Obliczanie prawdopodobieństwa

Moneta ma dwa jednakowo prawdopodobne wyniki, jeden sprzyjający:

$$P=\frac12$$

Odpowiedź: B. $\frac12$.

Krok 1 — zdarzenia sprzyjające: $2$, $4$, $6$ — trzy.

Krok 2 — wszystkie wyniki: $6$.

$$P=\frac36=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Zdarzenie pewne zawsze zachodzi, więc jego prawdopodobieństwo to $1$.

Zdarzenie niemożliwe ma prawdopodobieństwo $0$. Zawsze $0\le P\le1$.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — wszystkie kule: $5+3=8$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{8}$$

Odpowiedź: $\frac38$.

Sprzyjają $5$ i $6$ (dwa wyniki):

$$P=\frac26=\frac13$$

Odpowiedź: A. $\frac13$.

Zdarzenie przeciwne dopełnia do $1$:

$$P(A')=1-0{,}3=0{,}7$$

Odpowiedź: $0{,}7$.

Krok 1 — wszyscy uczniowie: $12+18=30$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{12}{30}=\frac25=0{,}4$$

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

Krok 1 — w talii są $4$ asy.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{13}$.

Krok 1 — wszystkie wyniki: OO, OR, RO, RR — cztery.

Krok 2 — sprzyja tylko OO.

$$P=\frac14$$

Odpowiedź: $\frac14$.

Zdarzenie niemożliwe nigdy nie zachodzi, więc $P=0$.

Odpowiedź: B. $0$.

Sposób 1 — wprost. Przegrywających jest $8$:

$$P=\frac{8}{10}=\frac45$$

Sposób 2 — przez dopełnienie. Wygrana ma $P=\frac{2}{10}=\frac15$, więc przegrana:

$$1-\frac15=\frac45$$

Odpowiedź: $\frac45=0{,}8$.

Krok 1 — liczby podzielne przez $3$ na kostce: $3$ i $6$ — dwie.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac26=\frac13$$

Odpowiedź: $\frac13$.

Prawdopodobieństwo zawsze spełnia $0\le P\le1$, więc $1{,}5$ jest niemożliwe.

Odpowiedź: C. $1{,}5$.

Krok 1 — liczby pierwsze do $20$: $2,3,5,7,11,13,17,19$ — osiem.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{8}{20}=\frac25=0{,}4$$

Odpowiedź: $\frac25$.

Jedna biała na sześć kul:

$$P=\frac16$$

Odpowiedź: A. $\frac16$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — pary o sumie $7$:

$$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$$

Jest ich sześć.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{36}=\frac16$$

Ciekawostka. Suma $7$ jest najbardziej prawdopodobna przy dwóch kostkach — ma najwięcej kombinacji.

Odpowiedź: $\frac16$.

Krok 1 — podzielne przez $3$: $3,6,9,12$ — cztery.

Krok 2 — podzielne przez $4$: $4,8,12$ — trzy.

Krok 3 — wspólne (podzielne przez $12$): $12$ — jedna.

Krok 4 — zasada włączeń i wyłączeń. Aby nie liczyć $12$ dwa razy:

$$4+3-1=6$$

Krok 5 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{6}{12}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Krok 1 — zasada włączeń i wyłączeń. Uczący się co najmniej jednego języka:

$$15+12-5=22$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{22}{25}=0{,}88$$

Dlaczego odejmujemy $5$. Uczniowie uczący się obu języków zostali policzeni dwa razy (raz w $15$, raz w $12$) — odejmujemy nadmiar.

Odpowiedź: $\frac{22}{25}=0{,}88$.

Krok 1 — definicja klasyczna. Niech $\Omega$ ma $n$ jednakowo prawdopodobnych wyników, a zdarzeniu $A$ sprzyja $k$ z nich.

Krok 2 — zdarzenie przeciwne. Zdarzeniu $A'$ sprzyjają wszystkie pozostałe wyniki, czyli $n-k$.

Krok 3 — sumujemy prawdopodobieństwa:

$$P(A)+P(A')=\frac{k}{n}+\frac{n-k}{n}=\frac{k+n-k}{n}=\frac{n}{n}=1 \qquad ∎$$

Zastosowanie. Ten wzór pozwala liczyć „przez dopełnienie": $P(A)=1-P(A')$ — wygodne, gdy zdarzenie przeciwne jest prostsze do policzenia (np. przy „co najmniej jeden").

