Klasa 3 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.
Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$
Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:
$$S=\frac{a_1}{1-q}$$
Przykład: $1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.
We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|\lt 1$.
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$
W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$
Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.
$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Każdy wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$: $a_{n+1}=a_n+r$.
$a_n=a_1+(n-1)r$.
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Każdy wyraz (poza skrajnymi) to średnia sąsiadów: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów.
Przykład: Suma liczb od 1 do 100: $S_{100}=\frac{1+100}{2}\cdot100=5050$.
Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie różnicy $r$.
Przykład: $a_1=3$, $r=4$: $a_{10}=3+9\cdot4=39$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
W ciągu arytmetycznym $a_1=3$ i $r=4$. Oblicz $a_{10}$.
W ciągu arytmetycznym $a_1=3$ i $r=4$. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów.
W ciągu geometrycznym $a_1=2$ i $q=3$. Oblicz $a_5$.
Oblicz sumę pięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o $a_1=2$ i $q=3$.
W ciągu arytmetycznym $a_3=11$ oraz $a_7=27$. Wyznacz $a_1$ i różnicę $r$.
Który z ciągów jest arytmetyczny?
Sprawdź, czy liczby $2$, $6$, $18$ tworzą ciąg geometryczny.
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:
Oblicz sumę szeregu geometrycznego $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$
Zamień ułamek okresowy $0{,}(3)$ na ułamek zwykły, korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.
Kapitał $1\,000$ zł ulokowano na $5\%$ w skali roku z kapitalizacją roczną. Ile wyniesie kapitał po $3$ latach?
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów:
Liczby $x-1$, $x+3$, $3x+1$ (w tej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $x$.
Liczby $2$, $x$, $18$ (w tej kolejności) tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz wszystkie możliwe wartości $x$.
Ciąg $a_n=5-2n$ jest:
Ile wyrazów ciągu arytmetycznego o $a_1=5$ i $r=3$ trzeba dodać, aby suma wyniosła $440$?
Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego, w którym $a_1=48$ oraz $a_4=6$.
Suma szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1=6$ wynosi $S=8$. Wyznacz iloraz $q$.
W pewnym ciągu arytmetycznym suma trzech kolejnych wyrazów wynosi $18$, a ich iloczyn $192$. Wyznacz te wyrazy.
Ile ujemnych wyrazów ma ciąg $a_n=3n-7$ ($n\ge1$)?
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ spełnione są warunki $a_2+a_5=17$ oraz $a_3\cdot a_4=70$. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący, a suma jego wyrazów jest równa $39$. Liczby $x,y,z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$, $y$, $z$.
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ ma różnicę $r\ne0$ i $a_1=2$. Wyrazy $a_1$, $a_2$, $a_5$ tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Oblicz $r$ oraz taką liczbę $n$, że suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $200$.
Liczby $a,b,c$ tworzą ciąg geometryczny, a ich suma jest równa $26$. Liczby $a+1,\ b+6,\ c+3$ tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $a,b,c$.
Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$, $n\ge1$.
Ciąg $(a_n)$ jest określony rekurencyjnie: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2n$ dla $n\ge1$. Wyznacz wzór ogólny ciągu i oblicz $a_{10}$.
Na początku każdego roku przez $10$ lat wpłacamy na konto $1000$ zł. Oprocentowanie wynosi $5\%$ w skali roku, odsetki są kapitalizowane na koniec roku. Oblicz stan konta na koniec dziesiątego roku (wynik zaokrąglij do grosza).
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa $21$, a ich iloczyn $216$. Wyznacz te wyrazy.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu \(a_6=15\) oraz \(a_{15}=a_3\cdot(a_8-6)\).
Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), jest geometryczny i \(b_1=a_{11}\) oraz \(b_2=a_6\).
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((b_n)\). Zapisz obliczenia.
Ciąg \((a,b,c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a,2b,c+1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek \(c-b=6\).
Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \(\left(a,aq,aq^2\right)\), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o \(4\), to otrzymamy ciąg arytmetyczny.
Oblicz wyraz \(aq\) tego ciągu.
Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((b_n)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz \(a_1\) ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego \((b_n)\). Wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(124\). Natomiast pierwszy wyraz \(b_1\) ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego \((b_n)\) jest równa \(18\).
Wyznacz te ciągi.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_{n+1}=a_n+n-6\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(a_3=-1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wyraz \(a_2\) jest równy
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), dla \(n\ge1\), dane są \(a_1=-2\) oraz różnica \(r=3\). Oblicz największe \(n\) takie, że \(a_1+a_2+\ldots+a_n\lt 2012\).
Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny. Ciąg \((3a+3,\;2b,\;c-12)\) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu.
Oblicz \(a\), \(b\), \(c\).
O liczbach \(a,b,c\) wiemy, że ciąg \((a,b,c)\) jest arytmetyczny i \(a+c=10\), zaś ciąg \((a+1,\ b+4,\ c+19)\) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.
W skarbcu królewskim było \(k\) monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę \(k\), dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości \(k\) oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.
Udowodnij, że jeżeli ciąg \((a,b,c)\) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to \(a=b=c\).
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) wyraża się wzorem \(S_n=2n^2+n\) dla \(n\ge1\).
a) Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych: \(a_2+a_4+a_6+\ldots+a_{100}\).
b) Oblicz \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{3n^2-2}\).
Oblicz: \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+4+7+\ldots+(3n-2)}{5+7+9+\ldots+(2n+3)}\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.