Pole powierzchni graniastosłupa

Graniastosłup ma dwie podstawy i tyle ścian bocznych, ile boków ma podstawa:

$$2+3=5$$

Odpowiedź: B. $5$ ścian.

Wierzchołki — po $6$ w każdej z dwóch podstaw:

$$2\cdot6=12$$

Krawędzie — $6$ w dolnej podstawie, $6$ w górnej i $6$ pionowych:

$$6+6+6=18$$

Odpowiedź: $12$ wierzchołków i $18$ krawędzi.

$$V=a^3=4\cdot4\cdot4=64\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $64$ cm$^3$.

Sześcian ma $6$ jednakowych ścian kwadratowych:

$$P=6\cdot5^2=6\cdot25=150\ \text{cm}^2$$

Pułapka: $125$ cm$^3$ to objętość, nie pole.

Odpowiedź: D. $150$ cm$^2$.

$$V=6\cdot3\cdot2=36\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $36$ cm$^3$.

Ścian bocznych jest tyle, ile boków ma podstawa. Kwadrat ma $4$ boki, więc $4$ prostokąty.

Cała siatka ma $4$ prostokąty i $2$ kwadraty, razem $6$ figur.

Odpowiedź: A. $4$.

Objętość każdego graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość:

$$V=P_p\cdot H=12\cdot7=84\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $84$ cm$^3$.

Ściany tworzą trzy pary:

$$P=2(8\cdot5)+2(8\cdot3)+2(5\cdot3)$$

$$P=80+48+30=158\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $158$ cm$^2$.

Szukamy liczby, która pomnożona przez siebie trzy razy daje $27$:

$$3\cdot3\cdot3=27 \quad\Rightarrow\quad a=3\ \text{cm}$$

Odpowiedź: C. $3$ cm.

Krok 1 — pole podstawy (trójkąt prostokątny):

$$P_p=\frac{3\cdot4}{2}=6\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=6\cdot10=60\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $60$ cm$^3$.

Krok 1 — objętość:

$$V=20\cdot10\cdot5=1000\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — zamiana. $1$ litr $=1000$ cm$^3$, więc $V=1$ litr.

Odpowiedź: B. $1$ l.

Krok 1 — pole podstawy:

$$P_p=4\cdot4=16\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — wysokość (dzielimy objętość przez pole podstawy):

$$H=80:16=5\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $16\cdot5=80$ cm$^3$ ✔

Odpowiedź: $5$ cm.

Sześcian ma $12$ jednakowych krawędzi:

$$12\cdot6=72\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $72$ cm drutu.

Sprawdzamy iloczyny:

$$4\cdot4\cdot4=64,\qquad 6\cdot4\cdot3=72,\qquad 8\cdot3\cdot3=72$$

$$8\cdot3\cdot2=48 \ ✔$$

Odpowiedź: D. $8\times3\times2$.

Krok 1 — obwód podstawy:

$$O_p=2(5+2)=14\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole boczne (obwód podstawy razy wysokość):

$$P_b=14\cdot9=126\ \text{cm}^2$$

Dlaczego tak: ściany boczne rozwinięte na płasko tworzą jeden prostokąt o wymiarach „obwód podstawy” na „wysokość”.

Odpowiedź: $126$ cm$^2$.

Kostka o krawędzi $1$ dm to kostka o krawędzi $10$ cm:

$$1\ \text{dm}^3=10\cdot10\cdot10=1000\ \text{cm}^3$$

$$5000:1000=5\ \text{dm}^3$$

Odpowiedź: A. $5$ dm$^3$.

Krok 1 — poziom wody. Wysokość akwarium to $40$ cm:

$$\frac34\cdot40=30\ \text{cm}$$

Krok 2 — objętość wody:

$$V=60\cdot30\cdot30=54\,000\ \text{cm}^3$$

Krok 3 — zamiana na litry ($1$ l $=1000$ cm$^3$):

$$54\,000:1000=54\ \text{litry}$$

Odpowiedź: $54$ litry.

Sposób 1 — przez objętości. Objętość pudełka:

$$10\cdot8\cdot6=480\ \text{cm}^3$$

Objętość kostki: $2^3=8$ cm$^3$, więc $480:8=60$.

Sposób 2 — liczymy kostki wzdłuż krawędzi (pewniejszy, bo sprawdza, czy kostki układają się bez luk):

$$(10:2)\cdot(8:2)\cdot(6:2)=5\cdot4\cdot3=60$$

Każdy wymiar dzieli się przez $2$ bez reszty, więc oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $60$ kostek.

Krok 1 — pole powierzchni sześcianu:

$$P=6\cdot10^2=600\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — zapas $10\%$:

$$0{,}1\cdot600=60\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — razem:

$$600+60=660\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $660$ cm$^2$.

Krok 1 — objętość basenu:

$$V=25\cdot10\cdot2=500\ \text{m}^3$$

Krok 2 — czas napełniania:

$$t=500:50=10\ \text{godzin}$$

Odpowiedź: $10$ godzin.