Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Sinus to stosunek boku naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: B. Odpowiedź A to cosinus tego kąta, a C to tangens.

Definicja sinusa kąta ostrego:

$$\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Skrót pamięciowy: „sinus = naprzeciw przez przeciwprostokątną”.

Odpowiedź: B.

$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Odpowiedź: A.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Krok 2 — tangens:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac45$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$.

Sinus — naprzeciw ($3$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — przy kącie ($4$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie jedynką: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Wartość z tablicy kątów szczególnych:

$$\sin30^\circ=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Jedynka trygonometryczna zachodzi dla każdego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Odpowiedź: C. Nie trzeba znać wartości $\sin 37^\circ$ — to zadanie sprawdza znajomość tożsamości.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Interpretacja: tangens to również stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie: $\frac34$.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

Sinus — bok naprzeciw do przeciwprostokątnej:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — bok przy kącie do przeciwprostokątnej:

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Przyprostokątna naprzeciw kąta $30^\circ$:

$$a=10\cdot\sin30^\circ=10\cdot\frac12=5$$

Druga przyprostokątna:

$$b=10\cdot\cos30^\circ=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$$

Odpowiedź: $5$ oraz $5\sqrt3\approx8{,}66$.

Sprawdzenie Pitagorasem: $25+75=100=10^2$. ✔

To wartość z tablicy kątów szczególnych:

$$\cos 60^\circ=\frac12$$

Zależność: $\cos 60^\circ=\sin 30^\circ$, bo kąty $60^\circ$ i $30^\circ$ są dopełniające.

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Tangens to sinus przez cosinus (lub bok naprzeciw przez bok przy):

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}$$

Odpowiedź: $\operatorname{tg}\alpha=\frac34$.

$$\cos60^\circ=\frac12,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

Odpowiedź: A. Częsty błąd to zamiana wartości sinusa i cosinusa dla $30^\circ$ i $60^\circ$. Zapamiętaj: $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\frac12$.

Korzystamy z definicji sinusa:

$$\sin 30^\circ=\frac{a}{c} \quad\Rightarrow\quad a=c\cdot\sin 30^\circ$$

Podstawiamy:

$$a=10\cdot\frac12=5$$

Odpowiedź: przyprostokątna ma długość $5$.

Dla $45^\circ$ przyprostokątne są równe, więc:

$$\operatorname{tg}45^\circ=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

$$P=\frac12ab\sin\gamma$$

$$P=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$$

Odpowiedź: $P=15$.

Uwaga: kąt musi leżeć między podanymi bokami — użycie innego kąta daje błędny wynik.

Przyprostokątna przy kącie łączy się z przeciwprostokątną przez cosinus:

$$\cos 60^\circ=\frac{b}{c} \quad\Rightarrow\quad c=\frac{b}{\cos 60^\circ}$$

Podstawiamy $b=4$, $\cos 60^\circ=\frac12$:

$$c=\frac{4}{\frac12}=8$$

Odpowiedź: przeciwprostokątna ma długość $8$.

Sposób 1 — jedynka trygonometryczna. Dla każdego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Więc wynik od razu wynosi $1$.

Sposób 2 — sprawdzenie liczbowe:

$$\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac34+\tfrac14=1$$

Odpowiedź: $1$.

Stosujemy twierdzenie cosinusów:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

$$c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49$$

$$c=7$$

Odpowiedź: $c=7$.

Jedynka trygonometryczna zachodzi dla dowolnego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ — wynik to $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

$$\cos60^\circ=\frac12$$

Uwaga: $\cos60^\circ=\sin30^\circ$ — kąty dopełniające się do $90^\circ$.

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Przekształcamy twierdzenie cosinusów względem kąta:

$$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

$$\cos\alpha=\frac{25+9-49}{2\cdot5\cdot3}=\frac{-15}{30}=-\frac12$$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty. Konkretnie $\alpha=120^\circ$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=-\frac12$, trójkąt jest rozwartokątny.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc sinus dodatni:

$$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$

Rozpoznanie: to trójkąt $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$.

