblicz obwód prostokąta o bokach $9$ cm i $4$ cm.
Ile centymetrów kwadratowych ma $1$ metr kwadratowy?
Oblicz pole prostokąta o bokach $12$ cm i $5$ cm.
Obwód kwadratu wynosi $32$ cm. Ile ma jego bok?
Ile arów ma $500$ m$^2$? (przyjmij $1$ ar $=100$ m$^2$)
Pole prostokąta wynosi $56$ cm$^2$, a jeden bok ma $8$ cm. Oblicz drugi bok i obwód.
Ile hektarów ma $30\,000$ m$^2$? (przyjmij $1$ ha $=10\,000$ m$^2$)
Boisko ma kształt prostokąta $40$ m na $25$ m. Ile metrów ma jego obwód i ile metrów kwadratowych powierzchni?
Kwadrat i prostokąt mają ten sam obwód $20$ cm. Prostokąt ma boki $7$ cm i $3$ cm. Która figura ma większe pole?
Oblicz obwód figury złożonej z trzech kwadratów o boku $4$ cm ustawionych w rzędzie (stykających się bokami).
Ile kafelków o wymiarach $20$ cm na $20$ cm potrzeba, aby wyłożyć podłogę o wymiarach $2$ m na $3$ m?
Ile metrów kwadratowych to $70\,000$ cm$^2$?
Ogród ma kształt kwadratu o boku $15$ m. Ile metrów siatki trzeba kupić na ogrodzenie i jaka jest powierzchnia ogrodu?
Prostokąt ma pole $36$ cm$^2$. Które wymiary są niemożliwe?
Pokój ma wymiary $4$ m na $5$ m. Ile kosztuje wykładzina, jeśli metr kwadratowy kosztuje $39$ zł?
Z kwadratu o boku $10$ cm wycięto w rogu kwadrat o boku $4$ cm. Oblicz pole pozostałej części.
Prostokąt ma obwód $36$ cm, a jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego. Oblicz wymiary i pole.
Działka ma kształt prostokąta $50$ m na $40$ m. Właściciel przeznaczył $\frac14$ jej powierzchni pod ogród. Ile arów ma ogród?
Kąt o mierze $90^\circ$ nazywamy:
Kąt ma miarę $47^\circ$. Jaki to rodzaj kąta i ile brakuje mu do kąta prostego?
Dwa kąty są przyległe. Jeden ma $65^\circ$. Ile ma drugi?
Ile stopni ma każdy kąt w trójkącie równobocznym?
W trójkącie dwa kąty mają $40^\circ$ i $75^\circ$. Ile ma trzeci?
Proste prostopadłe to takie, które:
Trójkąt ma boki $5$ cm, $5$ cm i $8$ cm. Jaki to rodzaj trójkąta ze względu na boki? Oblicz jego obwód.
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma $35^\circ$. Ile ma drugi kąt ostry?
Który trójkąt nie istnieje?
Kąt $\alpha$ ma $38^\circ$. Podaj miarę kąta do niego wierzchołkowego oraz kąta przyległego.
Ile kątów prostych ma prostokąt?
Trójkąt równoramienny ma kąt między ramionami równy $50^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów.
Odcinek $AB$ ma $12$ cm. Punkt $C$ leży na tym odcinku i dzieli go tak, że $AC$ jest trzy razy dłuższy od $CB$. Oblicz długości obu części.
Kąt pełny ma:
Ile stopni ma kąt między wskazówkami zegara o godzinie $3{:}00$?
Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ jest:
W trójkącie kąty mają się jak $1:2:3$. Oblicz ich miary i określ rodzaj trójkąta.
Ile stopni ma kąt między wskazówkami zegara o godzinie $5{:}00$? A ile o godzinie $8{:}00$?
Trójkąt równoramienny ma obwód $32$ cm, a jego podstawa mierzy $12$ cm. Oblicz długość ramienia.
