Potęgi i ich własności

Ułamki mają ten sam mianownik, więc dodajemy tylko liczniki, a mianownik przepisujemy:

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}$$

Częsty błąd: dodawanie także mianowników (odpowiedź A). Mianownik mówi, na ile części podzielono całość — nie zmienia się przy dodawaniu.

Odpowiedź: C. $\frac35$.

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Uwaga: $16$ to $2^4$, a $25$ to $5^2$.

Odpowiedź: C. $32$.

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Odpowiedź: C. $32$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $2$ i $3$ to $6$:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: $\frac56$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$3\cdot200=600\ \text{cm}$$

Krok 2 — na metry:

$$600:100=6\ \text{m}$$

Odpowiedź: $6$ m.

$$3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$

Odpowiedź: $81$.

Ułamki mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Skracamy przed mnożeniem (to wygodniejsze): $3$ z $9$ daje $1$ i $3$, a $2$ z $4$ daje $1$ i $2$:

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

Sprawdzenie bez skracania: $\frac{6}{36}=\frac16$ ✔

Odpowiedź: $\frac16$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^{2+3}=3^5=243$$

Sprawdzenie wprost: $9\cdot27=243$ ✔

Odpowiedź: $243$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Odpowiedź: B. $a^{m+n}$.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$\frac{3}{5}:\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}$$

Skracamy piątki:

$$\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}=\frac{3}{2}=1\frac12$$

Pułapka: odpowiedź A to wynik mnożenia zamiast dzielenia. Trzeba odwrócić drugi ułamek.

Odpowiedź: B. $\frac32$.

Kolejność: potęga, mnożenie, odejmowanie.

$$20-3\cdot4=20-12=8$$

Pułapka: liczenie od lewej daje $(20-3)\cdot4=68$.

Odpowiedź: B. $8$.

$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$$

Odpowiedź: $2^7$.

Działania dodawania i odejmowania wykonujemy po kolei, od lewej:

$$-8+15=7$$

$$7-6=1$$

Wskazówka: można też osobno zsumować dodatnie ($15$) i osobno ujemne ($-8-6=-14$), a potem $15-14=1$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $1$.

Najzimniej był wtorek ($-2^\circ$C) — to najmniejsza z liczb.

Różnica to od najwyższej odjąć najniższą:

$$5-(-2)=7^\circ\text{C}$$

Odpowiedź: najzimniej we wtorek, różnica $7^\circ$C.

Przy dzieleniu potęg odejmujemy wykładniki:

$$\frac{5^8}{5^3}=5^{8-3}=5^5$$

Odpowiedź: $5^5$.

Potęga $2^5$ oznacza pięciokrotne mnożenie dwójki przez siebie:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Pułapka: odpowiedź B ($10$) to wynik mnożenia $2\cdot5$, a nie potęgowania. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę, a nie przez ile.

Odpowiedź: A. $32$.

Krok 1 — obie długości w tych samych jednostkach:

$$6\ \text{km}=600\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — stosunek:

$$\frac{3}{600\,000}=\frac{1}{200\,000}$$

Odpowiedź: D. $1:200\,000$.

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki:

$$(a^m)^n=a^{mn}$$

Odpowiedź: A. $a^{mn}$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $6$ i $4$ to $12$:

$$\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Wynik jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Potęga potęgi — wykładniki mnożymy:

$$\left(2^3\right)^2=2^6=64$$

Iloczyn potęg — wykładniki dodajemy:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32$$

Wyjaśnienie: nawias wokół potęgi zmienia działanie na wykładnikach z dodawania na mnożenie.

Odpowiedź: $64$ oraz $32$.

$$(3^2)^4=3^{2\cdot4}=3^8$$

Odpowiedź: $3^8$.

Kolejność: najpierw mnożenia, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenia z regułą znaków:

$$(-3)\cdot4=-12,\qquad (-2)\cdot(-5)=10$$

Krok 2 — dodajemy wyniki:

$$-12+10=-2$$

Odpowiedź: $-2$.

