Klasa 3 LO — rozszerzony — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$
W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$
Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.
$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Każdy wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$: $a_{n+1}=a_n\cdot q$.
$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.
$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Kwadrat wyrazu to iloczyn sąsiadów: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Przykład: $a_1=1$, $q=2$, $n=6$: $S_6=\frac{1-64}{1-2}=63$.
Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez iloraz $q$.
Przykład: $a_1=2$, $q=3$: $a_5=2\cdot3^4=162$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Ile ujemnych wyrazów ma ciąg $a_n=3n-7$ ($n\ge1$)?
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez $7$.
W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ spełnione są warunki $a_2+a_5=17$ oraz $a_3\cdot a_4=70$. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący, a suma jego wyrazów jest równa $39$. Liczby $x,y,z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$, $y$, $z$.
Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ ma różnicę $r\ne0$ i $a_1=2$. Wyrazy $a_1$, $a_2$, $a_5$ tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Oblicz $r$ oraz taką liczbę $n$, że suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$ jest równa $200$.
Liczby $a,b,c$ tworzą ciąg geometryczny, a ich suma jest równa $26$. Liczby $a+1,\ b+6,\ c+3$ tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz $a,b,c$.
Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=\dfrac{n+1}{2n+3}$, $n\ge1$.
Ciąg $(a_n)$ jest określony rekurencyjnie: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2n$ dla $n\ge1$. Wyznacz wzór ogólny ciągu i oblicz $a_{10}$.
Na początku każdego roku przez $10$ lat wpłacamy na konto $1000$ zł. Oprocentowanie wynosi $5\%$ w skali roku, odsetki są kapitalizowane na koniec roku. Oblicz stan konta na koniec dziesiątego roku (wynik zaokrąglij do grosza).
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa $21$, a ich iloczyn $216$. Wyznacz te wyrazy.
Oblicz sumę szeregu $12+6+3+\dots$
Zapisz liczbę $0{,}(36)$ w postaci ułamka nieskracalnego.
Wyznacz wszystkie $x$, dla których szereg $1+(x-1)+(x-1)^2+\dots$ jest zbieżny.
Rozwiąż równanie $1+2x+4x^2+8x^3+\dots=\dfrac32$, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa $16$, a jego pierwszy wyraz jest równy $12$. Oblicz trzeci wyraz tego ciągu.
Nieskończony ciąg geometryczny jest zbieżny, suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa $12$, a suma wszystkich wyrazów jest równa $16$. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.
Trójkąt równoboczny $T_1$ ma bok długości $a$. Trójkąt $T_{n+1}$ ma wierzchołki w środkach boków trójkąta $T_n$. Oblicz sumę obwodów oraz sumę pól wszystkich trójkątów $T_1,T_2,T_3,\dots$
Rozwiąż równanie $1-x+x^2-x^3+\dots=2x$, którego lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego.
Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, zapisz liczbę $2{,}1(6)$ w postaci ułamka nieskracalnego.
Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=1+\dfrac1x+\dfrac1{x^2}+\dfrac1{x^3}+\dots$ dla tych $x$, dla których szereg jest zbieżny. Wyznacz dziedzinę funkcji $f$ i rozwiąż równanie $f(x)=\frac32$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\) o numerach nieparzystych jest równa \(16\), tj.
\(a_1+a_3+a_5+\ldots=16\)
Ponadto \(a_1+a_3=\frac{5}{2}\cdot a_2\).
Wyznacz wzór ogólny na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
\(2x-\frac{6x}{x-1}+\frac{18x}{(x-1)^2}-\frac{54x}{(x-1)^3}+\ldots\)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej \(x\) (różnej od \(0\) i od \(1\)), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa \(\frac{15}{2}\). Zapisz obliczenia.
Ciąg \((a,b,c)\) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg \((2a,2b,c+1)\) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek \(c-b=6\).
Oblicz \(a\), \(b\) oraz \(c\). Zapisz obliczenia.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\), którego iloraz \(q\) jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek \(|q|\lt 1\).
Stosunek sumy \(S_N\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy \(S_P\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. \(\frac{S_N}{S_P}=S_N-S_P\).
Oblicz \(q\).
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony w następujący sposób: \(a_1=\frac{3}{5}\) oraz \(a_{n+1}=\frac{2}{3}\cdot a_n\) dla \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \(\left(a,aq,aq^2\right)\), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o \(4\), to otrzymamy ciąg arytmetyczny.
Oblicz wyraz \(aq\) tego ciągu.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy większy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(\frac{1}{4}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((b_n)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz \(a_1\) ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego \((b_n)\). Wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(124\). Natomiast pierwszy wyraz \(b_1\) ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego \((b_n)\) jest równa \(18\).
Wyznacz te ciągi.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\), w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(12\).
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Podaj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.
O ciągu \((x_n)\) dla \(n\ge1\) wiadomo, że:
a) ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=3^{x_n}\) dla \(n\ge1\) jest geometryczny o ilorazie \(q=27\),
b) \(x_1+x_2+\ldots+x_{10}=145\).
Oblicz \(x_1\).
Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny. Ciąg \((3a+3,\;2b,\;c-12)\) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu.
Oblicz \(a\), \(b\), \(c\).
O liczbach \(a,b,c\) wiemy, że ciąg \((a,b,c)\) jest arytmetyczny i \(a+c=10\), zaś ciąg \((a+1,\ b+4,\ c+19)\) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.
Ciąg \((x-3,\ x+3,\ 6x+2,\ \ldots)\) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że \(\dfrac{S_{19}}{S_{20}}\lt \dfrac14\), gdzie \(S_n\) oznacza sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu.
Udowodnij, że jeżeli ciąg \((a,b,c)\) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to \(a=b=c\).
Nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: \(a_1=2\), \(a_{n+1}=a_n\cdot\log_2(k-2)\), dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są różne od zera. Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których istnieje suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu \((a_n)\).
Dany jest ciąg trójkątów równobocznych takich, że bok następnego trójkąta jest wysokością poprzedniego. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów, przyjmując, że bok pierwszego trójkąta ma długość \(a\ (a>0)\).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.