Co robi: pozwala rozpoznać liczbę rozwiązań układu bez jego rozwiązywania — kluczowe w zadaniach z parametrem.
Elementy: układ oznaczony = proste przecinają się (jedno rozwiązanie); nieoznaczony = proste się pokrywają (nieskończenie wiele); sprzeczny = proste równoległe rozłączne (brak rozwiązań).
Przykład: $\begin{cases}2x+3y=5\4x+6y=10\end{cases}$ — proporcje $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{5}{10}$ są równe, więc układ nieoznaczony (drugie równanie to podwojone pierwsze).
Pułapka: przed porównaniem proporcji uporządkuj oba równania do postaci $ax+by=c$. Porównywanie współczynników z równań w różnych postaciach prowadzi do błędnych wniosków.
Geometrycznie: obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy, ale różne wyrazy wolne — są równoległe i różne, więc nie mają punktu wspólnego. Taki układ nazywamy sprzecznym.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 5
Układ, który nie ma rozwiązań, nazywamy:
Asprzecznym
Boznaczonym
Cnieoznaczonym
Dliniowym
Układ bez rozwiązań to układ sprzeczny (proste równoległe). Układ z jednym rozwiązaniem — oznaczony, z nieskończenie wieloma — nieoznaczony.
Krok 2 — to identyczne z pierwszym równaniem. Oba opisują tę samą prostą.
Wniosek. Układ nieoznaczony — nieskończenie wiele rozwiązań (wszystkie pary spełniające $y=2x-3$).
Odpowiedź: nieskończenie wiele rozwiązań.
Zadanie nr 13
Układ dwóch równań liniowych jest sprzeczny. Co to oznacza geometrycznie?
Aproste są równoległe i różne
Bproste przecinają się w jednym punkcie
Cproste pokrywają się
Dproste są prostopadłe
Rozwiązaniem układu jest punkt wspólny prostych. Brak rozwiązań oznacza brak punktu wspólnego, a to zdarza się tylko dla prostych równoległych i różnych.
Pełne zestawienie:
jedno rozwiązanie — proste przecinają się (układ oznaczony)
brak rozwiązań — proste równoległe różne (układ sprzeczny)
nieskończenie wiele — proste pokrywają się (układ nieoznaczony)
Motorówka płynie z prądem rzeki $30$ km w $2$ godziny, a pod prąd tę samą trasę pokonuje w $3$ godziny. Oblicz prędkość własną motorówki i prędkość prądu rzeki.
Krok 1 — oznaczenia. Niech $v$ to prędkość własna motorówki, a $p$ prędkość prądu.
Z prądem prędkości się dodają, pod prąd — odejmują:
Krok 1 — mnożymy, by wyrównać współczynniki przy $x$. Pierwsze $\times2$, drugie $\times3$:
$$\begin{cases}6x+4y=24\6x+15y=39\end{cases}$$
Krok 2 — odejmujemy stronami (znika $x$):
$$11y=15... $$
Dokładnie: $39-24=15$, $15y-4y=11y$, więc $11y=15$? Sprawdźmy ponownie mnożenie.
Poprawnie: $6x+15y-(6x+4y)=39-24$, czyli $11y=15$, $y=\frac{15}{11}$ — mało „ładne”, więc rozwiążmy inaczej dla kontroli.
Kontrola metodą wyznaczników. $W=3\cdot5-2\cdot2=11$, $W_x=12\cdot5-2\cdot13=34$, $W_y=3\cdot13-12\cdot2=15$. Zatem $x=\frac{34}{11}$, $y=\frac{15}{11}$.
Metoda 2 — sprawdzenie odpowiedzi. Dla $x=2$, $y=3$: $2\cdot2-3=1$ ✔ oraz $2+2\cdot3=8$ ✔
Uwaga: para musi spełniać oba równania. Odpowiedź A spełnia pierwsze ($2-1=1$), ale nie drugie ($1+2=3\neq8$).
Odpowiedź: C. $x=2$, $y=3$.
Zadanie nr 16
Suma dwóch liczb wynosi $20$, a ich różnica $6$. Większa liczba to:
A$13$
B$7$
C$10$
D$14$
Układ $\begin{cases}x+y=20\x-y=6\end{cases}$. Dodając: $2x=26$, $x=13$.
Odpowiedź: A. $13$.
Zadanie nr 17
Bilet normalny kosztuje $x$ zł, a ulgowy $y$ zł. Za $4$ bilety normalne i $3$ ulgowe zapłacono $97$ zł, a za $2$ normalne i $5$ ulgowych — $87$ zł. Ile kosztuje każdy rodzaj biletu?
Krok 1 — układamy układ:
$$\begin{cases} 4x+3y=97 \ 2x+5y=87 \end{cases}$$
Krok 2 — mnożymy drugie równanie przez $2$, aby zrównać współczynniki przy $x$:
$$4x+10y=174$$
Krok 3 — odejmujemy od niego pierwsze równanie (znika $x$):
Sprawdzenie zawartości: $0{,}2\cdot8+0{,}5\cdot4=1{,}6+2=3{,}6$ litra owoców, czyli $\frac{3{,}6}{12}=30\%$ ✔
Kontrola sensu: wynik $30\%$ leży między $20\%$ a $50\%$, bliżej dolnej wartości — i rzeczywiście słabszego soku wzięliśmy więcej.
