Związki między funkcjami trygonometrycznymi

Definicja sinusa kąta ostrego:

$$\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Skrót pamięciowy: „sinus = naprzeciw przez przeciwprostokątną”.

Odpowiedź: B.

Sinus — naprzeciw ($3$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — przy kącie ($4$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie jedynką: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

1. Przeciwprostokątna: $\sqrt{9+16}=5$.
2. $\sin\alpha=\dfrac35$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — cosinus tego kąta; C — tangens.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Interpretacja: tangens to również stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie: $\frac34$.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

1. $\cos^2\alpha=1-\dfrac{25}{169}=\dfrac{144}{169}$, kąt ostry → $\cos\alpha=\dfrac{12}{13}$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — odjęto liczniki ($13-5$) zamiast kwadratów.

To wartość z tablicy kątów szczególnych:

$$\cos 60^\circ=\frac12$$

Zależność: $\cos 60^\circ=\sin 30^\circ$, bo kąty $60^\circ$ i $30^\circ$ są dopełniające.

Odpowiedź: C. $\frac12$.

1. $\sin\alpha=2\cos\alpha$. Z jedynki: $4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\tfrac15$.
2. $\cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to $\sin\alpha$; C — odwrotność tangensa to cotangens, nie cosinus.

Korzystamy z definicji sinusa:

$$\sin 30^\circ=\frac{a}{c} \quad\Rightarrow\quad a=c\cdot\sin 30^\circ$$

Podstawiamy:

$$a=10\cdot\frac12=5$$

Odpowiedź: przyprostokątna ma długość $5$.

1. $\cos\alpha\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)=\cos\alpha\cdot1=\cos\alpha$.

Odpowiedź: A

Przyprostokątna przy kącie łączy się z przeciwprostokątną przez cosinus:

$$\cos 60^\circ=\frac{b}{c} \quad\Rightarrow\quad c=\frac{b}{\cos 60^\circ}$$

Podstawiamy $b=4$, $\cos 60^\circ=\frac12$:

$$c=\frac{4}{\frac12}=8$$

Odpowiedź: przeciwprostokątna ma długość $8$.

1. $2\cdot\tfrac12+\tfrac12\cdot1=1+\tfrac12=\tfrac32$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — pomylony $\cos60^\circ$ z $\cos30^\circ$.

Jedynka trygonometryczna zachodzi dla dowolnego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ — wynik to $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

1. $\cos^2\alpha=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}$.
2. Kąt rozwarty → cosinus ujemny: $\cos\alpha=-\tfrac45$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pominięty znak dla kąta rozwartego; C — to tangens.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc sinus dodatni:

$$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$

Rozpoznanie: to trójkąt $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$.

1. $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac yx=\dfrac{3}{-4}=-\dfrac34$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — odwrócony iloraz; C — to $\sin\alpha$; D — to $\cos\alpha$.

Dla $45^\circ$ obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

1. 1. $\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\tfrac12$ — prawda.
2. 2. $\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\tfrac12$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Model: drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to przyprostokątna naprzeciw kąta $60^\circ$.

$$\sin 60^\circ=\frac{h}{6} \quad\Rightarrow\quad h=6\cdot\sin 60^\circ$$

Podstawiamy:

$$h=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx5{,}2\ \text{m}$$

Kontrola sensu: wysokość jest mniejsza od długości drabiny ($5{,}2<6$) ✔

Odpowiedź: drabina sięga na $3\sqrt3\approx5{,}2$ m.

1. $\dfrac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}-1=3 \Rightarrow 2\operatorname{tg}\alpha=4 \Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=2$.

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=2$

Z tablicy kątów szczególnych:

$$\tg 30^\circ=\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$$

Uwaga: $\tg 30^\circ$ i $\tg 60^\circ=\sqrt3$ to liczby wzajemnie odwrotne.

Odpowiedź: B. $\frac{\sqrt3}{3}$.

1. $\sin\alpha=-2\cos\alpha$. Jedynka: $4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\tfrac15$.
2. Kąt rozwarty → $\cos\alpha\lt 0$: $\cos\alpha=-\tfrac{1}{\sqrt5}=-\tfrac{\sqrt5}{5}$.
3. $\sin\alpha=-2\cdot\left(-\tfrac{\sqrt5}{5}\right)=\tfrac{2\sqrt5}{5}$ (dodatni ✓).

Odpowiedź: $\sin\alpha=\tfrac{2\sqrt5}{5}$, $\cos\alpha=-\tfrac{\sqrt5}{5}$

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — sinus kąta naprzeciw krótszej przyprostokątnej ($6$):

$$\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac35$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35=0{,}6$.