Krok 1 — definicja sinusa:

$$\sin\alpha=\frac{a}{10}=0{,}6$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$:

$$a=0{,}6\cdot10=6$$

Odpowiedź: $6$.

Twierdzenie sinusów:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}$$

$$\frac{10}{\frac12}=\frac{b}{\frac{\sqrt2}{2}} \quad\Rightarrow\quad 20=\frac{2b}{\sqrt2}$$

$$b=10\sqrt2\approx14{,}14$$

Odpowiedź: $b=10\sqrt2$.

Dla $45^\circ$ obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Krok 1 — jedynka trygonometryczna:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

Krok 2 — pierwiastkujemy (kąt ostry, więc $\sin\alpha>0$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$.

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Odpowiedź: D.

Model: drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to przyprostokątna naprzeciw kąta $60^\circ$.

$$\sin 60^\circ=\frac{h}{6} \quad\Rightarrow\quad h=6\cdot\sin 60^\circ$$

Podstawiamy:

$$h=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx5{,}2\ \text{m}$$

Kontrola sensu: wysokość jest mniejsza od długości drabiny ($5{,}2<6$) ✔

Odpowiedź: drabina sięga na $3\sqrt3\approx5{,}2$ m.

$$\sin90^\circ=1$$

Odpowiedź: A. $1$.

$$2R=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{12}{\frac12}=24$$

$$R=12$$

Odpowiedź: $R=12$.

Częsty błąd: zapomnienie o podzieleniu przez $2$ i podanie $R=24$.

Z tablicy kątów szczególnych:

$$\tg 30^\circ=\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$$

Uwaga: $\tg 30^\circ$ i $\tg 60^\circ=\sqrt3$ to liczby wzajemnie odwrotne.

Odpowiedź: B. $\frac{\sqrt3}{3}$.

Krok 1 — podstawiamy wartości:

$$\frac12\cdot\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac14+\frac34=1$$

Ciekawostka. To wzór na $\sin(30^\circ+60^\circ)=\sin90^\circ=1$ ✔

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — połowa obwodu:

$$s=\frac{3+4+5}{2}=6$$

Krok 2 — wzór Herona:

$$P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=\sqrt{36}=6$$

Odpowiedź: $P=6$.

Sprawdzenie: to trójkąt prostokątny, więc $P=\frac12\cdot3\cdot4=6$. ✔

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — sinus kąta naprzeciw krótszej przyprostokątnej ($6$):

$$\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac35$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35=0{,}6$.

Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

Odpowiedź: B.

Kąt rozwarty leży w II ćwiartce ($90^\circ<\alpha<180^\circ$). Tam sinus pozostaje dodatni, a cosinus staje się ujemny.

Odpowiedź: B. Przykład: $\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{2}>0$, $\cos120^\circ=-\frac12<0$.

Korzystamy ze wzoru na pole z sinusem kąta:

$$P=\frac12 ab\sin\gamma$$

Podstawiamy $a=8$, $b=6$, $\gamma=30^\circ$:

$$P=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\sin 30^\circ=\frac12\cdot48\cdot\frac12=12$$

Odpowiedź: $P=12$.

Krok 1 — sinus kąta:

$$\sin30^\circ=\frac{a}{12}$$

Krok 2 — podstawiamy $\sin30^\circ=\frac12$:

$$\frac12=\frac{a}{12} \quad\Rightarrow\quad a=6$$

Odpowiedź: $6$.

Drzewo, ziemia i linia wzroku tworzą trójkąt prostokątny. Szukana wysokość leży naprzeciw kąta $35^\circ$, a znana odległość — przy nim, więc używamy tangensa:

$$\operatorname{tg}35^\circ=\frac{h}{20}$$

$$h=20\cdot0{,}70=14\ \text{m}$$

Odpowiedź: drzewo ma około $14$ m wysokości.

