Ułamek liczby

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik:

$$\frac{2\cdot3}{3\cdot5}=\frac{6}{15}=\frac25$$

Sprytniej: trójki można skrócić przed mnożeniem — wtedy od razu wychodzi $\frac25$.

Odpowiedź: B. $\frac25$.

Sposób 1 — przez jedną część:

$$20:4=5,\qquad 3\cdot5=15$$

Sposób 2 — mnożenie:

$$\frac34\cdot20=\frac{60}{4}=15$$

Zapamiętaj: słowo „z" w takich zadaniach oznacza mnożenie.

Odpowiedź: $15$.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność dzielnika:

$$\frac45\cdot\frac32=\frac{12}{10}=\frac65=1\frac15$$

Odpowiedź: $\frac65$, czyli $1\frac15$.

$$\frac{1\cdot1}{2\cdot3}=\frac16$$

Obrazowo: połowa z jednej trzeciej tortu to jedna szósta tortu — iloczyn ułamków właściwych jest zawsze mniejszy od każdego z nich.

Odpowiedź: C. $\frac16$.

Liczbę całkowitą zapisujemy jako ułamek o mianowniku $1$:

$$\frac27\cdot\frac{14}{1}=\frac{28}{7}=4$$

Szybciej: $14:7=2$, a $2\cdot2=4$.

Odpowiedź: $4$.

Odwrotność powstaje przez zamianę licznika z mianownikiem:

$$\frac38 \ \to\ \frac83$$

Sprawdzenie: iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze wynosi $1$ — tutaj $\frac38\cdot\frac83=\frac{24}{24}=1$ ✔

Odpowiedź: A. $\frac83$.

Krok 1 — skracamy na krzyż. Piątkę z $10$ oraz trójkę z $6$:

$$\frac{\cancel{5}^{\,1}}{\cancel{6}^{\,2}}\cdot\frac{\cancel{3}^{\,1}}{\cancel{10}^{\,2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\frac14$$

Kontrola bez skracania: $\frac{15}{60}=\frac14$ ✔ — skracanie wcześniej oszczędza pracy.

Odpowiedź: $\frac14$.

Rachunek:

$$6\cdot\frac32=\frac{18}{2}=9$$

Dlaczego wynik rośnie. Pytamy, ile razy $\frac23$ mieści się w $6$. Skoro $\frac23$ jest mniejsze od $1$, zmieści się więcej niż $6$ razy.

Reguła: dzielenie przez ułamek mniejszy od jedynki zawsze powiększa wynik.

Odpowiedź: $9$.

Słowo „z" oznacza mnożenie:

$$\frac14\cdot\frac12=\frac18$$

Obrazowo: ćwiartka połowy tortu to jedna ósma całego tortu.

Odpowiedź: D. $\frac18$.

Krok 1 — zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

$$2\frac12=\frac{2\cdot2+1}{2}=\frac52$$

Krok 2 — mnożymy ze skracaniem:

$$\frac52\cdot\frac45=\frac{20}{10}=2$$

Uwaga: liczby mieszanej nie wolno mnożyć „częściami" — najpierw zamiana na ułamek niewłaściwy.

Odpowiedź: $2$.

Dzielimy przez $3$, czyli mnożymy przez $\frac13$:

$$\frac35\cdot\frac13=\frac{3}{15}=\frac15$$

Uwaga: $\frac{3}{15}$ jest liczbowo poprawne, ale nieskrócone.

Odpowiedź: B. $\frac15$.

Krok 1 — liczba dziewcząt:

$$\frac37\cdot28=\frac{84}{7}=12$$

Krok 2 — liczba chłopców:

$$28-12=16$$

Kontrola: chłopcy to $\frac47$ klasy, a $\frac47\cdot28=16$ ✔

Odpowiedź: $16$ chłopców.

Mnożymy przez odwrotność:

$$\frac78\cdot\frac47=\frac{28}{56}=\frac12$$

Sprytniej ze skracaniem: siódemki się skracają, a $\frac48=\frac12$.

Odpowiedź: $\frac12$.

$$\frac{2\cdot3}{3\cdot2}=\frac66=1$$

To odwrotności — ich iloczyn zawsze wynosi $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — najpierw mnożenie (ma pierwszeństwo):

$$\frac13\cdot\frac34=\frac{3}{12}=\frac14$$

Krok 2 — dodawanie ze wspólnym mianownikiem:

$$\frac12+\frac14=\frac24+\frac14=\frac34$$

Pułapka: liczenie od lewej dałoby $\frac56\cdot\frac34=\frac58$ — wynik błędny.

Odpowiedź: $\frac34$.

Pytanie „ile razy mieści się" to dzielenie:

$$2:\frac14=2\cdot4=8$$

Sprawdzenie: osiem ćwiartek to dwie całości ✔

Odpowiedź: C. $8$ razy.

Krok 1 — zużyta mąka:

$$\frac23\cdot\frac34=\frac{6}{12}=\frac12\ \text{kg}$$

Krok 2 — reszta:

$$\frac34-\frac12=\frac34-\frac24=\frac14\ \text{kg}$$

Kontrola: zostało $\frac13$ z $\frac34$, czyli $\frac13\cdot\frac34=\frac14$ ✔

Odpowiedź: zużyto $\frac12$ kg, zostało $\frac14$ kg.

Krok 1 — rozpoznanie. Pytamy, ile razy $\frac{3}{20}$ mieści się w $\frac{9}{10}$ — to dzielenie.

Krok 2 — mnożymy przez odwrotność:

$$\frac{9}{10}:\frac{3}{20}=\frac{9}{10}\cdot\frac{20}{3}=\frac{180}{30}=6$$

Sprawdzenie: $6\cdot\frac{3}{20}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$ ✔

Odpowiedź: $6$ kawałków.

Krok 1 — pole to iloczyn boków:

$$P=\frac45\cdot\frac58$$

Krok 2 — skracamy przed mnożeniem. Piątki skracają się nawzajem, a $4$ z $8$ daje $\frac12$:

$$P=\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac12\ \text{km}^2$$

Kontrola bez skracania: $\frac{20}{40}=\frac12$ ✔

Odpowiedź: $\frac12$ km$^2$.

Krok 1 — pojemność całkowita. Skoro $\frac25$ pojemności to $60$ litrów, to jedna piąta wynosi:

$$60:2=30\ \text{litrów}$$

Krok 2 — całość to pięć takich części:

$$5\cdot30=150\ \text{litrów}$$

Krok 3 — brakuje:

$$150-60=90\ \text{litrów}$$

Kontrola. Brakuje $\frac35$ pojemności, a $\frac35\cdot150=90$ ✔

Uwaga na kierunek działania: mając część i szukając całości, dzielimy przez ułamek: $60:\frac25=60\cdot\frac52=150$ ✔

Odpowiedź: zbiornik mieści $150$ litrów, brakuje $90$ litrów.