Krok 1 — długość rzeczywista w centymetrach:

$$4{,}8\ \text{m}=480\ \text{cm}$$

Krok 2 — dzielimy przez skalę:

$$480:24=20\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: model ma być mniejszy od oryginału — i jest ✔

Odpowiedź: $20$ cm.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zero daje $1$:

$$a^0=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Krok 1 — osobno całości, osobno ułamki. Całości: $2+1=3$.

Krok 2 — dodajemy części ułamkowe na wspólnym mianowniku $6$:

$$\frac13+\frac16=\frac26+\frac16=\frac36=\frac12$$

Krok 3 — łączymy:

$$3+\frac12=3\frac12$$

Odpowiedź: D. $3\frac12$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$5^0=1$$

Skąd to wynika: $\frac{5^3}{5^3}=5^{3-3}=5^0$, a jednocześnie ten iloraz oczywiście równa się $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — iloczyn potęg:

$$2^3\cdot2^2=2^5=32$$

Krok 2 — druga potęga: $2^4=16$.

Krok 3 — odejmujemy:

$$32-16=16$$

Odpowiedź: $16$.

„Ułamek z liczby” oznacza mnożenie ułamka przez tę liczbę:

$$\frac{2}{3}\cdot150$$

Sposób sprytny: najpierw dzielimy przez mianownik, potem mnożymy przez licznik:

$$150:3=50,\qquad 50\cdot2=100$$

Odpowiedź: $100$.

Wzrost od stycznia do marca:

$$140-120=20\ \text{sztuk}$$

Najniższa sprzedaż — luty ($95$ sztuk).

Uwaga: pytanie dotyczy porównania stycznia z marcem, a nie sumy wszystkich miesięcy.

Odpowiedź: wzrost o $20$ sztuk; najniżej w lutym.

$$10^6=1\,000\,000$$ — milion (sześć zer).

Odpowiedź: B. milion.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^2\cdot3^3=3^{2+3}=3^5$$

Sprawdzenie: $9\cdot27=243$ oraz $3^5=243$ ✔

Uwaga: podstawa pozostaje bez zmian — nie mnożymy jej (odpowiedź C jest błędna). Wykładniki mnożymy dopiero przy potęgowaniu potęgi.

Odpowiedź: B. $3^5$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie wykładniki odejmujemy:

$$4^{5-3}=4^2=16$$

Odpowiedź: C. $16$.

Krok 1 — przesuwamy przecinek tak, by została jedna cyfra przed przecinkiem: $3{,}2$.

Krok 2 — liczymy przesunięcia: $6$ miejsc.

$$3\,200\,000=3{,}2\cdot10^6$$

Odpowiedź: $3{,}2\cdot10^6$.

Kolejność: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie:

$$\frac12\cdot\frac23=\frac{2}{6}=\frac13$$

Krok 2 — dodawanie na wspólnym mianowniku $12$:

$$\frac34+\frac13=\frac{9}{12}+\frac{4}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$.

Krok 1 — pierwszy bok:

$$2\cdot500=1000\ \text{cm}=10\ \text{m}$$

Krok 2 — drugi bok:

$$3\cdot500=1500\ \text{cm}=15\ \text{m}$$

Odpowiedź: $10$ m na $15$ m.

Wzór $a^n\cdot b^n=(ab)^n$:

$$2^3\cdot5^3=(2\cdot5)^3=10^3=1000$$

Odpowiedź: $10^3=1000$.

Krok 1 — dzielenie. Dwa minusy dają plus:

$$(-24):(-6)=4$$

Krok 2 — dodawanie:

$$4+(-3)=1$$

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — nawias i potęgi:

$$(3+2)^2=25,\qquad 3^2=9,\qquad 2^2=4$$

Krok 2 — odejmowanie:

$$25-9-4=12$$

Wniosek: wynik nie jest zerem, bo $(a+b)^2\neq a^2+b^2$. Różnica $12$ to właśnie podwojony iloczyn $2\cdot3\cdot2$.

