Liczby wymierne

Pierwiastek kwadratowy z $49$ to liczba, która podniesiona do kwadratu daje $49$:

$$7^2=49 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{49}=7$$

Pułapka: odpowiedź A to wynik dzielenia $49:2$ — pierwiastkowanie to zupełnie inne działanie.

Odpowiedź: C. $7$.

Krok 1 — czas w godzinach:

$$40\ \text{min}=\frac{40}{60}=\frac23\ \text{h}$$

Krok 2 — droga:

$$s=90\cdot\frac23=60\ \text{km}$$

Odpowiedź: B. $60$ km.

Pierwiastek sześcienny z $64$ to liczba, której trzecia potęga daje $64$:

$$4^3=4\cdot4\cdot4=64 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{64}=4$$

Uwaga: nie mylić z pierwiastkiem kwadratowym — $\sqrt{64}=8$, ale $\sqrt[3]{64}=4$.

Odpowiedź: $4$.

Liczby mają różne znaki, więc odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większej wartości bezwzględnej:

$$7{,}2-3{,}5=3{,}7$$

Większa jest $7{,}2$, która jest dodatnia.

Odpowiedź: $3{,}7$.

Obliczamy każdy pierwiastek osobno:

$$\sqrt{25}=5,\qquad \sqrt{16}=4$$

Dodajemy:

$$5+4=9$$

Ważne: $\sqrt{25}+\sqrt{16}\neq\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$. Pierwiastka z sumy nie rozdziela się na sumę pierwiastków.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — cena za kilogram:

$$15:6=2{,}50\ \text{zł}$$

Krok 2 — dziesięć kilogramów:

$$10\cdot2{,}50=25\ \text{zł}$$

Odpowiedź: $25$ zł.

Krok 1 — szukamy największego kwadratu w liczbie $50$:

$$50=25\cdot2$$

Krok 2 — wyciągamy pierwiastek z kwadratu przed znak:

$$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt2=5\sqrt2$$

Sprawdzenie przybliżeniem: $5\sqrt2\approx7{,}07$, a $\sqrt{50}\approx7{,}07$ ✔

Odpowiedź: B. $5\sqrt2$.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$(-4)\cdot(-6)=24$$

Reguła znaków: jednakowe znaki dają plus, różne — minus.

Odpowiedź: C. $24$.

Sposób 1 — osobno:

$$\sqrt9\cdot\sqrt4=3\cdot2=6$$

Sposób 2 — pierwiastek iloczynu:

$$\sqrt9\cdot\sqrt4=\sqrt{9\cdot4}=\sqrt{36}=6$$

Reguła: pierwiastek iloczynu równa się iloczynowi pierwiastków — w odróżnieniu od sumy, gdzie taka reguła nie działa.

Odpowiedź: $6$.

Od temperatury końcowej odejmujemy początkową:

$$5-(-7)=5+7=12^\circ\text{C}$$

Kontrola na osi: od $-7$ do $0$ jest $7$ stopni, a od $0$ do $5$ jeszcze $5$ — razem $12$ ✔

Odpowiedź: o $12^\circ$C.

Liczba niewymierna to taka, której nie da się zapisać jako ułamek zwykły — ma nieskończone, nieokresowe rozwinięcie dziesiętne.

$$\sqrt2=1{,}41421356\ldots \quad (\text{niewymierna})$$

Pozostałe są wymierne: $\sqrt9=3$, $0{,}25=\frac14$, $\frac13$ to ułamek.

Reguła: pierwiastek z liczby naturalnej jest wymierny tylko wtedy, gdy liczba jest kwadratem liczby naturalnej.

Odpowiedź: A. $\sqrt2$.

Krok 1 — obniżka w złotych:

$$180-126=54\ \text{zł}$$

Krok 2 — odnosimy do ceny początkowej:

$$\frac{54}{180}=0{,}3=30\%$$

Uwaga: $54$ to obniżka w złotych, a nie w procentach — to typowa pomyłka.

Odpowiedź: A. $30\%$.

Podniesienie pierwiastka do kwadratu znosi pierwiastkowanie — to działania odwrotne:

$$\left(\sqrt7\right)^2=7$$

Ogólnie: $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$ dla $a\ge0$.

Odpowiedź: $7$.

Krok 1 — dodajemy godziny:

$$9{:}20+3\ \text{h}=12{:}20$$

Krok 2 — dodajemy minuty. $20+50=70$ min, czyli $1$ h $10$ min:

$$12{:}20+50\ \text{min}=13{:}10$$

Odpowiedź: o $13{:}10$.

Sposób 1 — osobno:

$$\sqrt{144}=12,\qquad \sqrt4=2$$

$$12:2=6$$

Sposób 2 — pierwiastek ilorazu:

$$\frac{\sqrt{144}}{\sqrt4}=\sqrt{\frac{144}{4}}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: $6$.