Odpowiedź: $8$ litrów soku $20\%$ i $4$ litry soku $50\%$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że układ $\begin{cases}x+y=s\x-y=r\end{cases}$ ma dla dowolnych $s,r$ dokładnie jedno rozwiązanie, i podaj wzory na $x$ i $y$.
Krok 1 — dodajemy równania stronami:
$$2x=s+r \quad\Rightarrow\quad x=\frac{s+r}{2}$$
Krok 2 — odejmujemy równania stronami:
$$2y=s-r \quad\Rightarrow\quad y=\frac{s-r}{2}$$
Krok 3 — wniosek. Dla dowolnych $s,r$ wzory dają jednoznaczne wartości $x$ i $y$, więc rozwiązanie zawsze istnieje i jest jedno. $\quad∎$
Zastosowanie. To gotowy przepis na zadania typu „suma i różnica”: $x=\frac{\text{suma}+\text{różnica}}{2}$. Sprawdzenie dla $s=20$, $r=6$: $x=13$, $y=7$ — zgodnie z zad. 16 ✔
Zadanie nr 10 · Matura 2024
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie \(1960\) drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(10\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(60\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech \(x\) oraz \(y\) oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby \(y\) drzew posadzonych w drugim sadzie, jest
Pierwsze równanie jest dość oczywiste i powtarza się w każdej proponowanej odpowiedzi, a będzie to \(x+y=1960\). Trudność tego zadania opiera się zatem na poprawnym zapisaniu drugiego równania.
Jeśli uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie, to zostało tam \(0,95x\) drzew. W drugim sadzie uschło \(10\%\), zatem zostało tam \(0,9y\). Z treści zadania wynika także, że liczba drzew z drugiego sadu stanowi \(60\%\) tych z sadu pierwszego, czyli możemy zapisać, że \(0,6\cdot0,95x=0,9y\). To oznacza, że poprawny jest pierwszy układ równań.
Zadanie nr 11 · Matura 2024
Na rysunku w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, a więc muszą mieć ujemny współczynnik kierunkowy \(a\). Już sama ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że pasuje nam tylko układ równań z pierwszej odpowiedzi. Warto też zauważyć, że te dwie proste są równoległe, czyli ten współczynnik \(a\) muszą mieć taki sam.
Zadanie nr 5 · Próbny 2023
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację układu równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\). Punkt przecięcia dwu prostych oraz ich punkty wspólne z osią \(Ox\) układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku powyżej, jest układ:
A. \(\begin{cases}
3(y+4)-6(x-3)=0 \ ,\
-4y-7(x-7)=0
\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}
3(y+4)-6x=0 \ ,\
4y+2(x-7)=0
\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}
3(y+4)-6x=0 \ ,\
4y-2(x-7)=0
\end{cases}\)
D. \(\begin{cases}
y=2x-4 \ ,\
y=\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}
\end{cases}\)
E. \(\begin{cases}
y=x-4 \ ,\
y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}
\end{cases}\)
F. \(\begin{cases}
y=2x-4 \ ,\
y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}
\end{cases}\)
Krok 1. Wybór pierwszej poprawnej odpowiedzi.
Celem zadania jest tak naprawdę ustalenie jakimi równaniami są opisane nasze proste. Najprościej będzie zacząć od ustalenia jaka jest postać kierunkowa tych prostych, czyli najpierw warto zerknąć na proponowane odpowiedzi D, E oraz F (bo właśnie tam wszystkie równania są zapisane w tej postaci, więc jest spore prawdopodobieństwo, że znajdziemy tam pierwszą poprawną odpowiedź). Możemy oczywiście wyznaczać takie równania w standardowy sposób, ale spróbujmy podejść do tego zadania nieco bardziej analitycznie, analizując podane odpowiedzi.
Widzimy, że jedna prosta przecina oś \(Ox\) dla \(y=-4\), a druga dla \(y=3\frac{1}{2}\), więc współczynniki \(b\) tych prostych powinny być równe odpowiednio \(b=-4\) oraz \(b=3\frac{1}{2}\). Tak się składa, że w każdej parze mamy takie współczynniki, więc analizujemy dalej. Widzimy, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca, czyli jedna powinna mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga ujemny. W ten sposób spośród odpowiedzi D, E, F możemy już odrzucić odpowiedź D. Zostały nam już odpowiedzi E oraz F, które różnią się tylko pierwszym równaniem, które opisuje prostą rosnącą. Sprawdźmy zatem jaką wartość przyjmuje każde z równań dla \(x=2\). Prosta \(y=x-4\) przyjmuje wartość \(y=2-4=-2\), natomiast prosta \(y=2x-4\) przyjmie wartość \(y=2\cdot2-4=0\). Na wykresie widać, że ta wartość powinna być równa \(0\), bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2;0)\), stąd też po tej prostej analizie możemy stwierdzić, że pierwszą poprawną odpowiedzią będzie F.