Sprawdzenie: dla kostki $P(\text{parzysta})=\frac12$, $P(\text{nieparzysta})=\frac12$, suma $1$ ✔

1. Wszystkich kul: $20$, czerwonych: $5$.
2. $P=\dfrac{5}{20}=\dfrac14$.

Odpowiedź: $\dfrac14$

1. Na początku kul było $32$, po wyjęciu dwóch zostało $30$.
2. Czerwonych zostało $10-2=8$.
3. $P=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? Po losowaniu bez zwracania zmieniają się obie liczby: czerwonych i wszystkich.

1. Wszystkich kul: $30$.
2. 1. $P(\text{biała})=\dfrac{18}{30}=\dfrac35$ — prawda.
3. 2. $P(\text{czarna})=\dfrac{12}{30}=\dfrac25=0{,}4$, a $\dfrac13\approx0{,}33$, więc prawdopodobieństwo NIE jest mniejsze od $\tfrac13$ — fałsz.

Odpowiedź: PF

1. Po dołożeniu $x$ kulek zielonych: $\dfrac{6+x}{14+x}=\dfrac23$.
2. $3(6+x)=2(14+x) \Rightarrow 18+3x=28+2x$.
3. $x=10$.

Odpowiedź: $10$ kulek

1. Wygrywających: $150:6=25$.
2. $P=\dfrac{25}{150}=\dfrac16$.
3. Pustych: $150-25=125$.

Odpowiedź: $P=\dfrac16$; $125$ losów pustych

1. Niech $z$ — liczba korali zielonych; wszystkich jest $12+z$.
2. $\dfrac{z}{12+z}=\dfrac13 \Rightarrow 3z=12+z$.
3. $2z=12 \Rightarrow z=6$.

Odpowiedź: $6$ korali

1. Możliwe wyniki: OO, OR, RO, RR — są $4$ jednakowo prawdopodobne wyniki.
2. Sprzyjający jest jeden: OO.
3. $P=\dfrac14$.

Odpowiedź: $P=\dfrac14$

1. Podzielne przez $4$: $4,8,\dots,28$ — jest ich $7$.
2. Podzielne przez $5$: $5,10,\dots,30$ — jest ich $6$.
3. Podzielne przez $20$ (policzone dwa razy): $20$ — jedna liczba.
4. Sprzyjających: $7+6-1=12$, więc $P=\dfrac{12}{30}=\dfrac25$.

Odpowiedź: $P=\dfrac{2}{5}$

Wskazówka: Liczby podzielne jednocześnie przez $4$ i $5$ trzeba odjąć, żeby nie liczyć ich dwa razy.

1. Białych: $\dfrac13\cdot12=4$; czarnych: $\dfrac14\cdot12=3$.
2. Zielonych: $12-4-3=5$.
3. Sprawdzenie: $P(\text{zielona})=\dfrac{5}{12}$, a $\dfrac13+\dfrac14+\dfrac{5}{12}=1$ ✓

Odpowiedź: $5$ kul

Moneta ma $2$ jednakowo prawdopodobne wyniki, a sprzyjający jest jeden:

$$P=\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Krok 1 — wszystkie kule:

$$3+5=8$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{3}{8}$$

Odpowiedź: $\frac38=0{,}375$.

Liczby nieparzyste na kostce to $1$, $3$, $5$ — jest ich $3$ z $6$ możliwych:

$$P=\frac{3}{6}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Zdarzenie niemożliwe nigdy nie zachodzi, więc liczba wyników sprzyjających wynosi zero:

$$P=0$$

Skala: zawsze $0\le P\le1$; zdarzenie pewne ma $P=1$.

Odpowiedź: A. $0$.

Liczby parzyste od $1$ do $10$ to $2,4,6,8,10$ — jest ich $5$:

$$P=\frac{5}{10}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to dopełnienie do $1$:

$$1-\frac25=\frac55-\frac25=\frac35$$

Odpowiedź: D. $\frac35$.

Krok 1 — wszystkie wyniki:

$$OO,\quad OR,\quad RO,\quad RR$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — sprzyjający jest jeden ($OO$):

$$P=\frac14$$

Uwaga: $OR$ i $RO$ to różne wyniki, mimo że oba dają „jeden orzeł i jedna reszka”.

