Działania łączne na ułamkach dziesiętnych

Krok 1 — mnożymy bez przecinków:

$$4\cdot3=12$$

Krok 2 — liczymy miejsca po przecinku. Pierwszy czynnik ma jedno, drugi też jedno, więc razem dwa:

$$0{,}4\cdot0{,}3=0{,}12$$

Kontrola sensu: mnożymy dwie liczby mniejsze od $1$, więc wynik musi być mniejszy od każdej z nich. Odpowiedzi A i D można odrzucić bez liczenia.

Odpowiedź: B. $0{,}12$.

Mnożymy jak liczby całkowite, a potem stawiamy przecinek:

$$25\cdot4=100 \quad\Rightarrow\quad 2{,}5\cdot4=10$$

Zasada: w wyniku jest tyle cyfr po przecinku, ile łącznie w obu czynnikach — tutaj jedna, ale końcowe zero się skraca.

Odpowiedź: B. $10$.

Dodajemy wyrównując przecinki:

$$0{,}3+0{,}4=0{,}7$$

Odpowiedź: B. $0{,}7$.

Krok 1 — mnożymy jak liczby całkowite:

$$25\cdot12=300$$

Krok 2 — miejsca po przecinku. Każdy czynnik ma po jednym, więc razem dwa:

$$3{,}00=3$$

Sprawdzenie inną drogą: $2{,}5\cdot1{,}2=2{,}5+2{,}5\cdot0{,}2=2{,}5+0{,}5=3$ ✔

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — mnożymy bez przecinków:

$$3\cdot4=12$$

Krok 2 — liczymy cyfry po przecinku. W obu czynnikach jest po jednej, więc w wyniku muszą być dwie:

$$0{,}12$$

Kontrola sensu: mnożymy dwie liczby mniejsze od $1$, więc wynik musi być jeszcze mniejszy ✔

Odpowiedź: $0{,}12$.

Wyrównujemy przecinki i dodajemy:

$$2{,}50+1{,}75=4{,}25$$

Odpowiedź: $4{,}25$.

Zasada: aby podzielić przez ułamek dziesiętny, mnożymy obie liczby przez $10$, $100$ lub $1000$ tak, aby dzielnik stał się liczbą całkowitą.

Krok 1 — mnożymy obie liczby przez $10$:

$$4{,}8:0{,}6=48:6$$

Krok 2 — dzielimy:

$$48:6=8$$

Sprawdzenie mnożeniem: $0{,}6\cdot8=4{,}8$ ✔

Odpowiedź: $8$.

Krok 1 — pozbywamy się przecinka z dzielnika. Mnożymy obie liczby przez $10$:

$$7{,}2:0{,}8=72:8$$

Krok 2 — dzielimy:

$$72:8=9$$

Dlaczego wolno tak zrobić: pomnożenie dzielnej i dzielnika przez tę samą liczbę nie zmienia ilorazu.

Odpowiedź: $9$.

$$5{,}6-2{,}8=2{,}8$$

Odpowiedź: $2{,}8$.

Mnożenie przez $100$ przesuwa przecinek o dwa miejsca w prawo:

$$3{,}7 \ \to \ 37 \ \to \ 370$$

Gdy zabraknie cyfr, dopisujemy zera — tutaj po siódemce dopisaliśmy jedno zero.

Reguła: mnożenie przez $10$, $100$, $1000$ przesuwa przecinek w prawo o tyle miejsc, ile jest zer; dzielenie — w lewo.

Odpowiedź: D. $370$.

Mnożenie przez $100$ przesuwa przecinek o dwa miejsca w prawo:

$$3{,}45\cdot100=345$$

Reguła: tyle miejsc, ile zer w mnożniku.

Odpowiedź: C. $345$.

Mnożymy jak liczby całkowite ($2\cdot3=6$), suma miejsc po przecinku to $2$:

$$0{,}2\cdot0{,}3=0{,}06$$

Odpowiedź: C. $0{,}06$.

Dzielenie przez $1000$ przesuwa przecinek o trzy miejsca w lewo:

$$56{,}4 \ \to \ 5{,}64 \ \to \ 0{,}564 \ \to \ 0{,}0564$$

Brakujące miejsca uzupełniamy zerami przed liczbą.