Odpowiedź: $12$.

Parzysty wykładnik daje wynik dodatni:

$$(-2)^4=16$$

Odpowiedź: C. $16$.

Potęga dziesiątki to jedynka z tyloma zerami, ile wynosi wykładnik:

$$10^3=10\cdot10\cdot10=1000$$

Wykładnik $3$ oznacza trzy zera.

Zestawienie: $10^2=100$, $10^3=1000$, $10^4=10\,000$ — te potęgi warto znać na pamięć, bo pojawiają się przy notacji wykładniczej.

Odpowiedź: C. $1000$.

Krok 1 — w centymetrach:

$$4\cdot50\,000=200\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$200\,000:100\,000=2\ \text{km}$$

Odpowiedź: B. $2$ km.

Nieparzysty wykładnik zachowuje znak minus:

$$(-3)^3=-27$$

Odpowiedź: A. $-27$.

Podnosząc ułamek do kwadratu, podnosimy osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$$

Częsty błąd: podniesienie do kwadratu tylko licznika. Wykładnik dotyczy całego ułamka, więc obejmuje i licznik, i mianownik.

Odpowiedź: $\frac{4}{9}$.

Krok 1 — suma:

$$24+27+21+28=100$$

Krok 2 — średnia:

$$100:4=25$$

Odpowiedź: $100$ uczniów, średnio $25$ na klasę.

Krok 1 — licznik (dodajemy wykładniki):

$$4^5\cdot4^2=4^7$$

Krok 2 — dzielenie (odejmujemy wykładniki):

$$\frac{4^7}{4^4}=4^{7-4}=4^3$$

Krok 3 — obliczamy:

$$4^3=64$$

Odpowiedź: $4^3=64$.

Krok 1 — zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

$$2\frac12=\frac52,\qquad 1\frac13=\frac43$$

Krok 2 — mnożymy, skracając po drodze ($2$ z $4$):

$$\frac52\cdot\frac43=\frac{5}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}=3\frac13$$

Kluczowa uwaga: liczb mieszanych nie mnożymy „całości razy całości i ułamek razy ułamek”. Trzeba je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe.

Odpowiedź: $\frac{10}{3}=3\frac13$.

Dodajemy wykładniki:

$$10^{2+3}=10^5=100\,000$$

Pułapka: $10^6$ powstałoby przy mnożeniu wykładników, czyli w wyrażeniu $\left(10^2\right)^3$.

Odpowiedź: D. $100\,000$.

Przesuwamy przecinek o $3$ miejsca w prawo:

$$5{,}4\cdot10^3=5400$$

Odpowiedź: D. $5400$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4$$

Sprawdzenie: $\frac{64}{16}=4$ ✔

Pułapka: dodanie wykładników (odpowiedź D) dotyczy mnożenia, a nie dzielenia.

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — wymiary rzeczywiste:

$$8\cdot100=800\ \text{cm}=8\ \text{m}$$

$$5\cdot100=500\ \text{cm}=5\ \text{m}$$

Krok 2 — powierzchnia:

$$8\cdot5=40\ \text{m}^2$$

Uwaga o polu. Na planie powierzchnia wynosi $40$ cm$^2$, a w rzeczywistości $40$ m$^2$ — czyli $400\,000$ cm$^2$. Stosunek pól to $100^2=10\,000$, a nie $100$: pole zmienia się jak kwadrat skali.

Odpowiedź: $8$ m na $5$ m, powierzchnia $40$ m$^2$.

Krok 1 — zapisujemy czynniki jako potęgi dwójki:

$$8=2^3,\qquad 16=2^4$$

Krok 2 — iloczyn potęg (dodajemy wykładniki):

$$2^3\cdot2^4=2^7$$

Sprawdzenie: $8\cdot16=128=2^7$ ✔

Odpowiedź: $2^7$.

Krok 1 — ile zjedzono razem. Wspólny mianownik dla $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac13+\frac14=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Krok 2 — ile zostało. Całość to $1=\frac{12}{12}$:

$$1-\frac{7}{12}=\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Kontrola sensu: zjedzono ponad połowę, więc reszta mniejsza od połowy — $\frac{5}{12}$ się zgadza.