Dla upewnienia się, możemy oczywiście analogicznie sprawdzić to drugie równanie \(y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\), podstawiając np. \(x=7\). Wyjdzie nam, że \(y=-\frac{1}{2}\cdot7+3\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=0\) i to się zgadza, bo prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((7;0)\).
Krok 2. Wybór drugiej poprawnej odpowiedzi.
Druga odpowiedź będzie znajdować się wśród proponowanych A, B oraz C. Mówiąc bardzo obrazowo, musimy sprawdzić które równania da się przekształcić do postaci tych z odpowiedzi F. Tu warto zauważyć, że każdy układ ma różne drugie równania, więc możemy skupić się tylko na nich. Przekształćmy zatem te równania do postaci kierunkowej:
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.
Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest:
A\(\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=-2x+1
\end{cases}\)
B\(\begin{cases}
y=x-2 \\
y=-2x-1
\end{cases}\)
C\(\begin{cases}
y=x-2 \\
y=2x+1
\end{cases}\)
D\(\begin{cases}
y=-x+2 \\
y=2x-1
\end{cases}\)
Oczywiście moglibyśmy po prostu wyznaczyć równania tych dwóch prostych (wystarczy odczytać z rysunku współrzędne dwóch punktów przez które taka prosta przechodzi i skorzystać albo ze wzoru z tablic albo z tak zwanej metody układu równań). Nie mniej jednak w tego typu zadaniach bardzo często jesteśmy w stanie podać prawidłową odpowiedzieć jedynie analizując całą sytuację na rysunku.
Po pierwsze powinniśmy dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca. To oznacza, że jedna prosta powinna mieć dodatni współczynnik \(a\), natomiast druga powinna mieć ujemny. Taką sytuację mamy jedynie w odpowiedziach B oraz D, więc tylko do tych odpowiedzi możemy się ograniczyć.
Po drugie - moglibyśmy dostrzec, że prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=2\), co z kolei mówi nam, że ta prosta ma współczynnik \(b=2\). Taka sytuacja jest właśnie w odpowiedzi D, zatem bez żadnego liczenia możemy być pewni, że prawidłowym układem równań będzie ten z ostatniej odpowiedzi.
Zadanie nr 11 · Matura 2023
Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a\gt b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:
$$...... \text{oraz} ......$$
A. \(\begin{cases}
2ab=30 \ ,\
a-b=5
\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}
2a+b=30 \ ,\
a=5b
\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}
2(a+b)=30 \ ,\
b=a-5
\end{cases}\)
D. \(\begin{cases}
2a+2b=30 \ ,\
b=5a
\end{cases}\)
E. \(\begin{cases}
2a+2b=30 \ ,\
a-b=5
\end{cases}\)
F. \(\begin{cases}
a+b=30 \ ,\
a=b+5
\end{cases}\)
Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Pierwsze równanie związane jest z obwodem prostokąta. Wiemy, że nasz prostokąt ma obwód równy \(30\). Na ten obwód będą składać się dwa boki o długości \(a\) oraz dwa boki o długości \(b\), zatem pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2a+2b=30$$
I tu od razu możemy zapisać drugi wariant tego równania (który pojawi się jako alternatywna odpowiedź). Wyciągając dwójkę przed nawias, moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot(a+b)=30$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Drugie równanie wynika z informacji, że jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Moglibyśmy zapisać, że w takim razie:
$$b=a-5$$
Przekształcając to równanie moglibyśmy otrzymać postać:
$$b+5=a \ ,\
a-b=5$$
Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Analizując teraz dostępne odpowiedzi widzimy, że pasuje nam na pewno układ równań z odpowiedzi C oraz z odpowiedzi E.
Zadanie nr 11 · Matura 2023
Dany jest prostokąt o bokach długości \(a\) i \(b\), gdzie \(a\gt b\). Obwód tego prostokąta jest równy \(30\). Jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego.
Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami:
$$...... \text{oraz} ......$$
A. \(\begin{cases}
2ab=30 \\
a-b=5
\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}
2a+b=30 \\
a=5b
\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}
2(a+b)=30 \\
b=a-5
\end{cases}\)
D. \(\begin{cases}
2a+2b=30 \\
b=5a
\end{cases}\)
E. \(\begin{cases}
2a+2b=30 \\
a-b=5
\end{cases}\)
F. \(\begin{cases}
a+b=30 \\
a=b+5
\end{cases}\)
Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Pierwsze równanie związane jest z obwodem prostokąta. Wiemy, że nasz prostokąt ma obwód równy \(30\). Na ten obwód będą składać się dwa boki o długości \(a\) oraz dwa boki o długości \(b\), zatem pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2a+2b=30$$
I tu od razu możemy zapisać drugi wariant tego równania (który pojawi się jako alternatywna odpowiedź). Wyciągając dwójkę przed nawias, moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot(a+b)=30$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Drugie równanie wynika z informacji, że jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Moglibyśmy zapisać, że w takim razie:
$$b=a-5$$
Przekształcając to równanie moglibyśmy otrzymać postać:
$$b+5=a \\
a-b=5$$
Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Analizując teraz dostępne odpowiedzi widzimy, że pasuje nam na pewno układ równań z odpowiedzi C oraz z odpowiedzi E.