Kontrola sensu: dzielimy przez dużą liczbę, więc wynik musi być znacznie mniejszy od $56{,}4$ ✔

Odpowiedź: $0{,}0564$.

Dzielimy licznik przez mianownik:

$$3:8=0{,}375$$

Sprawdzenie: $0{,}375\cdot8=3$ ✔

Odpowiedź: $0{,}375$.

$$1{,}5\cdot4=6{,}0=6$$

Odpowiedź: $6$.

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie, więc dzielimy licznik przez mianownik:

$$3:8=0{,}375$$

Jak to policzyć pisemnie: $3$ nie dzieli się przez $8$, więc dopisujemy przecinek i zera. $30:8=3$ reszty $6$; $60:8=7$ reszty $4$; $40:8=5$ bez reszty.

Sprawdzenie: $0{,}375\cdot8=3$ ✔

Odpowiedź: $\frac38=0{,}375$.

Dzielenie przez $10$ przesuwa przecinek o jedno miejsce w lewo:

$$46{,}8:10=4{,}68$$

Odpowiedź: A. $4{,}68$.

$$2{,}4:2=1{,}2$$

Odpowiedź: A. $1{,}2$.

Krok 1 — zapisujemy jako ułamek o mianowniku będącym potęgą dziesiątki. Po przecinku są dwie cyfry, więc mianownikiem jest $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}$$

Krok 2 — skracamy przez $25$:

$$\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$$

Warto zapamiętać: $0{,}5=\frac12$, $0{,}25=\frac14$, $0{,}75=\frac34$, $0{,}2=\frac15$, $0{,}125=\frac18$.

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Krok 1 — mnożymy bez przecinków:

$$125\cdot8=1000$$

Krok 2 — liczba miejsc po przecinku. Dwa w pierwszym czynniku plus jedno w drugim daje trzy:

$$1{,}000=1$$

Odpowiedź: $1$.

Mnożenie przez $100$ przesuwa przecinek o $2$ miejsca w prawo:

$$0{,}75\cdot100=75$$

Odpowiedź: $75$.

Kluczowa zasada: przy dodawaniu pisemnym wyrównujemy przecinki, a nie ostatnie cyfry. Brakujące miejsca uzupełniamy zerami:

$$7{,}45+2{,}80$$

Dodajemy kolumnami od prawej:

$$7{,}45+2{,}80=10{,}25$$

Częsty błąd: dopisanie $2{,}8$ „do prawej” i policzenie $7{,}45+0{,}28$. Zera dopisujemy zawsze na końcu części dziesiętnej, bo $2{,}8=2{,}80$.

Odpowiedź: $10{,}25$.

Krok 1 — mnożymy obie liczby przez $100$:

$$9:0{,}25=900:25=36$$

Dlaczego wynik rośnie. Pytamy, ile ćwiartek mieści się w $9$. Skoro $0{,}25$ jest mniejsze od $1$, zmieści się ich więcej niż $9$.

Reguła: dzielenie przez liczbę mniejszą od jedynki zawsze powiększa wynik.

Odpowiedź: $36$.

Dzielenie przez $10$ przesuwa przecinek o $1$ miejsce w lewo:

$$3{,}6:10=0{,}36$$

Odpowiedź: $0{,}36$.

Krok 1 — uzupełniamy zerami, aby liczby miały tyle samo miejsc po przecinku:

$$10{,}00-3{,}47$$

Krok 2 — odejmujemy pisemnie z pożyczkami:

$$10{,}00-3{,}47=6{,}53$$

Sprawdzenie dodawaniem: $6{,}53+3{,}47=10{,}00$ ✔

Odpowiedź: $6{,}53$.

$$1:3=0{,}3333\ldots=0{,}(3)$$

To ułamek okresowy — trójka powtarza się w nieskończoność. Zapisujemy ją w nawiasie.

Uwaga: $0{,}3$ to dokładnie $\frac{3}{10}$, czyli inna liczba niż $\frac13$.

Odpowiedź: D. $0{,}(3)$.

$$0{,}5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: D. $\frac{1}{2}$.