Dwa kąty są przyległe, a jeden z nich jest cztery razy większy od drugiego. Oblicz miary obu kątów.
Która figura ma dwa końce?
Ile prostych można poprowadzić przez dwa różne punkty?
Prostokąt ma boki $8$ cm i $5$ cm. Oblicz jego obwód i pole.
Okrąg ma średnicę $12$ cm. Jaki jest jego promień?
Czym różni się prosta od odcinka?
Kwadrat ma obwód $36$ cm. Jakie ma pole?
Narysowano okrąg o promieniu $4$ cm. Punkt $A$ leży w odległości $3$ cm od środka, a punkt $B$ w odległości $6$ cm. Który punkt leży wewnątrz koła?
Prostokąt ma pole $48$ cm$^2$ i jeden bok $6$ cm. Oblicz drugi bok i obwód.
Ile odcinków wyznaczają trzy różne punkty leżące na jednej prostej?
Kwadrat ma bok $7$ cm. Ile wynosi jego obwód, a ile pole? Wyjaśnij, dlaczego jednostki są różne.
Które proste nigdy się nie przecinają?
Odcinek $AB$ ma $15$ cm. Punkt $C$ leży na tym odcinku, a $AC=6$ cm. Ile ma odcinek $CB$? Który punkt jest środkiem odcinka $AB$?
Ile kwadratów o boku $2$ cm zmieści się w prostokącie $10$ cm na $6$ cm?
Ile promieni ma okrąg?
Prostokątny ogród ma wymiary $12$ m na $9$ m. Ile metrów siatki potrzeba na ogrodzenie i ile metrów kwadratowych ma powierzchnia?
Cięciwa okręgu przechodząca przez środek to:
Z prostokąta $10$ cm na $8$ cm wycięto kwadrat o boku $3$ cm. Oblicz pole pozostałej części. Czy obwód figury też się zmniejszył?
Ile odcinków wyznacza pięć punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej?
Prostokąt ma obwód $30$ cm, a jeden bok jest o $3$ cm dłuższy od drugiego. Oblicz wymiary i pole.
Podłogę o wymiarach $4$ m na $3$ m wykładamy kwadratowymi panelami o boku $50$ cm. Ile paneli potrzeba? Ile kosztuje wyłożenie, jeśli panel kosztuje $12$ zł?
Skróć ułamek $\frac{6}{9}$.
Rozszerz ułamek $\frac{3}{5}$ do mianownika $20$.
Który ułamek jest większy: $\frac{3}{7}$ czy $\frac{5}{7}$?
Który ułamek jest większy: $\frac{1}{4}$ czy $\frac{1}{6}$?
Skróć ułamek $\frac{12}{18}$ do postaci nieskracalnej.
Który ułamek jest równy $\frac{1}{2}$?
Porównaj ułamki $\frac{2}{3}$ i $\frac{3}{4}$, sprowadzając je do wspólnego mianownika.
Który ułamek dziesiętny jest większy: $0{,}7$ czy $0{,}65$?
Ułamek $\frac{8}{12}$ po skróceniu to:
Ustaw ułamki w kolejności rosnącej: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{8}$.
Który ułamek jest niewłaściwy?
Rozszerz ułamki $\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{4}$ do wspólnego mianownika, a następnie je porównaj.
Ania zjadła $\frac{3}{8}$ pizzy, a Kuba $\frac{1}{4}$. Kto zjadł więcej?
Ułamek $\frac{15}{25}$ po skróceniu to:
Zapisz ułamek $\frac{7}{10}$ jako ułamek dziesiętny, a $0{,}25$ jako ułamek zwykły nieskracalny.
Który ułamek jest już nieskracalny?
Uzupełnij: $\frac{4}{5}=\frac{?}{35}$. Podaj brakujący licznik i wyjaśnij, jak go znaleźć.
Ustaw w kolejności rosnącej: $\frac{2}{3}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$.
