Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła — ile sześcianów jednostkowych da się w niej zmieścić. Podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm$^3$, dm$^3$, m$^3$.
$$V_{\text{prostopadłościan}}=a\cdot b\cdot c$$
$$V_{\text{sześcian}}=a^3$$
$$V_{\text{graniastosłup}}=P_p\cdot H$$
Ostatni wzór jest najogólniejszy — prostopadłościan to po prostu graniastosłup o podstawie prostokątnej.
$$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3,\qquad 1\ \text{m}^3=1\,000\,000\ \text{cm}^3$$
Przelicznik objętości to sześcian przelicznika długości: skoro $1$ m $=100$ cm, to $1$ m$^3=100\cdot100\cdot100$ cm$^3$.
$$1\ \text{litr}=1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$$
To najważniejsza zamiana w zadaniach o pojemnikach i akwariach.
Graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy i ściany boczne. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami.
Przykład dla graniastosłupa trójkątnego: $5$ ścian, $6$ wierzchołków, $9$ krawędzi.
Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko. Siatka sześcianu składa się z $6$ jednakowych kwadratów; można je ułożyć na $11$ różnych sposobów.
To dwie różne wielkości: pole podajemy w cm$^2$, objętość w cm$^3$. Pole powierzchni sześcianu to $6a^2$, a objętość to $a^3$.
Przy zmianie wymiarów objętość rośnie w trzeciej potędze — podwojenie krawędzi sześcianu zwiększa objętość ośmiokrotnie, a nie dwukrotnie. Przy przeliczaniu jednostek objętości dzielimy przez $1000$ lub $1\,000\,000$, nie przez $100$.
Co robi: podaje objętość podstawowych brył, od najprostszej do najogólniejszej.
Elementy: $a$, $b$, $c$ to wymiary prostopadłościanu, $P_p$ pole podstawy, $H$ wysokość bryły. Wzór z polem podstawy obejmuje wszystkie pozostałe przypadki.
Przykład: prostopadłościan $4\times5\times6$ ma objętość $120$ cm$^3$; graniastosłup o polu podstawy $18$ cm$^2$ i wysokości $7$ cm ma $126$ cm$^3$.
Jednostki: $1$ dm$^3=1000$ cm$^3$, $1$ m$^3=1\,000\,000$ cm$^3$, a $1$ litr to dokładnie $1$ dm$^3$.
Skala: przy powiększeniu wszystkich wymiarów $k$ razy objętość rośnie $k^3$ razy — podwojenie krawędzi sześcianu daje objętość $8$ razy większą.
Pułapka: nie mylić objętości z polem powierzchni. Objętość podajemy w cm$^3$, pole w cm$^2$. Przelicznik jednostek objętości to $1000$ lub milion, nigdy $100$.
Ile ścian ma prostopadłościan?
Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach $4$ cm, $5$ cm i $6$ cm.
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi $3$ cm.
Ile litrów to $5000$ cm$^3$?
Ile ścian bocznych ma graniastosłup o podstawie pięciokąta?
Z ilu kwadratów składa się siatka sześcianu?
Oblicz objętość graniastosłupa o polu podstawy $18$ cm$^2$ i wysokości $7$ cm.
Akwarium ma wymiary $50$ cm, $30$ cm i $40$ cm. Ile litrów wody się w nim zmieści?
Ile krawędzi ma graniastosłup trójkątny?
Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi $4$ cm.
Ile metrów sześciennych to $2\,500\,000$ cm$^3$?
Objętość prostopadłościanu wynosi $180$ cm$^3$, a pole podstawy $30$ cm$^2$. Oblicz jego wysokość.
Sześcian ma objętość $64$ cm$^3$. Oblicz długość jego krawędzi.
Ściany boczne graniastosłupa prostego są:
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary $20$ cm, $15$ cm i $10$ cm. Ile centymetrów kwadratowych kartonu potrzeba na jego wykonanie (bez zakładek)?
Krawędź sześcianu podwojono. Ile razy wzrosła jego objętość?
Basen ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $25$ m, $10$ m i głębokości $2$ m. Ile metrów sześciennych wody mieści?
Graniastosłup ma podstawę w kształcie trójkąta o polu $12$ cm$^2$. Jego objętość wynosi $96$ cm$^3$. Oblicz wysokość graniastosłupa.
Do prostopadłościennego pojemnika o wymiarach $30$ cm, $20$ cm i $25$ cm wlano $9$ litrów wody. Na jaką wysokość sięga woda?
Z sześcianu o krawędzi $6$ cm wycięto sześcian o krawędzi $2$ cm. Oblicz objętość pozostałej bryły i podaj, jaką część objętości pierwotnej ona stanowi.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.