Krok 1 — uzupełniamy zerami do jednakowej liczby miejsc po przecinku:

$$0{,}400,\qquad 0{,}390,\qquad 0{,}450,\qquad 0{,}399$$

Krok 2 — teraz porównujemy jak liczby całkowite:

$$390<399<400<450$$

Największa jest więc $0{,}45$.

Częsty błąd: uznanie $0{,}399$ za największą, bo „ma najwięcej cyfr”. Liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: C. $0{,}45$.

$$2{,}5\cdot4{,}80=12\ \text{zł}$$

Rachunek pomocniczy: $2$ kg to $9{,}60$ zł, a pół kilograma to $2{,}40$ zł. Razem $12$ zł ✔

Odpowiedź: $12$ zł.

Krok 1 — mnożymy dzielną i dzielnik przez $10$ (pozbywamy się przecinka w dzielniku):

$$4{,}2:0{,}6=42:6$$

Krok 2 — dzielimy:

$$42:6=7$$

Odpowiedź: $7$.

Kolejność działań: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie:

$$3{,}2\cdot0{,}5=1{,}6$$

(mnożenie przez $0{,}5$ to to samo co dzielenie przez $2$)

Krok 2 — dodawanie:

$$2{,}5+1{,}6=4{,}1$$

Częsty błąd: liczenie od lewej, czyli $(2{,}5+3{,}2)\cdot0{,}5=2{,}85$. Mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem.

Odpowiedź: $4{,}1$.

$$5\cdot5=25$$

Dwie cyfry po przecinku łącznie, więc:

$$0{,}25$$

Obrazowo: połowa z połowy to ćwiartka.

Odpowiedź: B. $0{,}25$.

$1\cdot1=1$, dwa miejsca po przecinku:

$$0{,}1\cdot0{,}1=0{,}01$$

Odpowiedź: B. $0{,}01$.

Sposób 1 — mnożenie:

$$32{,}40\cdot0{,}25=8{,}10\ \text{zł}$$

Sposób 2 — przez ułamek zwykły. Ponieważ $0{,}25=\frac14$, wystarczy podzielić cenę przez $4$:

$$32{,}40:4=8{,}10\ \text{zł}$$

Drugi sposób jest w tym wypadku znacznie szybszy — warto rozpoznawać typowe ułamki.

Kontrola sensu: ćwierć kilograma to niecałe $10$ zł przy cenie ponad $32$ zł za kilogram — wynik jest wiarygodny.

Odpowiedź: zapłacimy $8{,}10$ zł.

Krok 1 — mnożymy obie liczby przez $10$:

$$12{,}6:0{,}3=126:3$$

Krok 2 — dzielimy:

$$126:3=42$$

Sprawdzenie: $42\cdot0{,}3=12{,}6$ ✔

Odpowiedź: $42$.

Wyrównujemy przecinki ($10=10{,}00$):

$$10{,}00-3{,}45=6{,}55$$

Odpowiedź: $6{,}55$.

Krok 1 — mnożymy obie liczby przez $100$, aby dzielnik stał się całkowity:

$$0{,}9:0{,}03=90:3$$

Krok 2 — dzielimy:

$$90:3=30$$

Kontrola sensu: dzielimy przez liczbę mniejszą od $1$, więc wynik musi być większy od dzielnej. To eliminuje odpowiedzi A i C bez liczenia.

Sprawdzenie: $0{,}03\cdot30=0{,}9$ ✔

Odpowiedź: B. $30$.

Sposób z rozszerzaniem — doprowadzamy mianownik do potęgi dziesiątki:

$$\frac14=\frac{25}{100}=0{,}25$$

$$\frac25=\frac{4}{10}=0{,}4$$

$$\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0{,}35$$

Odpowiedź: $0{,}25$; $0{,}4$; $0{,}35$.

Dzielimy licznik przez mianownik:

$$3:4=0{,}75$$

Odpowiedź: $0{,}75$.

