Działania na ułamkach — powtórzenie

Ułamki mają ten sam mianownik, więc dodajemy tylko liczniki, a mianownik przepisujemy:

$$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2+1}{5}=\frac{3}{5}$$

Częsty błąd: dodawanie także mianowników (odpowiedź A). Mianownik mówi, na ile części podzielono całość — nie zmienia się przy dodawaniu.

Odpowiedź: C. $\frac35$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $2$ i $3$ to $6$:

$$\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{1}{3}=\frac{2}{6}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$$

Odpowiedź: $\frac56$.

Ułamki mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.

Skracamy przed mnożeniem (to wygodniejsze): $3$ z $9$ daje $1$ i $3$, a $2$ z $4$ daje $1$ i $2$:

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$

Sprawdzenie bez skracania: $\frac{6}{36}=\frac16$ ✔

Odpowiedź: $\frac16$.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$\frac{3}{5}:\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}$$

Skracamy piątki:

$$\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{2}=\frac{3}{2}=1\frac12$$

Pułapka: odpowiedź A to wynik mnożenia zamiast dzielenia. Trzeba odwrócić drugi ułamek.

Odpowiedź: B. $\frac32$.

Działania dodawania i odejmowania wykonujemy po kolei, od lewej:

$$-8+15=7$$

$$7-6=1$$

Wskazówka: można też osobno zsumować dodatnie ($15$) i osobno ujemne ($-8-6=-14$), a potem $15-14=1$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $1$.

Potęga $2^5$ oznacza pięciokrotne mnożenie dwójki przez siebie:

$$2^5=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$$

Pułapka: odpowiedź B ($10$) to wynik mnożenia $2\cdot5$, a nie potęgowania. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy podstawę, a nie przez ile.

Odpowiedź: A. $32$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $6$ i $4$ to $12$:

$$\frac{5}{6}=\frac{10}{12},\qquad \frac{1}{4}=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Wynik jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Kolejność: najpierw mnożenia, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenia z regułą znaków:

$$(-3)\cdot4=-12,\qquad (-2)\cdot(-5)=10$$

Krok 2 — dodajemy wyniki:

$$-12+10=-2$$

Odpowiedź: $-2$.

Krok 1 — osobno całości, osobno ułamki. Całości: $2+1=3$.

Krok 2 — dodajemy części ułamkowe na wspólnym mianowniku $6$:

$$\frac13+\frac16=\frac26+\frac16=\frac36=\frac12$$

Krok 3 — łączymy:

$$3+\frac12=3\frac12$$

Odpowiedź: D. $3\frac12$.

„Ułamek z liczby” oznacza mnożenie ułamka przez tę liczbę:

$$\frac{2}{3}\cdot150$$

Sposób sprytny: najpierw dzielimy przez mianownik, potem mnożymy przez licznik:

$$150:3=50,\qquad 50\cdot2=100$$

Odpowiedź: $100$.

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy:

$$3^2\cdot3^3=3^{2+3}=3^5$$

Sprawdzenie: $9\cdot27=243$ oraz $3^5=243$ ✔

Uwaga: podstawa pozostaje bez zmian — nie mnożymy jej (odpowiedź C jest błędna). Wykładniki mnożymy dopiero przy potęgowaniu potęgi.

Odpowiedź: B. $3^5$.

Kolejność: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie:

$$\frac12\cdot\frac23=\frac{2}{6}=\frac13$$

Krok 2 — dodawanie na wspólnym mianowniku $12$:

$$\frac34+\frac13=\frac{9}{12}+\frac{4}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Odpowiedź: $\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$.

Krok 1 — dzielenie. Dwa minusy dają plus:

$$(-24):(-6)=4$$

Krok 2 — dodawanie:

$$4+(-3)=1$$

Odpowiedź: $1$.

Potęga dziesiątki to jedynka z tyloma zerami, ile wynosi wykładnik:

$$10^3=10\cdot10\cdot10=1000$$

Wykładnik $3$ oznacza trzy zera.

Zestawienie: $10^2=100$, $10^3=1000$, $10^4=10\,000$ — te potęgi warto znać na pamięć, bo pojawiają się przy notacji wykładniczej.

Odpowiedź: C. $1000$.

Podnosząc ułamek do kwadratu, podnosimy osobno licznik i mianownik:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$$

Częsty błąd: podniesienie do kwadratu tylko licznika. Wykładnik dotyczy całego ułamka, więc obejmuje i licznik, i mianownik.

Odpowiedź: $\frac{4}{9}$.

Krok 1 — zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

$$2\frac12=\frac52,\qquad 1\frac13=\frac43$$

Krok 2 — mnożymy, skracając po drodze ($2$ z $4$):

$$\frac52\cdot\frac43=\frac{5}{1}\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}=3\frac13$$

Kluczowa uwaga: liczb mieszanych nie mnożymy „całości razy całości i ułamek razy ułamek”. Trzeba je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe.

Odpowiedź: $\frac{10}{3}=3\frac13$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$\frac{2^6}{2^4}=2^{6-4}=2^2=4$$

Sprawdzenie: $\frac{64}{16}=4$ ✔

Pułapka: dodanie wykładników (odpowiedź D) dotyczy mnożenia, a nie dzielenia.

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — ile zjedzono razem. Wspólny mianownik dla $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac13+\frac14=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$

Krok 2 — ile zostało. Całość to $1=\frac{12}{12}$:

$$1-\frac{7}{12}=\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$$

Kontrola sensu: zjedzono ponad połowę, więc reszta mniejsza od połowy — $\frac{5}{12}$ się zgadza.

Odpowiedź: zostało $\frac{5}{12}$ tabliczki.

Czytamy od prawej — najpierw bierzemy $\frac23$ z $45$, potem $\frac45$ z wyniku.

Krok 1:

$$\frac23\cdot45=\frac{90}{3}=30$$

Krok 2:

$$\frac45\cdot30=\frac{120}{5}=24$$

Sposób jednym działaniem: $\frac45\cdot\frac23\cdot45=\frac{8}{15}\cdot45=24$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $24$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla $2$, $3$ i $4$ to $12$:

$$\frac12=\frac{6}{12},\qquad \frac13=\frac{4}{12},\qquad \frac14=\frac{3}{12}$$

Krok 2 — wykonujemy działania na licznikach po kolei:

$$\frac{6}{12}+\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{6+4-3}{12}=\frac{7}{12}$$

Sprawdzenie oszacowaniem: $\frac12+\frac13\approx0{,}83$, minus $\frac14=0{,}25$ daje około $0{,}58$, a $\frac{7}{12}\approx0{,}58$ ✔

Odpowiedź: $\frac{7}{12}$.

Rozwiązanie

1. $2{,}4=\tfrac{12}{5},\ 5\tfrac13=\tfrac{16}{3}$; $\tfrac{12}{5}-\tfrac{16}{3}=\tfrac{36-80}{15}=-\tfrac{44}{15}$.
2. $-\tfrac{44}{15}:(-2)=\tfrac{44}{30}=\tfrac{22}{15}=1\tfrac{7}{15}$.

Odpowiedź: C