Sinus i cosinus są równe tylko dla kąta, przy którym obie przyprostokątne są równe — to $45^\circ$.

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

$\operatorname{tg}45^\circ=1$, więc $\alpha=45^\circ$.

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

Metoda trygonometryczna. Kąt trójkąta równobocznego to $60^\circ$:

$$P=\frac12\cdot8\cdot8\cdot\sin60^\circ=32\cdot\frac{\sqrt3}{2}=16\sqrt3$$

Odpowiedź: $P=16\sqrt3\approx27{,}71$.

Sprawdzenie wzorem: $P=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{64\sqrt3}{4}=16\sqrt3$. ✔

Model: wysokość wieży to przyprostokątna naprzeciw kąta, odległość to przyprostokątna przy kącie. Wiąże je tangens:

$$\tg 45^\circ=\frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h=20\cdot\tg 45^\circ$$

Podstawiamy $\tg 45^\circ=1$:

$$h=20\cdot1=20\ \text{m}$$

Wniosek: przy kącie $45^\circ$ wysokość równa się odległości — to szczególny, łatwy do zapamiętania przypadek.

Odpowiedź: wieża ma $20$ m wysokości.

Krok 1 — model. Drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to bok naprzeciw kąta $60^\circ$.

Krok 2 — sinus:

$$\sin60^\circ=\frac{h}{5}$$

Krok 3 — obliczamy ($\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$):

$$h=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33\ \text{m}$$

Odpowiedź: $\frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33$ m.

$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1$$

Odpowiedź: A. Dla $90^\circ$ tangens w ogóle nie istnieje (cosinus wynosi zero).

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej do przeciwprostokątnej. Przyprostokątna jest zawsze krótsza od przeciwprostokątnej, więc iloraz mieści się między $0$ a $1$.

$$0<\sin\alpha<1$$

To samo dotyczy cosinusa kąta ostrego.

Odpowiedź: A.

$$\cos90^\circ=0$$

Odpowiedź: D. $0$.

Pole równoległoboku obliczamy analogicznie do pola trójkąta, ale bez czynnika $\frac12$ (równoległobok to dwa przystające trójkąty):

$$P=ab\sin\alpha$$

Wartość sinusa ze wzoru redukcyjnego:

$$\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\frac12$$

$$P=6\cdot9\cdot\frac12=27$$

Odpowiedź: $P=27$.

Przyprostokątna naprzeciw kąta $30^\circ$ (przez sinus):

$$a=12\cdot\sin 30^\circ=12\cdot\frac12=6$$

Przyprostokątna przy kącie $30^\circ$ (przez cosinus):

$$b=12\cdot\cos 30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\approx10{,}39$$

Sprawdzenie Pitagorasem: $6^2+(6\sqrt3)^2=36+108=144=12^2$ ✔

Odpowiedź: przyprostokątne mają $6$ i $6\sqrt3\approx10{,}39$.

Krok 1 — model trójkąta. $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy}}=\frac34$, więc bierzemy przyprostokątne $3$ i $4$.

Krok 2 — przeciwprostokątna (Pitagoras):

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 3 — funkcje:

$$\sin\alpha=\frac35,\qquad \cos\alpha=\frac45$$

Sprawdzenie: $\frac{\sin}{\cos}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34=\operatorname{tg}\alpha$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Romb to równoległobok o równych bokach, więc:

$$P=a^2\sin\alpha$$

$$P=10^2\cdot\sin60^\circ=100\cdot\frac{\sqrt3}{2}=50\sqrt3$$

Odpowiedź: $P=50\sqrt3\approx86{,}6$.

Uwaga: gdyby wziąć kąt rozwarty $120^\circ$, wynik byłby ten sam, bo $\sin120^\circ=\sin60^\circ$ — pole nie zależy od tego, który kąt wybierzemy.