Sposób 1 — rozszerzenie do mianownika $100$. Mnożymy licznik i mianownik przez $5$:

$$\frac{7}{20}=\frac{7\cdot5}{20\cdot5}=\frac{35}{100}=0{,}35$$

Sposób 2 — dzielenie pisemne:

$$7:20=0{,}35$$

Kiedy pierwszy sposób działa: gdy mianownik da się rozszerzyć do $10$, $100$ lub $1000$ — czyli gdy po skróceniu zawiera tylko czynniki $2$ i $5$. Dla $\frac13$ to niemożliwe i otrzymamy rozwinięcie okresowe $0{,}(3)$.

Odpowiedź: $\frac{7}{20}=0{,}35$.

Przesuwamy przecinek o trzy miejsca w prawo:

$$0{,}06\cdot1000=60$$

Krok po kroku: $0{,}06\to0{,}6\to6\to60$.

Odpowiedź: C. $60$.

Porównujemy cyframi po przecinku: $0{,}51>0{,}50>0{,}49>0{,}05$.

Odpowiedź: C. $0{,}51$.

Kolejność działań: najpierw nawias, potem dzielenie.

Krok 1 — odejmowanie w nawiasie:

$$4{,}5-1{,}8=2{,}7$$

Krok 2 — dzielenie. Mnożymy obie liczby przez $10$:

$$2{,}7:0{,}9=27:9=3$$

Sprawdzenie: $0{,}9\cdot3=2{,}7$ ✔

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$0{,}5\cdot4=2$$

Krok 2 — dodawanie:

$$2+2=4$$

Pułapka: liczenie od lewej dałoby $2{,}5\cdot4=10$.

Odpowiedź: $4$.

Krok 1 — najpierw mnożenie:

$$2{,}5\cdot4=10$$

Krok 2 — dodawanie:

$$10+1{,}5=11{,}5$$

Odpowiedź: $11{,}5$.

Krok 1 — znajdujemy cyfrę części dziesiętnych. To pierwsza cyfra po przecinku, czyli $6$.

Krok 2 — patrzymy na cyfrę następną. Jest nią $8$.

Krok 3 — stosujemy regułę: cyfra $5$ lub większa oznacza zaokrąglenie w górę:

$$7{,}682 \approx 7{,}7$$

Uwaga: patrzymy tylko na jedną następną cyfrę. Nie zaokrąglamy stopniowo ($7{,}682\to7{,}68\to7{,}7$ przypadkiem daje tu ten sam wynik, ale bywa, że nie).

Odpowiedź: A. $7{,}7$.

Mnożymy obie liczby przez $2$:

$$8:0{,}5=16:1=16$$

Sens: pytamy, ile połówek mieści się w ośmiu całościach — jest ich $16$.

Odpowiedź: A. $16$.

$$0{,}25\cdot4=1{,}00=1$$

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — mnożymy bez przecinków:

$$680\cdot25=17\,000$$

Krok 2 — liczymy miejsca po przecinku. Pierwsza liczba ma dwa, druga jedno, więc razem trzy:

$$17{,}000=17\ \text{zł}$$

Sprawdzenie inną drogą: $2$ litry to $13{,}60$ zł, a pół litra to $3{,}40$ zł. Razem $13{,}60+3{,}40=17$ zł ✔

Odpowiedź: zapłacimy $17$ zł.

Krok 1 — koszt paliwa:

$$38{,}5\cdot6{,}40=246{,}40\ \text{zł}$$

Rachunek pomocniczy: $38\cdot6{,}40=243{,}20$, a $0{,}5\cdot6{,}40=3{,}20$. Razem $246{,}40$ zł ✔

Krok 2 — reszta:

$$300-246{,}40=53{,}60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłacił $246{,}40$ zł, reszty $53{,}60$ zł.

Mnożymy cenę przez masę:

$$2{,}5\cdot3{,}20=8{,}00=8\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $8$ zł.

Krok 1 — sprowadzamy wszystko do ułamków dziesiętnych:

$$0{,}7,\qquad \frac34=0{,}75,\qquad 0{,}68,\qquad \frac{7}{10}=0{,}7$$

Krok 2 — uzupełniamy zerami i porównujemy:

$$0{,}68<0{,}70=0{,}70<0{,}75$$

Ważna obserwacja: $0{,}7$ i $\frac{7}{10}$ to ta sama liczba zapisana na dwa sposoby — są równe, więc kolejność między nimi jest dowolna.

