Siatki graniastosłupów

Prostopadłościan ma $6$ ścian — wszystkie są prostokątami: górna i dolna, przednia i tylna, lewa i prawa.

Dla porządku: ma też $12$ krawędzi i $8$ wierzchołków — łatwo pomylić te liczby ze sobą.

Odpowiedź: C. $6$ ścian.

Graniastosłup ma dwie podstawy i tyle ścian bocznych, ile boków ma podstawa:

$$2+3=5$$

Odpowiedź: B. $5$ ścian.

Objętość prostopadłościanu to iloczyn trzech wymiarów:

$$V=a\cdot b\cdot c=4\cdot5\cdot6=120\ \text{cm}^3$$

Uwaga na jednostkę: objętość podajemy w jednostkach sześciennych (cm$^3$), a nie kwadratowych.

Odpowiedź: $120$ cm$^3$.

Wierzchołki — po $6$ w każdej z dwóch podstaw:

$$2\cdot6=12$$

Krawędzie — $6$ w dolnej podstawie, $6$ w górnej i $6$ pionowych:

$$6+6+6=18$$

Odpowiedź: $12$ wierzchołków i $18$ krawędzi.

Sześcian ma wszystkie krawędzie równe, więc:

$$V=a^3=3\cdot3\cdot3=27\ \text{cm}^3$$

Pułapka: $a^3$ to trzykrotne mnożenie, a nie mnożenie przez $3$ — $3\cdot3=9$ to byłoby pole ściany.

Odpowiedź: $27$ cm$^3$.

$$V=a^3=4\cdot4\cdot4=64\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $64$ cm$^3$.

Kluczowa zależność:

$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$

Dzielimy przez $1000$:

$$5000:1000=5\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: B. $5$ litrów.

Sześcian ma $6$ jednakowych ścian kwadratowych:

$$P=6\cdot5^2=6\cdot25=150\ \text{cm}^2$$

Pułapka: $125$ cm$^3$ to objętość, nie pole.

Odpowiedź: D. $150$ cm$^2$.

Liczba ścian bocznych graniastosłupa równa się liczbie boków podstawy:

$$5\ \text{ścian bocznych}$$

Wszystkich ścian jest o dwie więcej (dwie podstawy): $5+2=7$.

Odpowiedź: $5$ ścian bocznych.

$$V=6\cdot3\cdot2=36\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $36$ cm$^3$.

Siatka to rozłożona na płasko powierzchnia bryły. Sześcian ma $6$ jednakowych ścian kwadratowych, więc jego siatka składa się z $6$ kwadratów.

Ciekawostka: istnieje $11$ różnych układów tych sześciu kwadratów, z których da się złożyć sześcian.

Odpowiedź: A. $6$.

Ścian bocznych jest tyle, ile boków ma podstawa. Kwadrat ma $4$ boki, więc $4$ prostokąty.

Cała siatka ma $4$ prostokąty i $2$ kwadraty, razem $6$ figur.

Odpowiedź: A. $4$.

Objętość graniastosłupa liczymy jako pole podstawy razy wysokość:

$$V=P_p\cdot H=18\cdot7=126\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $126$ cm$^3$.

Objętość każdego graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:

$$V=P_p\cdot H=12\cdot7=84\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $84$ cm$^3$.

Krok 1 — objętość w centymetrach sześciennych:

$$V=50\cdot30\cdot40=60\,000\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — zamiana na litry (dzielimy przez $1000$):

$$60\,000:1000=60\ \text{litrów}$$

Odpowiedź: zmieści się $60$ litrów wody.

Ściany tworzą trzy pary:

$$P=2(8\cdot5)+2(8\cdot3)+2(5\cdot3)$$

$$P=80+48+30=158\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $158$ cm$^2$.

Liczymy krawędzie w trzech grupach:

• dolna podstawa (trójkąt) — $3$ krawędzie
• górna podstawa — $3$ krawędzie
• krawędzie boczne łączące podstawy — $3$

$$3+3+3=9$$

Odpowiedź: D. $9$ krawędzi.

Szukamy liczby, która pomnożona przez siebie trzy razy daje $27$:

$$3\cdot3\cdot3=27 \quad\Rightarrow\quad a=3\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $3$ cm.

Krok 1 — pole jednej ściany (kwadrat o boku $4$):

$$4\cdot4=16\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — sześcian ma $6$ jednakowych ścian:

$$P=6\cdot16=96\ \text{cm}^2$$

Uwaga: pole powierzchni podajemy w cm$^2$, a objętość w cm$^3$ — to dwie różne wielkości.

Odpowiedź: $96$ cm$^2$.

Krok 1 — pole podstawy (trójkąt prostokątny):

$$P_p=\frac{3\cdot4}{2}=6\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=6\cdot10=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $60$ cm$^3$.

Kluczowy przelicznik:

$$1\ \text{m}^3=100\cdot100\cdot100=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$

Dzielimy:

$$2\,500\,000:1\,000\,000=2{,}5\ \text{m}^3$$

Uwaga: przy objętości przelicznik to milion, a nie sto — bo mnożymy przelicznik długości trzy razy.

Odpowiedź: B. $2{,}5$ m$^3$.

Krok 1 — objętość:

$$V=20\cdot10\cdot5=1000\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — zamiana. $1$ litr $=1000$ cm$^3$, więc $V=1$ litr.

Odpowiedź: B. $1$ l.