W klasie $\frac{3}{5}$ uczniów to dziewczęta. Uczniów jest $30$. Ilu jest chłopców? Jaką część klasy stanowią?
Jaki ułamek leży dokładnie pomiędzy $\frac{1}{4}$ a $\frac{1}{2}$? Podaj go w postaci nieskracalnej.
Jak zapisać ułamek $\frac{7}{10}$ w postaci dziesiętnej?
Zapisz ułamkiem dziesiętnym: $\frac{23}{100}$.
Oblicz $2{,}3+1{,}5$.
Która liczba jest większa: $0{,}5$ czy $0{,}45$?
Oblicz $5{,}8-2{,}3$.
Ile setnych ma liczba $0{,}47$?
Zapisz liczbę $3{,}6$ jako ułamek zwykły.
Oblicz $4{,}25+3{,}8$.
Uporządkuj rosnąco: $0{,}3$; $0{,}25$; $0{,}5$. Który zapis jest poprawny?
W sklepie chleb kosztuje $4{,}50$ zł, a masło $6{,}30$ zł. Ile trzeba zapłacić za oba produkty?
Ile to jest $\frac{1}{4}$ zapisane dziesiętnie?
Oblicz $10-3{,}7$.
Zapisz w metrach: $3$ m $45$ cm.
Która liczba leży na osi liczbowej między $0{,}2$ a $0{,}3$?
Ala miała $20$ zł. Kupiła lody za $3{,}50$ zł i sok za $2{,}80$ zł. Ile pieniędzy jej zostało?
Ile dziesiątych ma liczba $2{,}8$?
Oblicz $1{,}25+2{,}5+0{,}75$.
Zapisz jako ułamek dziesiętny: $2$ całe i $3$ setne.
Kasia biegła $3$ okrążenia po $0{,}4$ km każde. Potem szła jeszcze $0{,}75$ km. Jaki dystans pokonała łącznie?
W trzech dniach spadło $2{,}4$ mm, $0{,}8$ mm i $3{,}25$ mm deszczu. Ile deszczu spadło łącznie i o ile więcej spadło trzeciego dnia niż drugiego?
Jak zapisać ułamek $\frac{7}{10}$ w postaci dziesiętnej?
Oblicz $3{,}45+2{,}8$.
Ile centymetrów to $2{,}5$ metra?
Która liczba jest największa?
Oblicz $10-4{,}37$.
Ile gramów to $1{,}25$ kilograma?
Zapisz jako ułamek dziesiętny: $\frac{3}{100}$, $\frac{45}{100}$, $\frac{7}{1000}$.
Ile metrów to $3$ km $250$ m? Zapisz wynik jako ułamek dziesiętny kilometrów.
Ile wynosi $0{,}4+0{,}6$?
Ania kupiła jabłka za $4{,}80$ zł i chleb za $3{,}50$ zł. Ile zapłaciła i ile reszty dostała z $10$ zł?
Ile milimetrów to $4{,}7$ cm?
Ustaw w kolejności rosnącej: $0{,}5$; $0{,}45$; $0{,}54$; $0{,}05$.
Ile dekagramów to $0{,}75$ kilograma?
Jak zapisać $0{,}25$ jako ułamek zwykły nieskracalny?
Oblicz $7{,}2-3{,}85$.
Ile kilogramów to $2500$ gramów?
Deska ma $2{,}4$ m długości. Odcięto z niej dwa kawałki: $85$ cm i $1{,}2$ m. Ile centymetrów deski zostało?
Paczka waży $1$ kg $350$ g. Ile ważą trzy takie paczki? Podaj wynik w kilogramach jako ułamek dziesiętny.
Sznurek ma $5$ m. Odcięto z niego trzy kawałki po $1{,}15$ m. Ile sznurka zostało? Podaj wynik w metrach i centymetrach.
W sklepie cukier kosztuje $3{,}49$ zł za kilogram. Ile zapłacimy za $2$ kg? Oszacuj wynik przed obliczeniem i porównaj oba wyniki.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.