Odpowiedź: $0{,}68 < 0{,}7 = \frac{7}{10} < \frac34$.

Krok 1 — dzielenie:

$$7{,}5:0{,}6=75:6=12{,}5$$

Krok 2 — interpretacja. Wynik nie jest całkowity, więc powstanie $12$ pełnych kawałków.

Krok 3 — reszta:

$$12\cdot0{,}6=7{,}2\ \text{m},\qquad 7{,}5-7{,}2=0{,}3\ \text{m}$$

Uwaga: $0{,}5$ w wyniku dzielenia oznacza połowę kawałka, czyli $0{,}3$ m — a nie $0{,}5$ m.

Odpowiedź: $12$ pełnych kawałków, zostanie $0{,}3$ m.

Odejmujemy:

$$50{,}00-37{,}80=12{,}20\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $12{,}20$ zł reszty.

Krok 1 — koszt jabłek:

$$1{,}5\cdot4{,}20=6{,}30\ \text{zł}$$

Krok 2 — koszt gruszek:

$$0{,}8\cdot6{,}50=5{,}20\ \text{zł}$$

Krok 3 — razem:

$$6{,}30+5{,}20=11{,}50\ \text{zł}$$

Krok 4 — reszta:

$$20-11{,}50=8{,}50\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $11{,}50+8{,}50=20$ zł ✔

Odpowiedź: mama zapłaciła $11{,}50$ zł i dostała $8{,}50$ zł reszty.

Krok 1 — pole:

$$P=12{,}5\cdot8{,}4=105\ \text{m}^2$$

Rachunek pomocniczy: $125\cdot84=10\,500$, a łącznie dwie cyfry po przecinku dają $105{,}00$ ✔

Krok 2 — obwód:

$$O=2(12{,}5+8{,}4)=2\cdot20{,}9=41{,}8\ \text{m}$$

Odpowiedź: pole $105$ m$^2$, obwód $41{,}8$ m.

Krok 1 — koszt $6$ butelek:

$$6\cdot2{,}40=14{,}40\ \text{zł}$$

Krok 2 — reszta z $20$ zł:

$$20{,}00-14{,}40=5{,}60\ \text{zł}$$

Odpowiedź: zapłacimy $14{,}40$ zł, reszta $5{,}60$ zł.

Krok 1 — dzielimy, mnożąc obie liczby przez $10$:

$$45{,}5:0{,}7=455:7=65$$

Krok 2 — sprawdzamy resztę:

$$65\cdot0{,}7=45{,}5$$

Dzielenie wyszło bez reszty, więc cała woda zmieściła się w butelkach i nic nie zostało.

Uwaga praktyczna: gdyby dzielenie nie wyszło równo, liczbę pełnych butelek zaokrąglamy w dół, a resztę liczymy jako różnicę — butelka napełniona częściowo nie liczy się jako pełna.

Odpowiedź: napełniono $65$ butelek, woda nie została.

Krok 1 — szacunek. $0{,}35$ kg to nieco ponad jedna trzecia kilograma, a $32{,}50:3\approx11$ zł. Spodziewamy się więc około $11$ zł.

Krok 2 — rachunek dokładny:

$$0{,}35\cdot32{,}50=11{,}375\ \text{zł}$$

Krok 3 — zaokrąglenie do groszy. Trzecia cyfra po przecinku to $5$, więc zaokrąglamy w górę:

$$11{,}38\ \text{zł}$$

Porównanie z szacunkiem: $11{,}38$ jest bliskie przewidywanym $11$ zł ✔ Szacunek pozwolił od razu ocenić, że wynik rzędu $110$ zł czy $1{,}10$ zł byłby błędny.

Odpowiedź: $11{,}38$ zł.

Krok 1 — zapisujemy $0{,}1$ jako ułamek zwykły:

$$0{,}1=\frac{1}{10}$$

Krok 2 — mnożenie przez ułamek. Mnożenie przez $\frac{1}{10}$ to to samo, co dzielenie przez $10$:

$$a\cdot0{,}1=a\cdot\frac{1}{10}=\frac{a}{10}=a:10 \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $a=7$: $7\cdot0{,}1=0{,}7$ oraz $7:10=0{,}7$ — zgadza się ✔