Przekształcamy wzór na objętość:

$$V=P_p\cdot H \quad\Rightarrow\quad H=\frac{V}{P_p}$$

Podstawiamy:

$$H=\frac{180}{30}=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $30\cdot6=180$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=4\cdot4=16\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — wysokość (dzielimy objętość przez pole podstawy):

$$H=80:16=5\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $16\cdot5=80$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: $5$ cm.

Szukamy liczby, której trzecia potęga daje $64$:

$$a^3=64 \quad\Rightarrow\quad a=4\ \text{cm}$$

bo $4\cdot4\cdot4=64$.

Uwaga: to pierwiastek sześcienny, nie kwadratowy — $\sqrt{64}=8$ byłoby błędną odpowiedzią.

Odpowiedź: krawędź ma $4$ cm.

Sześcian ma $12$ jednakowych krawędzi:

$$12\cdot6=72\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $72$ cm drutu.

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, więc każda ściana boczna jest prostokątem.

Dla porównania: ostrosłup ma ściany boczne w kształcie trójkątów.

Odpowiedź: C. prostokątami.

Sprawdzamy iloczyny:

$$4\cdot4\cdot4=64,\qquad 6\cdot4\cdot3=72,\qquad 8\cdot3\cdot3=72$$

$$8\cdot3\cdot2=48 \ ✔$$

Odpowiedź: D. $8\times3\times2$.

Potrzebne jest pole powierzchni całkowitej — suma pól trzech par przeciwległych ścian.

Krok 1 — pola par ścian:

$$2\cdot(20\cdot15)=600,\qquad 2\cdot(20\cdot10)=400,\qquad 2\cdot(15\cdot10)=300$$

Krok 2 — sumujemy:

$$600+400+300=1300\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: potrzeba $1300$ cm$^2$ kartonu.

Krok 1 — obwód podstawy:

$$O_p=2(5+2)=14\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole boczne (obwód podstawy razy wysokość):

$$P_b=14\cdot9=126\ \text{cm}^2$$

Dlaczego tak: ściany boczne rozwinięte na płasko tworzą jeden prostokąt o wymiarach „obwód podstawy” na „wysokość”.

Odpowiedź: $126$ cm$^2$.

Objętość zależy od krawędzi w trzeciej potędze:

$$V=(2a)^3=8a^3$$

Sprawdźmy na liczbach: dla $a=2$ objętość to $8$, dla $a=4$ objętość to $64$. Rzeczywiście $64:8=8$.

Odpowiedź: A. $8$ razy.

Kostka o krawędzi $1$ dm to kostka o krawędzi $10$ cm:

$$1\ \text{dm}^3=10\cdot10\cdot10=1000\ \text{cm}^3$$

$$5000:1000=5\ \text{dm}^3$$

Odpowiedź: A. $5$ dm$^3$.

Obliczamy objętość prostopadłościanu:

$$V=25\cdot10\cdot2=500\ \text{m}^3$$

Dla wyobrażenia: $1$ m$^3$ to $1000$ litrów, więc basen mieści $500\,000$ litrów wody.

Odpowiedź: $500$ m$^3$.

Krok 1 — poziom wody. Wysokość akwarium to $40$ cm:

$$\frac34\cdot40=30\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość wody:

$$V=60\cdot30\cdot30=54\,000\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry ($1$ l $=1000$ cm$^3$):

$$54\,000:1000=54\ \text{litry}$$

Odpowiedź: $54$ litry.

Z wzoru na objętość wyznaczamy wysokość:

$$H=\frac{V}{P_p}=\frac{96}{12}=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $12\cdot8=96$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: wysokość wynosi $8$ cm.

Sposób 1 — przez objętości. Objętość pudełka:

$$10\cdot8\cdot6=480\ \text{cm}^3$$

Objętość kostki: $2^3=8$ cm$^3$, więc $480:8=60$.

Sposób 2 — liczymy kostki wzdłuż krawędzi (pewniejszy, bo sprawdza, czy kostki układają się bez luk):

$$(10:2)\cdot(8:2)\cdot(6:2)=5\cdot4\cdot3=60$$

Każdy wymiar dzieli się przez $2$ bez reszty, więc oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $60$ kostek.

Krok 1 — zamieniamy litry na centymetry sześcienne:

$$9\ \text{l}=9000\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — pole dna pojemnika:

$$30\cdot20=600\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — wysokość słupa wody:

$$h=\frac{9000}{600}=15\ \text{cm}$$

Kontrola sensu: pojemnik ma $25$ cm wysokości, a woda sięga $15$ cm — mieści się ✔

Odpowiedź: woda sięga na wysokość $15$ cm.

Krok 1 — pole powierzchni sześcianu:

$$P=6\cdot10^2=600\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — zapas $10\%$:

$$0{,}1\cdot600=60\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — razem:

$$600+60=660\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $660$ cm$^2$.

Krok 1 — objętość dużego sześcianu:

$$V_1=6^3=216\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — objętość wyciętego sześcianu:

$$V_2=2^3=8\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — objętość pozostałej bryły:

$$V=216-8=208\ \text{cm}^3$$

Krok 4 — jaką część stanowi:

$$\frac{208}{216}=\frac{26}{27}$$

(skracamy przez $8$)

Kontrola: wycięto $\frac{8}{216}=\frac{1}{27}$ całości, a $\frac{26}{27}$ plus $\frac{1}{27}$ daje $1$ ✔

Odpowiedź: $208$ cm$^3$, czyli $\frac{26}{27}$ objętości pierwotnej.

Krok 1 — objętość basenu:

$$V=25\cdot10\cdot2=500\ \text{m}^3$$

Krok 2 — czas napełniania:

$$t=500:50=10\ \text{godzin}$$

Odpowiedź: $10$ godzin.