Zadanie nr 6 · Matura 2022
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}11x-11y=1 \\ 22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_{0}\), \(y=y_{0}\). Wtedy:
A\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\gt0\)
B\(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\)
C\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\gt0\)
D\(x_{0}\lt0\) i \(y_{0}\lt0\)
Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanego układu równań. Możemy to zrobić na wiele sposobów, ale najprościej będzie chyba wymnożyć pierwsze równanie przez \(2\) i następnie dodać te równania stronami:
\begin{cases}
11x-11y=1 \bigg/\cdot2 \\
22x+22y=-1
\end{cases}
Dodając teraz równania stronami, otrzymamy:
$$44x=1 \ ,\
x=\frac{1}{44}$$
Znając wartość \(x=\frac{1}{44}\) możemy teraz obliczyć wartość \(y\). W tym celu wystarczy podstawić \(x=\frac{1}{44}\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), otrzymując:
$$11x-11y=1 \ ,\
11\cdot\frac{1}{44}-11y=1 \ ,\
\frac{11}{44}-11y=1 \ ,\
\frac{1}{4}-11y=1 \ ,\
-11y=\frac{3}{4} \ ,\
y=-\frac{3}{44}$$
To oznacza, że \(x_{0}\gt0\) i \(y_{0}\lt0\).
Zadanie nr 5 · Próbny 2021
Para liczb \(x=1\), \(y=-3\) spełnia układ równań \(\begin{cases}x-y=a^2 \\ (1+a)x-3y=-4a\end{cases}\)
Wtedy \(a\) jest równe:
A\(2\)
B\(-2\)
C\(\sqrt{2}\)
D\(-\sqrt{2}\)
Skoro podana para liczb spełnia nasz układ równań, to podstawmy w takim razie \(x=1\) oraz \(y=-3\) do tego układu, otrzymując:
\begin{cases}
1-(-3)=a^2 \ ,\
(1+a)\cdot1-3\cdot(-3)=-4a
\end{cases}
\begin{cases}
4=a^2 \ ,\
1+a-(-9)=-4a
\end{cases}
\begin{cases}
4=a^2 \ ,\
10+a=-4a
\end{cases}
\begin{cases}
a^2=4 \ ,\
-5a=10
\end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałych równań.
Otrzymaliśmy dwa równania z jedną niewiadomą, które teraz musimy rozwiązać:
I równanie:
$$a^2=4 \ ,\
a=2 \quad\lor\quad a=-2$$
II równanie:
$$-5a=10 \ ,\
a=-2$$
Krok 3. Wybór właściwej odpowiedzi.
Widzimy wyraźnie, że tylko \(a=-2\) spełnia jedno i drugie równanie, stąd też właśnie to \(a=-2\) jest prawidłową odpowiedzią.
Zadanie nr 8 · Matura 2021
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.
A\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
C\(\begin{cases}y=x-1 \\ y=-2x+4\end{cases}\)
D\(\begin{cases}y=x+1 \\ y=2x+4\end{cases}\)
Do zadania da się podejść na kilka sposobów. Z geometrycznej interpretacji wiemy, że rozwiązaniem układu równań są współrzędne punktu przecięcia się tych dwóch prostych. Możemy oczywiście rozwiązać każdy układ i sprawdzić kiedy otrzymamy wynik \(x=1\) oraz \(y=2\) (bo z rysunku wynika, że właśnie w tym miejscu te dwie proste się przecinają). Możemy też postąpić nieco sprytniej i wręcz podstawić \(x=1\) oraz \(y=2\) do każdego układu. Obydwie te metody są dobre, choć czasochłonne (a i czasem możemy wpaść w pułapkę związaną z tym, że pasować będą dwa układy równań).
Najlepiej byłoby dostrzec, że jedna prosta jest rosnąca, a druga malejąca - czyli jedna prosta musi mieć dodatni współczynnik kierunkowy \(a\), natomiast druga musi mieć ten współczynnik ujemny. Pasują nam już zatem tylko odpowiedzi A oraz C. Teraz spójrzmy na miejsce przecięcia się prostych z osią \(OY\). Prosta rosnąca przecina oś \(OY\) dla \(y=1\), więc współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy \(b=1\). Analogicznie prosta malejąca przecina oś \(OY\) dla \(y=4\), więc \(b=4\). To oznacza, że pasuje nam już tylko odpowiedź A.
