Trygonometria — zadania rozszerzone

Z jedynki trygonometrycznej: $\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{25}{169}}=\dfrac{5}{13}$.

Niech $D$ rzutuje się prostopadle na podstawę $AB$ w punkcie $P$. Wysokość trapezu: $h=DP=BD\sin\alpha=39\cdot\dfrac{5}{13}=15$.

Rzut przekątnej na podstawę: $BP=BD\cos\alpha=39\cdot\dfrac{12}{13}=36$.

W trapezie równoramiennym rzut ramienia na dłuższą podstawę wynosi $\dfrac{AB-CD}{2}=\dfrac{40}{2}=20$, więc $AP=20$.

(Sprawdzenie: $AB=AP+PB=20+36=56$, $CD=56-40=16$.)

Ramię $AD$ z trójkąta prostokątnego $APD$: $AD=\sqrt{AP^{2}+DP^{2}}=\sqrt{20^{2}+15^{2}}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$.

Odpowiedź: $AD=25$.

Oznaczmy \(|AE|=h\), wtedy \(|ED|=24-h\).

Trójkąty \(ABE\) i \(DCE\) są prostokątne (kąty przy \(A\) i przy \(D\) są proste). Z równości kątów przy wierzchołku \(E\) wynika równość tangensów:

\(\mathrm{tg}|\sphericalangle BEA|=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{12}{h}\)

\(\mathrm{tg}|\sphericalangle CED|=\frac{|DC|}{|ED|}=\frac{6}{24-h}\)

Przyrównujemy:

\(\frac{12}{h}=\frac{6}{24-h}\)

\(12(24-h)=6h\)

\(288-12h=6h\)

\(h=16\)

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABE\):

\(|BE|=\sqrt{|AB|^2+|AE|^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\)

Odpowiedź: \(|BE|=20\)

W trójkącie prostokątnym $ACB$ (kąt prosty przy $C$): $|BC|=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{7,5^{2}-6^{2}}=\sqrt{56,25-36}=\sqrt{20,25}=4,5$, a $\cos(\angle CAB)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{6}{7,5}=0,8$ (więc $\sin(\angle CAB)=0,6$).

Ponieważ $DC\parallel AB$, kąt $DCA=\angle CAB$ (kąty naprzemianległe). W trójkącie prostokątnym $ACD$ (kąt prosty przy $D$): wysokość trapezu $AD=AC\cdot\sin(\angle DCA)=6\cdot 0,6=3,6$ oraz krótsza podstawa $DC=AC\cdot\cos(\angle DCA)=6\cdot 0,8=4,8$.

Pole trapezu: $P=\dfrac{(AB+DC)}{2}\cdot AD=\dfrac{(7,5+4,8)}{2}\cdot 3,6=\dfrac{12,3}{2}\cdot 3,6=6,15\cdot 3,6=22,14$.

Poprowadźmy z wierzchołków \(D\) i \(C\) wysokości trapezu na podstawę \(AB\). Powstają dwa przystające trójkąty prostokątne o kącie ostrym \(60^\circ\) i przeciwprostokątnej równej ramieniu \(4\).

Wysokość trapezu:

\(h=4\cdot\sin 60^\circ=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

Rzut ramienia na podstawę:

\(4\cdot\cos 60^\circ=4\cdot\frac{1}{2}=2\)

Dłuższa podstawa:

\(|AB|=|CD|+2\cdot 2=6+4=10\)

Pole trapezu:

\(P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{10+6}{2}\cdot 2\sqrt{3}=8\cdot 2\sqrt{3}=16\sqrt{3}\)

Odpowiedź: pole trapezu jest równe \(16\sqrt{3}\).