Odpowiedź: $\frac14$.

Sposób 1 — liczymy sprzyjające wprost. Niemiętowe to truskawkowe i cytrynowe: $4+5=9$:

$$P=\frac{9}{12}=\frac34$$

Sposób 2 — przez zdarzenie przeciwne:

$$1-\frac{3}{12}=1-\frac14=\frac34$$

Odpowiedź: $\frac34$.

Na kostce największa liczba to $6$, więc nie ma wyniku większego niż $6$. To zdarzenie niemożliwe:

$$P=0$$

Odpowiedź: B. $0$.

Krok 1 — liczba chłopców:

$$30-18=12$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$$

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.

W talii są $4$ asy (po jednym w każdym kolorze):

$$P=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$$

Odpowiedź: C. $\frac{1}{13}$.

Zdarzenia „czerwone” i „żółte” wykluczają się, więc dodajemy liczby pól sprzyjających:

$$2+3=5$$

$$P=\frac{5}{8}$$

Sprawdzenie: zdarzenie przeciwne (zielone) ma $P=\frac38$, a $\frac58+\frac38=1$ ✔

Odpowiedź: $\frac58$.

Krok 1 — liczba wszystkich wyników. Każda kostka ma $6$ możliwości:

$$6\cdot6=36$$

Krok 2 — sprzyjający jest tylko jeden: $(6,\,6)$:

$$P=\frac{1}{36}$$

Odpowiedź: $36$ wyników, $P=\frac{1}{36}$.

Prawdopodobieństwo zawsze mieści się w przedziale od $0$ do $1$:

$$0\le P\le1$$

Wartość $1{,}5$ przekracza $1$, więc jest niemożliwa.

Odpowiedź: A. $1{,}5$.

Krok 1 — liczby podzielne przez $5$:

$$5,\ 10,\ 15,\ 20$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{4}{20}=\frac15$$

Odpowiedź: $\frac15=0{,}2$.

Każdy możliwy wynik jest sprzyjający, więc zdarzenie jest pewne:

$$P=1$$

Odpowiedź: B. $1$.

Krok 1 — wypisujemy pary dające sumę $5$:

$$(1,4),\ (2,3),\ (3,2),\ (4,1)$$

Jest ich $4$.

Krok 2 — wszystkich wyników jest $36$:

$$P=\frac{4}{36}=\frac19$$

Uwaga: pary $(1,4)$ i $(4,1)$ liczymy osobno — kostki są rozróżnialne.

Odpowiedź: $\frac19$.

Krok 1 — wygrana:

$$P(W)=\frac{3}{10}$$

Krok 2 — przegrana (losów przegrywających jest $7$):

$$P(P)=\frac{7}{10}$$

Krok 3 — sprawdzenie:

$$\frac{3}{10}+\frac{7}{10}=\frac{10}{10}=1 \ ✔$$

Wniosek: zdarzenia przeciwne zawsze sumują się do $1$ — to dobry sposób kontroli obliczeń.

Odpowiedź: $P(W)=\frac{3}{10}$, $P(P)=\frac{7}{10}$; suma wynosi $1$.

Krok 1 — wypisujemy wszystkie liczby:

$$12,\ 13,\ 21,\ 23,\ 31,\ 32$$

Jest ich $6$ (bo $3\cdot2=6$).

Krok 2 — liczby parzyste (kończące się cyfrą parzystą): $12$ i $32$ — są $2$.

Krok 3 — prawdopodobieństwo:

$$P=\frac{2}{6}=\frac13$$

Odpowiedź: $6$ liczb, $P=\frac13$.

Krok 1 — pierwsze losowanie. Czarnych jest $4$ z $6$:

$$P_1=\frac{4}{6}=\frac23$$

Krok 2 — drugie losowanie. Po wyjęciu jednej czarnej zostaje $3$ czarne z $5$ kul:

$$P_2=\frac{3}{5}$$

Krok 3 — mnożymy:

$$P=\frac23\cdot\frac35=\frac{6}{15}=\frac25$$

Kluczowe: bez zwracania w drugim kroku maleją obie liczby — i kul czarnych, i wszystkich.

Odpowiedź: $\frac25=0{,}4$.