Klasa 7 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
$$a^m:a^n=a^{m-n}$$
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$
$$(ab)^n=a^n b^n,\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$
Kluczowy warunek: dwie pierwsze reguły działają tylko dla tej samej podstawy. Podstawa nigdy się nie zmienia — $2^3\cdot2^4=2^7$, a nie $4^7$.
Przy iloczynie wykładniki dodajemy, przy potędze potęgi — mnożymy:
$$2^3\cdot2^2=2^5=32,\qquad \left(2^3\right)^2=2^6=64$$
Te dwa zapisy wyglądają podobnie, a dają różne wyniki.
$$a^0=1 \quad \text{dla } a\neq0$$
Wynika to wprost z reguły dzielenia: $\frac{a^n}{a^n}=a^0$, a przecież liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.
Wykładnik parzysty daje wynik dodatni, nieparzysty — ujemny:
$$(-3)^4=81,\qquad (-3)^3=-27$$
Uwaga na nawias: $-3^4$ oznacza $-(3^4)=-81$, a $(-3)^4=81$. Bez nawiasu minus nie wchodzi pod potęgę.
To niemal zawsze pierwszy krok w trudniejszych zadaniach:
$$\frac{9^3\cdot3^2}{27^2}=\frac{\left(3^2\right)^3\cdot3^2}{\left(3^3\right)^2}=\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$
Dopiero po zapisaniu wszystkiego jako potęgi trójki reguły stają się użyteczne.
$$\sqrt[3]{a}=b \iff b^3=a$$
$$\sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt[3]{64}=4,\qquad \sqrt[3]{125}=5,\qquad \sqrt[3]{1000}=10$$
Istotna różnica względem pierwiastka kwadratowego: pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna:
$$\sqrt[3]{-8}=-2$$
$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab},\qquad \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$$
Przykład: $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$ oraz $\sqrt[3]{216}=6$ ✔
Objętość sześcianu to $V=a^3$, więc krawędź odzyskujemy pierwiastkiem sześciennym: $a=\sqrt[3]{V}$. Dla $V=1000$ cm³ krawędź wynosi $10$ cm, a pole powierzchni $6\cdot100=600$ cm².
Nie mnóż podstaw przy mnożeniu potęg. Nie myl $-a^n$ z $(-a)^n$. I pamiętaj, że $(2x)^2=4x^2$ — do kwadratu podnosimy również współczynnik.
Przy mnożeniu wykładniki dodajemy, przy dzieleniu — odejmujemy.
Przykład: $3^4\cdot3^2=3^6=729$, $5^7:5^5=5^2=25$.
Zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb.
Przykład: $45\,000\,000=4{,}5\cdot10^{7}$, $0{,}00032=3{,}2\cdot10^{-4}$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile wynosi $2^3\cdot2^4$?
Zapisz w postaci jednej potęgi: $5^8:5^3$.
Oblicz $\sqrt[3]{27}$ oraz $\sqrt[3]{125}$.
Ile wynosi $\sqrt[3]{-8}$?
Zapisz w postaci jednej potęgi: $3^2\cdot3^5\cdot3$.
Ile wynosi $\left(2^3\right)^2$?
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{2^{10}}{2^{7}}+\sqrt[3]{64}$.
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\dfrac{7^{5}\cdot7^{4}}{7^{6}}$.
Ile wynosi $10^0$?
Ile wynosi $(-3)^4$?
Oblicz $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$ oraz $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$.
Zapisz jako potęgę liczby $2$: $8\cdot16$.
Która liczba jest największa?
Ile wynosi $\dfrac{6^5}{6^5}$?
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{9^3\cdot3^2}{27^2}$, sprowadzając wszystko do potęgi liczby $3$.
Sześcian ma objętość $1000$ cm³. Oblicz jego krawędź i pole powierzchni całkowitej.
Uporządkuj rosnąco: $2^{10}$, $10^3$, $4^5$, $3^6$.
Wykaż, że liczba $2^{12}$ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej i jednocześnie sześcianem pewnej liczby naturalnej. Podaj obie podstawy.
Ile wynosi $2^6$?
Oblicz $3^4\cdot3^2$, korzystając z własności potęg.
Oblicz $\frac{5^7}{5^4}$.
Oblicz $(2^3)^2$.
Oblicz $\sqrt{81}$ oraz $\sqrt{144}$.
Zapisz liczbę $3\,200\,000$ w notacji wykładniczej.
Oblicz $2^{10}:2^7$.
Ile wynosi $10^0$?
Zapisz w notacji wykładniczej i oblicz $(2\cdot10^3)\cdot(3\cdot10^4)$.
Między którymi liczbami całkowitymi leży $\sqrt{50}$?
Ile wynosi $(3^2)^3$?
Masa Ziemi to około $6\cdot10^{24}$ kg, a masa Księżyca $7{,}4\cdot10^{22}$ kg. Ile razy Ziemia jest cięższa (podaj przybliżenie)?
Oblicz $\left(\frac{2}{3}\right)^3$.
Oblicz wartość wyrażenia $\frac{4^5\cdot4^3}{4^6}$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.