Zadanie nr 9 · Próbny 2021
Układ równań \(\begin{cases} 2x-3y=a-b \\ 2x+3y=a+b \end{cases}\) z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\) ma jedno rozwiązanie, którym jest para liczb \((2,1)\). Wynika z tego, że:
A\(a=3, b=4\)
B\(a=4, b=3\)
C\(a=-4, b=-5\)
D\(a=-4, b=5\)
Aby rozwiązać to zadanie, musimy podstawić do układu równań \(x=2\) oraz \(y=1\), zatem:
\begin{cases}
2\cdot2-3\cdot1=a-b \ ,\
2\cdot2+3\cdot1=a+b
\end{cases}
\begin{cases}
4-3=a-b \ ,\
4+3=a+b
\end{cases}
\begin{cases}
a-b=1 \ ,\
a+b=7
\end{cases}
\begin{cases}
a=1+b \ ,\
a=7-b
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że:
$$1+b=7-b \ ,\
2b=6 \ ,\
b=3$$
Znamy już wartość \(b=3\), zatem podstawiając ją do jednego z równań np. \(a=1+b\), obliczymy poszukiwaną wartość \(a\):
$$a=1+b \ ,\
a=1+3 \ ,\
a=4$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2020
Rozważmy treść następującego zadania:
"Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków tego prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta."
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60 \ ,\
2(a+b)=60$$
Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.
Zadanie nr 7 · Próbny 2020
Układ równań liniowych \(\begin{cases}2x-3y=-1 \\ -6x+ay=3\end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy:
A\(a=9\)
B\(a=-9\)
C\(a=1\)
D\(a\) jest dowolną liczbą rzeczywistą
Aby dowiedzieć się dla jakiego parametru \(a\) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, musimy doprowadzić do sytuacji w której pierwsze i drugie równanie będą miały identyczną postać. W tym celu musimy np. pierwsze równanie pomnożyć obustronnie przez \(-3\). Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases}
2x-3y=-1 \quad\bigg/\cdot(-3)\ ,\
-6x+ay=3
\end{cases}
\begin{cases}
-6x+9y=3 \ ,\
-6x+ay=3
\end{cases}
Teraz jak porównamy sobie obydwa te równania (zwłaszcza to, co znalazło się przed igrekiem) to zauważymy, że układ równań będzie tożsamościowy dla \(a=9\).
Zadanie nr 5 · Matura 2019
Para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} -x+12y=a^2 \\ 2x+ay=9 \end{cases}\) dla:
A\(a=\frac{7}{3}\)
B\(a=-3\)
C\(a=3\)
D\(a=-\frac{7}{3}\)
Podstawiając \(x=3\) i \(y=1\) do naszego układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
-3+12\cdot1=a^2 \ ,\
2\cdot3+a\cdot1=9
\end{cases}
\begin{cases}
-3+12=a^2 \ ,\
6+a=9
\end{cases}
\begin{cases}
a^2=9 \ ,\
a=3
\end{cases}
W pierwszym równaniu otrzymaliśmy proste równanie kwadratowe \(a^2=9\), którego rozwiązaniem są liczby \(a=3\) oraz \(a=-3\). W drugim równaniu wyszło nam, że \(a=3\). Co oznacza ta rozbieżność? Możemy to zinterpretować w taki sposób, że gdy \(a=-3\) to para liczb \(x=3\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem tylko pierwszego równania, natomiast gdy \(a=3\), to wskazana para liczb jest rozwiązaniem jednego i drugiego równania (czyli całego układu równań). Z tego też względu rozwiązaniem tego zadania jest \(a=3\).
Zadanie nr 5 · Matura 2019
Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}ax+y=4 \\ -2x+3y=2a\end{cases}\) dla:
A\(a=-1\)
B\(a=1\)
C\(a=-2\)
D\(a=2\)
Podstawiając parę liczb \(x=2\) oraz \(y=2\) do układu równań otrzymamy:
$$\begin{cases}
a\cdot2+2=4 \ ,\
-2\cdot2+3\cdot2=2a
\end{cases}
\ ,\
\begin{cases}
2a+2=4 \ ,\
-4+6=2a
\end{cases}$$
Z pierwszego równania mamy że \(2a=2\), czyli że \(a=1\).
Z drugiego wychodzi nam identycznie, że \(2=2a\), czyli także \(a=1\).
To oznacza, że ta para liczb jest rozwiązaniem układu dla \(a=1\).
Zapis rozwiązania układu równań w postaci \((3, –2)\) oznacza, że szukamy układu równań, którego rozwiązaniem jest para liczb \(x=3\) oraz \(y=-2\). Teoretycznie moglibyśmy rozwiązać każdy układ równań osobno i w ten sposób wskazalibyśmy poprawny wynik. Jednak to zadanie można zrobić nieco sprytniej. Widzimy, że w każdym z układów drugie równanie ma po lewej stronie wyrażenie \(-3x+2y\). Możemy więc sprawdzić jaką wartość przyjmie to wyrażenie dla \(x=3\) oraz \(y=-2\) i tym samym zobaczymy która z odpowiedzi jest prawidłowa:
$$-3x+2y=-3\cdot3+2\cdot(-2)=-9+(-4)=-9-4=-13$$
Otrzymaliśmy informację, że dla pary liczb \((3,-2)\) wyrażenie \(-3x+2y\) powinno przyjąć wartość równą \(-13\), a taka sytuacja znalazła się jedynie w odpowiedzi B.
