Potęga o wykładniku rzeczywistym

Dla funkcji wykładniczej $a^x$ przy podstawie $a>1$ funkcja jest rosnąca. Tutaj $a=3>1$.

Sprawdzenie: $f(0)=1$, $f(1)=3$, $f(2)=9$ — wartości rosną.

Odpowiedź: B. rosnąca.

Dziedzina: potęgę o dodatniej podstawie można obliczyć dla dowolnego wykładnika, więc:

$$D=\mathbb{R}$$

Zbiór wartości: potęga o dodatniej podstawie jest zawsze dodatnia, ale nigdy nie osiąga zera:

$$ZW=(0,\,+\infty)$$

Uwaga: przedział jest otwarty — wartość $0$ nie należy do zbioru wartości.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}$, $ZW=(0,\,+\infty)$.

Dla $x=0$ mamy $a^0=1$ niezależnie od podstawy, więc każdy wykres przechodzi przez punkt $(0,\,1)$.

Dla porównania: wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez $(1,\,0)$.

Odpowiedź: C. $(0,\,1)$.

Podstawa $a=\frac13$ mieści się w przedziale $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca.

Sprawdzenie na wartościach:

$$f(0)=1,\qquad f(1)=\tfrac13,\qquad f(2)=\tfrac19$$

Wartości maleją, choć pozostają dodatnie.

Odpowiedź: malejąca, bo $0<\frac13<1$.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność:

$$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac14$$

Uwaga: wynik jest dodatni, mimo ujemnego wykładnika — funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.

Odpowiedź: $f(-2)=\frac14$.

Gdy $x$ dąży do minus nieskończoności, wartości $2^x$ zbliżają się do zera, ale nigdy go nie osiągają:

$$\lim_{x\to-\infty}2^x=0$$

Asymptotą poziomą jest oś OX, czyli prosta $y=0$.

Odpowiedź: D. $y=0$.

Funkcja $2^x$ jest rosnąca, a $100>99$, więc:

$$2^{100}>2^{99}$$

Ile razy większa:

$$\frac{2^{100}}{2^{99}}=2^{100-99}=2$$

Odpowiedź: $2^{100}$ jest dwa razy większa.

Krok 1 — wzór. Przesunięcie w górę to dodanie stałej na zewnątrz:

$$g(x)=2^x+3$$

Krok 2 — asymptota. Skoro cały wykres przesunął się o $3$ w górę, asymptota też:

$$y=3$$

Zbiór wartości zmienia się na $(3,\,+\infty)$.

Odpowiedź: $g(x)=2^x+3$; asymptota $y=3$.

Funkcja $3^x$ jest rosnąca (podstawa $>1$), więc większy wykładnik daje większą wartość:

$$3^5=243>81=3^4 \ ✔$$

Dla porównania: przy podstawie $\frac12$ (funkcja malejąca) większy wykładnik daje mniejszą wartość, więc C jest fałszywe. Podobnie $3^{-1}=\frac13<1=3^0$.

Odpowiedź: A.

Dziedzina: logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich:

$$D=(0,\,+\infty)$$

Zbiór wartości: logarytm przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste:

$$ZW=\mathbb{R}$$

Obserwacja: funkcja logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej — ich dziedziny i zbiory wartości zamieniają się miejscami.

Odpowiedź: $D=(0,\,+\infty)$, $ZW=\mathbb{R}$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$\left(\frac23\right)^0=1$$

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$27=3^3 \quad\Rightarrow\quad 3^x>3^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Podstawa $3>1$, więc funkcja jest rosnąca i znak nierówności zostaje bez zmian:

$$x>3$$

Odpowiedź: $x\in(3,\,+\infty)$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$\frac18=\left(\frac12\right)^3 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^3$$

Krok 2 — kluczowa uwaga. Podstawa $\frac12$ należy do przedziału $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca — przy porównywaniu wykładników odwracamy znak nierówności:

$$x<3$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $\left(\frac12\right)^0=1>\frac18$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,3)$.

Zmiana wewnątrz wykładnika przesuwa wykres poziomo, a minus oznacza ruch w prawo.

Sprawdzenie: punkt $(0,\,1)$ przechodzi na $(1,\,1)$, bo $2^{1-1}=2^0=1$ ✔

Odpowiedź: B. o $1$ w prawo.

Obliczamy każdą:

$$2^3=8,\qquad 3^2=9,\qquad 2^{-1}=\tfrac12,\qquad 1=1$$

Porządkujemy:

$$\tfrac12<1<8<9$$

Odpowiedź: $2^{-1}<1<2^3<3^2$.

Potęga o dodatniej podstawie zawsze daje wynik dodatni:

$$a^x>0 \quad \text{dla } a>0$$

Dlatego zbiór wartości to $(0,\,+\infty)$ — funkcja nigdy nie osiąga zera ani wartości ujemnych. Wartość $1$ osiąga dla $x=0$.

Odpowiedź: D. ujemnych ani zera.

Krok 1 — nierówność:

$$200\cdot2^t>3000 \quad\Rightarrow\quad 2^t>15$$

Krok 2 — sprawdzamy kolejne potęgi dwójki:

$$2^3=8<15,\qquad 2^4=16>15$$

Zatem najmniejsze całkowite $t$ to $4$.

Krok 3 — weryfikacja:

$$N(4)=200\cdot16=3200>3000 \ ✔$$

$$N(3)=200\cdot8=1600<3000$$

Odpowiedź: po $4$ godzinach.

Krok 1 — symetria względem osi OY to zamiana $x$ na $-x$:

$$g(x)=2^{-x}$$

Krok 2 — przekształcamy wzór:

$$2^{-x}=\left(2^{-1}\right)^x=\left(\frac12\right)^x$$

Krok 3 — monotoniczność. Podstawa $\frac12$ należy do $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca.

Wniosek ogólny: odbicie funkcji rosnącej względem osi OY daje funkcję malejącą.

Odpowiedź: $g(x)=\left(\frac12\right)^x$; funkcja malejąca.

Krok 1 — wzór. Co roku zostaje $80\%$ wartości, czyli mnożnik $0{,}8$:

$$W(t)=60\,000\cdot0{,}8^t$$

Krok 2 — wartość po $2$ latach:

$$W(2)=60\,000\cdot0{,}64=38\,400\ \text{zł}$$

Sprawdzenie krokami: po roku $60\,000\cdot0{,}8=48\,000$, po drugim $48\,000\cdot0{,}8=38\,400$ ✔

Uwaga: spadek o $20\%$ dwa razy to nie spadek o $40\%$ — drugi procent liczy się od mniejszej kwoty.

Odpowiedź: $W(t)=60\,000\cdot0{,}8^t$; po $2$ latach $38\,400$ zł.

Krok 1 — miejsce zerowe. Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$2^x-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2^x=4=2^2 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 2 — asymptota. Wykres $y=2^x$ przesunięto o $4$ w dół, więc asymptota też się przesuwa:

$$y=-4$$

Krok 3 — zbiór wartości. Skoro $2^x>0$, to $2^x-4>-4$:

$$ZW=(-4,\,+\infty)$$

Sprawdzenie: $f(0)=1-4=-3$, co mieści się w $ZW$ ✔

Odpowiedź: miejsce zerowe $x=2$, asymptota $y=-4$, $ZW=(-4,\,+\infty)$.