Model trójkąta. Tangens $\frac34$ oznacza przyprostokątną naprzeciw $=3$, przy kącie $=4$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 2 — odczytujemy funkcje:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie: $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34=\tg\alpha$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Krok 1 — model. Kąt wzniesienia $45^\circ$, odległość pozioma $20$ m to bok przy kącie, wysokość masztu to bok naprzeciw.

Krok 2 — tangens:

$$\operatorname{tg}45^\circ=\frac{h}{20}$$

Krok 3 — obliczamy ($\operatorname{tg}45^\circ=1$):

$$1=\frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h=20\ \text{m}$$

Wniosek. Przy kącie $45^\circ$ wysokość równa się odległości poziomej.

Odpowiedź: $20$ m.

Metoda 1 — przez wysokość. Wysokość dzieli podstawę na połowy po $5$:

$$\cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}}=\frac{5}{13}$$

Metoda 2 — twierdzenie cosinusów dla boku $13$ naprzeciw kąta przy wierzchołku... wygodniej jednak liczyć wprost z trójkąta prostokątnego jak wyżej.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\frac{5}{13}$.

Model: przekątna kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, a bok — przyprostokątna przy kącie $45^\circ$.

$$\cos 45^\circ=\frac{\text{bok}}{\text{przekątna}} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{5}{\cos 45^\circ}=\frac{5}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2$$

Sprawdzenie: to zgadza się ze wzorem na przekątną kwadratu $d=a\sqrt2=5\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $d=5\sqrt2\approx7{,}07$ cm.

Krok 1 — tożsamość na tangens:

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\operatorname{tg}\alpha=\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\alpha=0$$

Wniosek. Wyrażenie jest równe $0$ dla każdego kąta ostrego — to ta sama wielkość zapisana dwoma sposobami.

Odpowiedź: $0$.

Krok 1 — bok $a$ z twierdzenia cosinusów:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=64+36-2\cdot8\cdot6\cdot\frac12$$

$$a^2=100-48=52 \quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac12bc\sin\alpha=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3$$

Odpowiedź: $a=2\sqrt{13}\approx7{,}21$, $P=12\sqrt3\approx20{,}78$.

Model. Powstaje trójkąt prostokątny: odcinek na północ ($300$ m) to przyprostokątna przy kącie $30^\circ$, a droga statku na wschód to przyprostokątna naprzeciw tego kąta.

Wiąże je tangens:

$$\tg 30^\circ=\frac{\text{droga}}{300} \quad\Rightarrow\quad \text{droga}=300\cdot\tg 30^\circ$$

Podstawiamy $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$:

$$\text{droga}=300\cdot\frac{\sqrt3}{3}=100\sqrt3\approx173{,}2\ \text{m}$$

Odpowiedź: statek przebył $100\sqrt3\approx173$ m.

Krok 1 — rozwijamy kwadrat sumy:

$$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha$$

Krok 2 — grupujemy $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$:

$$=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha$$

Krok 3 — jedynka trygonometryczna $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

$$=1+2\sin\alpha\cos\alpha \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $\alpha=45^\circ$: lewa $\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=(\sqrt2)^2=2$; prawa $1+2\cdot\frac12=2$ ✔

Rozwiązanie

1. Kąt prosty przy $B$. $|AB|=\sqrt{|AC|^2-|BC|^2}=\sqrt{40-4}=6$.
2. $\sin\gamma=\dfrac{|AB|}{|AC|}=\dfrac{6}{2\sqrt{10}}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$.

Odpowiedź: C

Rozwiązanie

1. $3\sin\alpha+4\cos\alpha=24\cos\alpha$.
2. $3\sin\alpha=20\cos\alpha\Rightarrow \mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{20}{3}$.

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

$\sin20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin20^\circ\cdot1=\sin20^\circ$ (jedynka trygonometryczna).

Odpowiedź: B