Zadanie nr 7 · Próbny 2019
Układ równań liniowych \(\begin{cases} 2x-4y=3 \\ -3x+6y=-4 \end{cases}\)
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma nieskończenie wiele rozwiązań
Do rozwiązania tego zadania można dojść na wiele sposobów, nawet najpopularniejszą metodą podstawiania. Jednak najprościej będzie dostrzec rozwiązanie mnożąc pierwsze równanie przez \(-\frac{3}{2}\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
\begin{cases}
2x-4y=3 \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\ ,\
-3x+6y=-4
\end{cases}
W pierwszym równaniu wyszło nam, że \(-3x+6y\) jest równe \(-\frac{9}{2}\). W drugim równaniu wyszło, że \(-3x+6y\) jest równe \(-4\). Te dwa równania mają po lewej stronie to samo wyrażenie (bez potęg), a po prawej mają różne liczby. Taka sytuacja jest niemożliwa do otrzymania, zatem ten układ równań jest sprzeczny, czyli nie ma on rozwiązań.
Zadanie nr 7 · Matura 2019
Układ równań \(\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla:
A\(m=-1\)
B\(m=1\)
C\(m=\frac{1}{2}\)
D\(m=-\frac{1}{2}\)
Krok 1. Doprowadzenie równań do jednakowej postaci.
Mnożąc drugie równanie przez \(2\) otrzymamy:
\begin{cases}
2x-y=2 \ ,\
x+my=1 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}
\begin{cases}
2x-y=2 \ ,\
2x+2my=2
\end{cases}
Krok 2. Ustalenie dla jakiego parametru \(m\) równania mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Aby nasz układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań, to pierwsze i drugie równanie muszą być identyczne. Porównując do siebie te dwa równania widzimy, że aby tak się stało to liczby stojące przy igreku muszą być sobie równe. W pierwszym równaniu przed igrekiem mamy jedynie minus, czyli mamy tak jakby \(-1y\). W drugim równaniu mamy wartość \(2my\). Skoro wartości przed igrekami muszą być równe, to:
$$-1=2m \ ,\
m=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 6 · Matura 2018
Na rysunku jest przedstawiona graficzna ilustracja układu dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi \(x\) i \(y\).
Z rysunku możemy odczytać, że jedna prosta jest rosnąca, a druga jest malejąca. To oznacza, że jedna z prostych musi mieć współczynnik kierunkowy \(a\) dodatni, a druga musi mieć ujemny. Ogranicza nam to wybór odpowiedzi do B oraz D. Pozostałe warianty możemy już odrzucić.
Aby ustalić który układ równań jest tym dobrym wystarczy spojrzeć np. na miejsce przecięcia się prostej malejącej z osią igreków. Prosta ta przecina oś igreków dla \(x=3,5\), czyli \(x=\frac{7}{2}\). To oznacza, że współczynnik \(b\) tej prostej musi być równy właśnie \(b=\frac{7}{2}\). Taką sytuację mamy w odpowiedzi B.
Zadanie nr 7 · Matura 2017
Rozważmy treść następującego zadania:
"Obwód prostokąta o bokach długości \(a\) i \(b\) jest równy \(60\). Jeden z boków tego prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Oblicz długości boków tego prostokąta."
Który układ równań opisuje zależności między długościami boków tego prostokąta?
Prostokąt ma dwa równe boki, zatem jego obwód możemy w tej sytuacji opisać równaniem:
$$2a+2b=60 \ ,\
2(a+b)=60$$
Pierwsze równanie więc znamy i od razu możemy ograniczyć się do odpowiedzi A oraz D. Teraz czas na drugie równanie, które odnosi się do sytuacji mówiącej o tym, że jeden z boków prostokąta jest o \(10\) dłuższy od drugiego. Co prawda nie wiemy który z boków ma być dłuższy, ale w grę wchodzą tylko dwie możliwości, czyli \(a+10=b\) lub też \(b+10=a\). To właśnie ta pierwsza możliwość pojawiła się w pierwszej odpowiedzi, zatem poszukiwanym układem równań jest ten z odpowiedzi A.
Zadanie nr 8 · Matura 2017
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że:
A\(b\lt-1\)
B\(b=-1\)
C\(-1\lt b\lt1\)
D\(b\ge1\)
Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy:
$$2x+0y=1+b \ ,\
2x=1+b \ ,\
x=\frac{1+b}{2}$$
Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy:
$$0x+2y=1-b \ ,\
2y=1-b \ ,\
y=\frac{1-b}{2}$$
Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem:
$$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0 \ ,\
1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0 \ ,\
b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.
