Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad a^0=1 \ (a\neq0)$$
Ujemny wykładnik daje ułamek, a nie liczbę ujemną: $3^{-2}=\frac19$, a nie $-9$. Dla ułamka w podstawie działa to jak odwrócenie: $\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$.
$$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},\qquad a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$
Przykłady: $16^{\frac12}=4$, $8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4$, $\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}=2$.
Praktyczna sztuczka: zamień podstawę na potęgę liczby pierwszej. $8^{\frac23}=(2^3)^{\frac23}=2^2=4$ liczy się szybciej niż przez pierwiastek.
$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$
Dodawanie i odejmowanie nie rozdziela się pod pierwiastkiem: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$, ale $\sqrt{25}=5$.
Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie:
$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt2,\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2,\qquad \sqrt{32}=4\sqrt2$$
Po sprowadzeniu do tego samego pierwiastka można dodawać: $5\sqrt2+3\sqrt2=8\sqrt2$.
Istnieją także dla liczb ujemnych: $\sqrt[3]{-27}=-3$, bo $(-3)^3=-27$. Pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pojedynczy pierwiastek — mnożymy przez niego licznik i mianownik:
$$\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$
Suma lub różnica — mnożymy przez sprzężenie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:
$$\frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\sqrt5+1$$
Zapis $\sqrt{a^2}=|a|$, a nie $a$ — dla $a=-3$ mamy $\sqrt{9}=3$. Pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny, dlatego równanie $x^2=9$ ma dwa rozwiązania, ale $\sqrt9$ oznacza tylko $3$.
Co robi: rozszerza pojęcie potęgi na wykładniki ujemne i ułamkowe, dzięki czemu pierwiastki można zapisać jako potęgi i stosować do nich zwykłe prawa działań.
Elementy: $a>0$ dla wykładnika wymiernego, $q\in\mathbb{N}_+$. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, mianownik wykładnika — stopień pierwiastka.
Przykład: $2^{-3}=\frac{1}{8}$; $8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$; $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$.
Pułapka: ujemny wykładnik nie daje ujemnego wyniku — $2^{-3}$ to $\frac{1}{8}$, a nie $-8$. Odwrotność ułamka w potędze ujemnej to szybki skrót: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}$.
Ile wynosi $3^{-2}$?
Oblicz $8^{\frac23}$.
Oblicz $\log_3 81$.
Ile wynosi $16^{\frac12}$?
Oblicz $\log_2 8+\log_2 4$ dwoma sposobami.
Ile wynosi $\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$?
Uprość $\sqrt{50}+\sqrt{18}$.
Oblicz $\log_5 100-\log_5 4$.
Ile wynosi $\log_a 1$ dla dowolnej dopuszczalnej podstawy?
Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{6}{\sqrt3}$.
Ile wynosi $\sqrt[3]{-27}$?
Oblicz $\log_2 5\cdot\log_5 32$.
Oblicz $\left(2^3\cdot2^{-5}\right)^2$.
Ile wynosi $\log_{10} 0{,}01$?
Uprość $\log_3 27+\log_3\frac19$.
Które wyrażenie jest równe $\log_a x^3$?
Usuń niewymierność z mianownika: $\frac{4}{\sqrt5-1}$.
Oblicz $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac12}$.
Rozwiąż równanie $\log_2 x=5$.
Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{81}+27^{\frac13}-\log_2 16$.
Liczba $\sqrt{\tfrac{25}{8}}\cdot\sqrt{2}+2^{-1}$ jest równa
Liczba $\sqrt{5\sqrt5}$ jest równa
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.