Dzielimy kwotę przez zużycie:

$$186:310=0{,}60\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $310\cdot0{,}60=186$ zł ✔

Odpowiedź: $0{,}60$ zł za kWh.

Szukamy dwóch kolejnych kwadratów, między którymi mieści się $20$:

$$4^2=16<20<25=5^2$$

Zatem:

$$4<\sqrt{20}<5$$

Dokładniej: $\sqrt{20}\approx4{,}47$ — leży bliżej $4{,}5$.

Odpowiedź: D. $4$ i $5$.

Iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

$$-12:(-3)=4$$

Odpowiedź: D. $4$.

Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem traktujemy jak wyrazy podobne — działamy na współczynnikach:

$$2\sqrt3+5\sqrt3-\sqrt3=(2+5-1)\sqrt3=6\sqrt3$$

Analogia: to jak $2a+5a-a=6a$, gdzie $a=\sqrt3$. Sam pierwiastek pozostaje bez zmian.

Uwaga: pamiętaj, że $\sqrt3$ ma domyślny współczynnik $1$.

Odpowiedź: $6\sqrt3$.

Krok 1 — wysokość raty:

$$2400:16=150\ \text{zł}$$

Krok 2 — spłacono po sześciu ratach:

$$6\cdot150=900\ \text{zł}$$

Krok 3 — pozostało:

$$2400-900=1500\ \text{zł}$$

Odpowiedź: rata $150$ zł, do spłaty zostaje $1500$ zł.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

$$2^3\cdot2^2=2^{3+2}=2^5=32$$

Sprawdzenie: $8\cdot4=32$ oraz $2^5=32$ ✔

Odpowiedź: B. $2^5$.

Liczba wymierna to taka, którą można zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

Ułamek $-\frac37$ spełnia tę definicję.

Liczby $\sqrt2$, $\sqrt5$ i $\pi$ są niewymierne — ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Odpowiedź: B. $-\frac37$.

Notacja wykładnicza to zapis $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a<10$.

Krok 1 — przesuwamy przecinek, aby uzyskać liczbę z zakresu od $1$ do $10$:

$$45\,000=4{,}5\cdot10\,000$$

Krok 2 — zapisujemy $10\,000$ jako potęgę:

$$10\,000=10^4$$

$$45\,000=4{,}5\cdot10^4$$

Kontrola: wykładnik $4$ to liczba miejsc, o które przesunęliśmy przecinek w lewo.

Odpowiedź: $4{,}5\cdot10^4$.

Krok 1 — powierzchnia ściany:

$$8\cdot2{,}5=20\ \text{m}^2$$

Krok 2 — liczba puszek:

$$20:12\approx1{,}67$$

Krok 3 — zaokrąglenie w górę. Jedna puszka nie wystarczy, a puszek nie kupuje się w kawałkach:

$$2\ \text{puszki}$$

Odpowiedź: trzeba kupić $2$ puszki.

Szukamy liczby, której kwadrat daje $0{,}09$:

$$0{,}3^2=0{,}09 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{0{,}09}=0{,}3$$

Wskazówka: $0{,}09=\frac{9}{100}$, więc $\sqrt{\frac{9}{100}}=\frac{3}{10}=0{,}3$.

Odpowiedź: $0{,}3$.

Krok 1 — znak. Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny.

Krok 2 — wartość, ze skracaniem:

$$\frac23\cdot\frac94=\frac{18}{12}=\frac32$$

Krok 3 — składamy:

$$-\frac32=-1\frac12$$

Odpowiedź: $-\frac32$.

Kluczowa reguła: każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$5^0=1$$

Ponadto $3^1=3$. Zatem:

$$5^0+3^1=1+3=4$$

Pułapka: potraktowanie $5^0$ jako $0$ (błędna odpowiedź B) — to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: C. $4$.

Zależność jest wprost proporcjonalna:

$$\frac{300}{4}=75\ \text{g na porcję}$$

$$6\cdot75=450\ \text{g}$$

Odpowiedź: C. $450$ g.

Pole kwadratu to $P=a^2$, więc bok jest pierwiastkiem z pola:

$$a=\sqrt{P}=\sqrt{81}=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $9^2=81$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: bok ma $9$ cm.

Krok 1 — czas napełniania:

$$450:25=18\ \text{minut}$$

Krok 2 — po ośmiu minutach:

$$8\cdot25=200\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: pełny po $18$ minutach; po $8$ minutach będzie $200$ litrów.