Korzystamy ze wzoru na pole z sinusem kąta:

$$P=\frac12 ab\sin\gamma$$

Podstawiamy $a=8$, $b=6$, $\gamma=30^\circ$:

$$P=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\sin 30^\circ=\frac12\cdot48\cdot\frac12=12$$

Odpowiedź: $P=12$.

Sinus i cosinus są równe tylko dla kąta, przy którym obie przyprostokątne są równe — to $45^\circ$.

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

Model: wysokość wieży to przyprostokątna naprzeciw kąta, odległość to przyprostokątna przy kącie. Wiąże je tangens:

$$\tg 45^\circ=\frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h=20\cdot\tg 45^\circ$$

Podstawiamy $\tg 45^\circ=1$:

$$h=20\cdot1=20\ \text{m}$$

Wniosek: przy kącie $45^\circ$ wysokość równa się odległości — to szczególny, łatwy do zapamiętania przypadek.

Odpowiedź: wieża ma $20$ m wysokości.

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej do przeciwprostokątnej. Przyprostokątna jest zawsze krótsza od przeciwprostokątnej, więc iloraz mieści się między $0$ a $1$.

$$0<\sin\alpha<1$$

To samo dotyczy cosinusa kąta ostrego.

Odpowiedź: A.

Przyprostokątna naprzeciw kąta $30^\circ$ (przez sinus):

$$a=12\cdot\sin 30^\circ=12\cdot\frac12=6$$

Przyprostokątna przy kącie $30^\circ$ (przez cosinus):

$$b=12\cdot\cos 30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\approx10{,}39$$

Sprawdzenie Pitagorasem: $6^2+(6\sqrt3)^2=36+108=144=12^2$ ✔

Odpowiedź: przyprostokątne mają $6$ i $6\sqrt3\approx10{,}39$.

Model trójkąta. Tangens $\frac34$ oznacza przyprostokątną naprzeciw $=3$, przy kącie $=4$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 2 — odczytujemy funkcje:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie: $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34=\tg\alpha$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Model: przekątna kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, a bok — przyprostokątna przy kącie $45^\circ$.

$$\cos 45^\circ=\frac{\text{bok}}{\text{przekątna}} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{5}{\cos 45^\circ}=\frac{5}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2$$

Sprawdzenie: to zgadza się ze wzorem na przekątną kwadratu $d=a\sqrt2=5\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $d=5\sqrt2\approx7{,}07$ cm.

Model. Powstaje trójkąt prostokątny: odcinek na północ ($300$ m) to przyprostokątna przy kącie $30^\circ$, a droga statku na wschód to przyprostokątna naprzeciw tego kąta.

Wiąże je tangens:

$$\tg 30^\circ=\frac{\text{droga}}{300} \quad\Rightarrow\quad \text{droga}=300\cdot\tg 30^\circ$$

Podstawiamy $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$:

$$\text{droga}=300\cdot\frac{\sqrt3}{3}=100\sqrt3\approx173{,}2\ \text{m}$$

Odpowiedź: statek przebył $100\sqrt3\approx173$ m.

Kluczem do sukcesu będzie rozdzielenie zapisu na dwa oddzielne ułamki i wykorzystanie faktu, że \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6 \\
\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha}+\frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6 \\
\frac{3}{4} tg\alpha+1=6 \\
\frac{3}{4} tg\alpha=5 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
tg\alpha=5\cdot\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$$

Ponieważ $\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha$, prawa strona: $\cos\alpha-(1-\sin^{2}\alpha)+1=\cos\alpha+\sin^{2}\alpha$.

Zatem $\sin\alpha+\sin^{2}\alpha=\cos\alpha+\sin^{2}\alpha\Rightarrow \sin\alpha=\cos\alpha\Rightarrow \operatorname{tg}\alpha=1$.

Odpowiedź: C.

$\dfrac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}=\dfrac{3\sin\alpha}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=3\cos\alpha$.

$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (kąt rozwarty — cosinus ujemny).

$3\cos\alpha=3\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)=-\sqrt{6}$.

Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\). Moglibyśmy zatem zapisać, że:
$$\sqrt{3}tg\alpha=2sin\alpha \\
\sqrt{3}\cdot\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2sin\alpha \\
\sqrt{3}sin\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{3}sin\alpha}{2sin\alpha} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha$. Ponieważ $\alpha$ jest ostry, $\sin\alpha\ne 0$ — dzielimy obie strony przez $\sin\alpha$:

$\dfrac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Odpowiedź: C.

Powinniśmy dostrzec, że zarówno z \(sin^3 20°\) jak i \(cos^2 20°\cdot sin20°\) możemy wyłączyć przed nawias \(sin20°\), otrzymując następującą sytuację:
$$sin^3 20°+cos^2 20°\cdot sin20°=sin20°\cdot(sin^2 20°+cos^2 20°)=sin20°\cdot1=sin20°$$