Odpowiedź: zostało $\frac{5}{12}$ tabliczki.

Krok 1 — obserwacja wzoru. Po każdej godzinie liczba bakterii się podwaja:

$$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\dots$$

Krok 2 — zapis potęgowy. Po $n$ godzinach jest $2^n$ bakterii:

$$\text{po }3\text{ h}:\ 2^3=8$$

$$\text{po }8\text{ h}:\ 2^8=256$$

Warto zauważyć: po $10$ godzinach byłoby już $1024$ bakterie — wzrost potęgowy szybko wymyka się intuicji.

Odpowiedź: $8$ bakterii po $3$ h i $256$ po $8$ h.

Krok 1 — dzielimy masy:

$$\frac{6\cdot10^{24}}{7{,}2\cdot10^{22}}=\frac{6}{7{,}2}\cdot10^{24-22}$$

Krok 2 — liczymy:

$$\approx0{,}83\cdot10^2=83$$

Metoda. W notacji wykładniczej osobno dzielimy liczby, osobno odejmujemy wykładniki potęg $10$.

Odpowiedź: około $83$ razy.

Czytamy od prawej — najpierw bierzemy $\frac23$ z $45$, potem $\frac45$ z wyniku.

Krok 1:

$$\frac23\cdot45=\frac{90}{3}=30$$

Krok 2:

$$\frac45\cdot30=\frac{120}{5}=24$$

Sposób jednym działaniem: $\frac45\cdot\frac23\cdot45=\frac{8}{15}\cdot45=24$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $24$.

Krok 1 — suma:

$$40+55+70+45=210\ \text{mm}$$

Krok 2 — średnia:

$$210:4=52{,}5\ \text{mm}$$

Krok 3 — porównanie z średnią:

• marzec $40<52{,}5$ ✘
• kwiecień $55>52{,}5$ ✔
• maj $70>52{,}5$ ✔
• czerwiec $45<52{,}5$ ✘

Odpowiedź: suma $210$ mm, średnia $52{,}5$ mm; średnią przekroczyły dwa miesiące.

Krok 1 — zamieniamy $9$ na $3^2$:

$$9^3=(3^2)^3=3^6$$

Krok 2 — dzielenie (odejmujemy wykładniki):

$$\frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2=9$$

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $2$, $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac12=\frac{6}{12},\qquad \frac13=\frac{4}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — wykonujemy działania na licznikach po kolei:

$$\frac{6}{12}+\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{6+4-3}{12}=\frac{7}{12}$$

Sprawdzenie oszacowaniem: $\frac12+\frac13\approx0{,}83$, minus $\frac14=0{,}25$ daje około $0{,}58$, a $\frac{7}{12}\approx0{,}58$ ✔

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Krok 1 — długość trasy w centymetrach:

$$14\cdot25\,000=350\,000\ \text{cm}$$

Krok 2 — na kilometry:

$$350\,000:100\,000=3{,}5\ \text{km}$$

Krok 3 — czas:

$$t=\frac{3{,}5}{5}=0{,}7\ \text{h}$$

Krok 4 — zamiana na minuty:

$$0{,}7\cdot60=42\ \text{minuty}$$

Uwaga: $0{,}7$ godziny to $42$ minuty, a nie $70$ — czas nie dzieli się dziesiętnie.

Odpowiedź: $3{,}5$ km w $42$ minuty.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $2^n$. Zapisujemy $2^{n+2}=2^n\cdot2^2$:

$$2^{n+2}-2^n=2^n\cdot2^2-2^n=2^n(4-1)$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$=2^n\cdot3$$

Krok 3 — wniosek. Wyrażenie ma czynnik $3$, więc jest podzielne przez $3$ dla każdego naturalnego $n$. $\quad∎$

Sprawdzenie dla $n=3$: $2^5-2^3=32-8=24=3\cdot8$ ✔