Korzystamy z reguły pierwiastka iloczynu:

$$\sqrt2\cdot\sqrt8=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4$$

Dlaczego wynik jest „ładny”: iloczyn $2\cdot8=16$ jest kwadratem liczby całkowitej, więc pierwiastek się „upraszcza” do liczby wymiernej — mimo że każdy czynnik osobno jest niewymierny.

Odpowiedź: $4$.

Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:

$$-5+8=3$$

Zapamiętaj: dwa minusy obok siebie dają plus.

Odpowiedź: A. $3$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{6^5}{6^3}=6^{5-3}=6^2=36$$

Odpowiedź: A. $36$.

Krok 1 — koszt wody miesięcznie:

$$14\cdot9{,}50=133\ \text{zł}$$

Krok 2 — rachunek miesięczny z abonamentem:

$$133+12=145\ \text{zł}$$

Krok 3 — pół roku to sześć miesięcy:

$$6\cdot145=870\ \text{zł}$$

Uwaga: abonament doliczamy co miesiąc, a nie raz — dlatego mnożymy całą kwotę przez $6$, nie tylko koszt wody.

Odpowiedź: $870$ zł.

Podstawiamy przybliżenie pierwiastka:

$$5\sqrt2\approx5\cdot1{,}41=7{,}05$$

Kontrola sensu: przekątna kwadratu jest zawsze dłuższa od boku, ale krótsza od podwojonego boku ($10$). Wynik $7{,}05$ mieści się w tym przedziale ✔

Wzór ogólny: przekątna kwadratu o boku $a$ to $a\sqrt2$.

Odpowiedź: około $7{,}05$.

Opcja 1 — rabat:

$$1200\cdot0{,}85=1020\ \text{zł}$$

Opcja 2 — raty:

$$12\cdot105=1260\ \text{zł}$$

Porównanie:

$$1260-1020=240\ \text{zł}$$

Wniosek. Rabat jest tańszy o $240$ zł. Raty kosztują nawet więcej niż cena wyjściowa ($1260>1200$) — nadwyżka $60$ zł to koszt rozłożenia płatności w czasie.

Odpowiedź: tańszy jest rabat, o $240$ zł.

Obliczamy każdy składnik osobno:

$$\sqrt{16}=4$$

$$2^3=8$$

$$\sqrt[3]{27}=3 \quad (\text{bo } 3^3=27)$$

Podstawiamy do wyrażenia:

$$4+8-3=9$$

Uwaga na rodzaj pierwiastka: $\sqrt[3]{27}=3$, a nie $\sqrt{27}$ — indeks przy pierwiastku ma znaczenie.

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — czas pierwszego odcinka:

$$t_1=\frac{180}{60}=3\ \text{h}$$

Krok 2 — czas drugiego odcinka:

$$t_2=\frac{120}{80}=1{,}5\ \text{h}$$

Krok 3 — czas łączny:

$$t=3+1{,}5=4{,}5\ \text{h}$$

Krok 4 — średnia prędkość. To cała droga podzielona przez cały czas:

$$v=\frac{180+120}{4{,}5}=\frac{300}{4{,}5}\approx66{,}7\ \text{km/h}$$

Częsty błąd: uśrednienie prędkości ($\frac{60+80}{2}=70$ km/h). To zawyża wynik, bo z mniejszą prędkością jechano dłużej.

Odpowiedź: $4{,}5$ godziny, średnio około $66{,}7$ km/h.

Krok 1 — bok kwadratu. Z $P=a^2$ wynika:

$$a=\sqrt{P}=\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — przekątna. Przekątna kwadratu to $a\sqrt2$:

$$d=\sqrt2\cdot\sqrt2=\sqrt{2\cdot2}=\sqrt4=2\ \text{cm}$$

Ciekawostka: choć bok jest liczbą niewymierną ($\sqrt2$), przekątna wychodzi równa dokładnie $2$ cm — iloczyn $\sqrt2\cdot\sqrt2$ daje liczbę wymierną.

Odpowiedź: bok $\sqrt2$ cm, przekątna $2$ cm.

Krok 1 — cena po obniżce:

$$84\cdot0{,}9=75{,}60\ \text{zł}$$

Krok 2 — porównanie z ceną zakupu:

$$75{,}60>60 \quad\Rightarrow\quad \text{sklep nadal zarabia}$$

Krok 3 — zysk:

$$75{,}60-60=15{,}60\ \text{zł}$$

Dla porównania: przed obniżką zysk wynosił $24$ zł, więc spadł o $8{,}40$ zł — czyli o $35\%$ dotychczasowego zysku, mimo że cenę obniżono tylko o $10\%$.

Wniosek: niewielka obniżka ceny potrafi mocno uszczuplić zysk, bo koszt zakupu pozostaje bez zmian.

Odpowiedź: tak, zysk wynosi $15{,}60$ zł.