Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Liczba $d$ jest dzielnikiem $n$, gdy $n:d$ daje wynik całkowity bez reszty. Wtedy $n$ nazywamy wielokrotnością $d$.
Przykład: $3$ jest dzielnikiem $12$, a $12$ jest wielokrotnością $3$. To dwie strony tej samej relacji.
Szukamy parami, zaczynając od $1$:
$$24=1\cdot24=2\cdot12=3\cdot8=4\cdot6$$
$$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24$$
Kończymy, gdy czynniki zaczynają się mijać. Ta metoda gwarantuje, że nic nie zostanie pominięte.
Przykład: $6543$ — suma cyfr to $18$, więc liczba dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Pierwsze z nich to $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$.
Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona — ma tylko jeden dzielnik. Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Dzielimy przez kolejne liczby pierwsze, aż dojdziemy do $1$:
$$60=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5$$
W rozkładzie wszystkie czynniki muszą być pierwsze — zapis $60=4\cdot15$ to jeszcze nie rozkład na czynniki pierwsze.
NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.
Dla $12$ i $18$: wspólne dzielniki to $1,2,3,6$, więc NWD$=6$. Wspólne wielokrotności to $36,72,\dots$, więc NWW$=36$.
Praktyczna zależność:
$$\text{NWD}(a,b)\cdot\text{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔ Znając jedno, łatwo obliczyć drugie.
NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej. NWW służy do sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika i do zadań o „spotykających się” cyklach — np. dwa autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Nie myl dzielnika z wielokrotnością (dzielników jest skończenie wiele, wielokrotności nieskończenie). Nie zaliczaj $1$ do liczb pierwszych. I pamiętaj, że każda liczba jest dzielnikiem samej siebie.
Co robi: odpowiada na pytanie „ile jest liczb od … do … co …”, czyli zlicza wyrazy ciągu arytmetycznego o znanym pierwszym i ostatnim wyrazie.
Elementy: $a_1$ to pierwszy wyraz, $a_n$ — ostatni, $r$ — różnica, $n$ — szukana liczba wyrazów.
Skąd bierze się $+1$: iloraz $\frac{a_n-a_1}{r}$ zlicza odstępy między wyrazami, a wyrazów jest zawsze o jeden więcej niż przerw między nimi — jak słupki i przęsła w płocie.
Przykład: liczby dwucyfrowe podzielne przez $7$ to $14,\ 21,\ \dots,\ 98$, więc $n=\frac{98-14}{7}+1=13$. Ich suma wynosi $\frac{14+98}{2}\cdot13=728$.
Drugi przykład: liczb parzystych od $2$ do $200$ jest $\frac{200-2}{2}+1=100$.
Pułapka: pominięcie $+1$ to najczęstszy błąd — daje wynik zaniżony dokładnie o jeden. Pamiętaj też, żeby $a_1$ i $a_n$ były faktycznie pierwszym i ostatnim pasującym elementem, a nie krańcami przedziału: dla liczb dwucyfrowych podzielnych przez $7$ zaczynamy od $14$, a nie od $10$.
Co robi: pozwala obliczyć jedną z tych wielkości, gdy znamy drugą — bez wypisywania dzielników czy wielokrotności.
Elementy: NWD to największy wspólny dzielnik, NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność liczb $a$ i $b$.
Przykład: dla $12$ i $18$ mamy NWD$=6$, więc NWW$=\frac{12\cdot18}{6}=36$. Sprawdzenie: $6\cdot36=216=12\cdot18$ ✔
Gdzie się przydaje: NWD skraca ułamki do postaci nieskracalnej, NWW sprowadza je do wspólnego mianownika. NWW rozwiązuje też zadania o cyklach — autobusy odjeżdżające co $12$ i co $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Pułapka: wzór działa tylko dla dwóch liczb. Dla trzech i więcej iloczyn NWD i NWW nie jest równy iloczynowi liczb.
Która liczba dzieli się przez $3$?
Która liczba jest większa: $-5$ czy $-2$?
Wypisz wszystkie dzielniki liczby $18$.
Ustaw w kolejności rosnącej: $3$, $-7$, $0$, $-1$, $5$.
Rozłóż liczbę $60$ na czynniki pierwsze.
Wypisz wszystkie dzielniki liczby $20$.
Która liczba jest pierwsza?
Jaka liczba leży na osi w połowie między $-6$ a $2$?
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $7$.
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $6$.
Która liczba dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $5$?
Liczbą przeciwną do $-9$ jest:
Oblicz NWD$(24,\,36)$.
Temperatura wynosiła $-3^\circ$C, potem spadła o $5$ stopni. Jaka jest teraz? Zaznacz drogę na osi liczbowej.
Oblicz NWW$(6,\,8)$.
Ile liczb całkowitych leży między $-4$ a $3$ (bez tych krańców)?
Liczba dzieli się przez $9$, gdy:
Która liczba jest jednocześnie dzielnikiem $12$ i wielokrotnością $3$?
Ile dzielników ma liczba $36$? Wypisz je.
Oblicz $-7+12$ oraz $4-9$.
NWD$(15,\,28)$ wynosi:
Ile wynosi $|-15|$?
Dwa autobusy odjeżdżają z pętli o $8{:}00$. Pierwszy kursuje co $12$ minut, drugi co $18$ minut. O której godzinie znów odjadą razem?
Winda ruszyła z poziomu $-2$ (parking podziemny), wjechała o $7$ pięter w górę, a potem zjechała o $3$. Na którym poziomie się zatrzymała?
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby $84$ i $126$, a następnie oblicz ich NWD.
Ile dzielników ma liczba $24$? Wypisz je.
Ile liczb pierwszych jest mniejszych od $20$?
Która liczba całkowita leży najbliżej zera?
Jaką cyfrę należy wstawić w miejsce gwiazdki w liczbie $23{*}$, aby dzieliła się przez $9$?
Wypisz wszystkie wspólne dzielniki liczb $18$ i $24$. Który jest największy?
Która liczba jest złożona?
Ile wynosi $-6\cdot(-4)$?
Mamy $48$ cukierków i $60$ ciastek. Chcemy zapakować je do jednakowych paczek tak, aby w każdej było tyle samo cukierków i tyle samo ciastek, i żeby nic nie zostało. Ile najwięcej paczek można zrobić i co znajdzie się w każdej?
W ciągu tygodnia temperatury o poranku wynosiły: $-2$, $1$, $-5$, $0$, $3$, $-1$, $-3$ stopni. Podaj temperaturę najwyższą i najniższą oraz oblicz różnicę między nimi.
Oblicz NWD$(30,\,45)$ i NWW$(30,\,45)$, a następnie sprawdź, czy iloczyn NWD i NWW równa się iloczynowi tych liczb.
Jaka liczba jest o $6$ mniejsza od $-2$? A jaka jest o $6$ mniejsza od $4$? Porównaj obie odpowiedzi.
Ogrodnik sadzi drzewa co $6$ metrów, a lampy ustawia co $8$ metrów, zaczynając od tego samego punktu. Po ilu metrach drzewo i lampa znajdą się w tym samym miejscu? Ile takich miejsc będzie na odcinku $100$ metrów?
Znajdź wszystkie liczby całkowite $x$ spełniające warunek $|x|<4$.
Liczba $n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, a przy dzieleniu przez $6$ resztę $5$. Znajdź najmniejszą taką liczbę naturalną większą od zera.
Dług Adama wynosi $150$ zł, a Basi $90$ zł. Zapisz oba stany konta jako liczby całkowite. O ile dług Adama jest większy? Ile łącznie muszą oddać?
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.