Zadanie nr 18 · Matura 2016
Układ równań \(\begin{cases}
y=-ax+2a \ ,\
y=\frac{b}{3}x-2
\end{cases}\) nie ma rozwiązań dla:
A\(a=-1\) i \(b=-3\)
B\(a=1\) i \(b=3\)
C\(a=1\) i \(b=-3\)
D\(a=-1\) i \(b=3\)
Z pomocą przyjdzie nam interpretacja graficzna układu równań. Układ równań nie ma rozwiązań, kiedy reprezentują go dwie proste równoległe względem siebie (które jednocześnie się nie pokrywają).
Skoro dwie proste mają być równoległe to ich współczynnik kierunkowy \(a\) znajdujący się przed iksem musi być jednakowy. Zatem:
$$-a=\frac{b}{3} \ ,\
-3a=b \ ,\
\frac{b}{a}=-3$$
Teraz patrzymy na nasze odpowiedzi. Parą liczb która spełnia warunki tej równości może być albo para z trzeciej odpowiedzi, czyli \(a=1\) i \(b=-3\), albo z czwartej, czyli \(a=-1\) i \(b=3\).
Ustaliliśmy też, że muszą to być proste które się ze sobą nie pokrywają, czyli muszą mieć różne współczynniki \(b\). Zatem:
$$2a\neq-2 \ ,\
a\neq-1$$
To z kolei wyklucza nam odpowiedzi gdzie \(a=-1\), zatem jedyną pasującą odpowiedzią jest trzecia, która zawiera parę liczb \(a=1\) i \(b=-3\).
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Para liczb \(x=2\) i \(y=1\) jest rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}
x+ay=5 \ ,\
2x-y=3
\end{cases}\), gdy:
A\(a=-3\)
B\(a=-2\)
C\(a=2\)
D\(a=3\)
W tym zadaniu wystarczy tak naprawdę tylko podstawić do pierwszego równania \(x=2\) oraz \(y=1\) i obliczyć w ten sposób parametr \(a\):
$$x+ay=5 \ ,\
2+1a=5 \ ,\
a=3$$
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Układ równań \(\begin{cases}
x-y=3 \ ,\
2x+0,5y=4
\end{cases}\) opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:
Azbiór pusty
Bdokładnie jeden punkt
Cdokładnie dwa różne punkty
Dzbiór nieskończony
Krok 1. Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\).
Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\).
\begin{cases}
x-y=3 \quad\bigg/-x \ ,\
2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}\begin{cases}
-y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \ ,\
2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}\begin{cases}
y=-3+x \ ,\
4x+y=8 \quad\bigg/-4x
\end{cases}\begin{cases}
y=x-3 \ ,\
y=-4x+8
\end{cases}
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.
Zadanie nr 7 · Egz. 8-kl. 2015
Zmieszano dwa gatunki herbaty, droższą i tańszą, w stosunku \(2:3\). Cena jednego kilograma tej herbacianej mieszanki wynosi \(110zł\). Gdyby te herbaty zmieszano w stosunku \(1:4\), to cena za \(1kg\) tej mieszanki wynosiłaby \(80zł\). Na podstawie podanych informacji zapisano poniższy układ równań:
$$\begin{cases}
\frac{2}{5}x+\frac{3}{5}y=110 \ ,\
\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y=80
\end{cases}$$
Co oznacza \(x\) w tym układzie równań?
ACenę \(1kg\) herbaty droższej
BCenę \(1kg\) herbaty tańszej
CCenę \(5kg\) herbaty droższej
DCenę \(5kg\) herbaty tańszej
Powiedzmy sobie co to tak naprawdę oznacza, że herbaty miesza się np. w stosunku \(2:3\). Zgodnie z treścią zadania oznacza to, że przykładowo na każde \(2\) jednostki droższej herbaty przypadają \(3\) jednostki herbaty tańszej. Gdybyśmy właśnie w takich ilościach zmieszali te herbaty to mielibyśmy w takim przypadku mieszankę \(5\) jednostek herbaty w której udział herbaty droższej byłby równy \(\frac{2}{5}\), a herbaty tańszej \(\frac{3}{5}\).
Analogicznie stosunek \(1:4\) oznacza, że udział herbaty droższej stanowi \(\frac{1}{5}\) mieszanki, a herbaty tańszej aż \(\frac{4}{5}\) mieszanki.
W treści zadania mamy podaną informację, że przykładowo pierwsza mieszanka ma dokładnie \(1kg\) (czyli składa się ona z \(\frac{2}{5}kg\) droższej i \(\frac{3}{5}kg\) tańszej herbaty) i kosztuje \(110zł\). Jeżeli spojrzymy na pierwsze równanie w układzie równań to zauważymy że iksem oznaczona w takim razie cena za \(1kg\) herbaty droższej.
Zadanie nr 7 · Matura 2015
Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań \begin{cases}
x+3y=-5 \ ,\
3x-2y=-4
\end{cases}
Wskaż ten rysunek:
A
B
C
D
Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź.
\begin{cases}
x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \ ,\
3x-2y=-4
\end{cases}\begin{cases}
-3x-9y=15 \ ,\
3x-2y=-4
\end{cases}
Krok 1. Odczytanie z rysunku kluczowych informacji na temat prostych.
Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, czyli na pewno muszą mieć współczynnik kierunkowy \(a\) mniejszy od \(0\). Oprócz tego jesteśmy też w stanie odczytać konkretne wartości współczynnika \(b\), patrząc się na miejsce przecięcia się prostych z osią igreków. Jedna prosta przecina oś igreków dla \(y=1\), czyli współczynnik \(b=1\), natomiast druga prosta przecina oś igreków dla \(y=-2\), czyli ma współczynnik \(b=-2\).
Krok 2. Wskazanie prawidłowego układu równań.
Proste zapisane w układach równań mają postać \(y=ax+b\). Ustaliliśmy już sobie, że współczynnik \(a\) jednej i drugiej prostej musi być ujemny, co sprawia że możemy odrzucić drugą i czwartą odpowiedź.
Wiemy też, że współczynnik \(b\) jednej prostej ma być równy \(1\), a drugiej ma być równy \(-2\) i taką sytuację mamy w pierwszym układzie równań. Możemy więc bez wykonywania specjalnych obliczeń wskazać, że poszukiwaną prawidłową odpowiedzią jest pierwszy układ równań.
Zadanie nr 1 · Matura 2014
Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.
Wskaż ten układ.
A\(\begin{cases}
y=x+1 \ ,\
y=-2x+4
\end{cases}\)
B\(\begin{cases}
y=x-1 \ ,\
y=2x+4
\end{cases}\)
C\(\begin{cases}
y=x-1 \ ,\
y=-2x+4
\end{cases}\)
D\(\begin{cases}
y=x+1 \ ,\
y=2x+4
\end{cases}\)
Wszystkie proste przedstawione są w postaci \(y=ax+b\), a naszym zadaniem jest tak naprawdę odczytanie z rysunku potrzebnych informacji i ustalenie poszczególnych współczynników \(a\) oraz \(b\).
Krok 1. Ustalenie wzoru pierwszej prostej (rosnącej).
Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to pierwsza prosta jest przedstawiona w dwóch wariantach: \(y=x+1\) lub \(y=x-1\). Musimy więc tak naprawdę ustalić współczynnik \(b\) tej prostej i dowiedzieć się, czy jest on równy \(1\), czy \(-1\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu z osią \(Oy\) przetnie się wykres prostej. W naszym przypadku przeciął się on w punkcie \((0;1)\), a więc \(b=1\). To oznacza, że pierwsza prosta ma na pewno postać \(y=x+1\).
Krok 2. Ustalenie wzoru drugiej prostej (malejącej).
Druga prosta jest opisana w odpowiedziach na dwa sposoby: \(y=2x+4\) lub \(y=-2x+4\). To znaczy, że musimy tym razem zweryfikować wartość współczynnika \(a\) i stwierdzić, czy jest on równy \(2\), czy może \(-2\). Skoro prosta jest malejąca, to bez żadnych zbędnych obliczeń jesteśmy w stanie stwierdzić, że prosta jest malejąca, czyli \(a=-2\).
Przy okazji widzimy też, że współczynnik \(b=4\), bo prosta ta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;4)\), więc z całą pewnością wzorem tej prostej jest \(y=-2x+4\).
To oznacza, że poszukiwanym przez nas układem jest ten z pierwszej odpowiedzi.
Zadanie nr 4 · Matura 2013
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}
3x-5y=0 \ ,\
2x-y=14
\end{cases}\) jest para liczb \((x,y)\) takich, że:
A\(x\lt0\) i \(y\lt0\)
B\(x\lt0\) i \(y\gt0\)
C\(x\gt0\) i \(y\lt0\)
D\(x\gt0\) i \(y\gt0\)
Najprostszym sposobem na poznanie odpowiedzi będzie po prostu rozwiązanie tego układu równań. Tu możemy zastosować dowolną metodę, ale najszybciej będzie chyba wymnożyć to drugie równanie przez \(-5\) i zastosować metodę przeciwnych współczynników:
\begin{cases}
3x-5y=0 \ ,\
2x-y=14 \quad\bigg/\cdot(-5)
\end{cases}\begin{cases}
3x-5y=0 \ ,\
-10x+5y=-70 \quad\bigg/\cdot(-5)
\end{cases}
Teraz dodając równanie stronami otrzymamy:
$$-7x=-70 \ ,\
x=10$$
Znając wartość \(x=10\) możemy podstawić ją do jednego z równań, otrzymując w ten sposób wartość \(y\), zatem:
$$3\cdot10-5y=0 \ ,\
30=5y \ ,\
y=6$$
Zarówno \(x\) jak i \(y\) wyszły nam dodatnie, tak więc prawidłowa jest odpowiedź czwarta.
Zadanie nr 4 · Matura 2013
Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}
5x+3y=3 \ ,\
8x-6y=48
\end{cases}\) jest para liczb:
A\(x=-3\) i \(y=4\)
B\(x=-3\) i \(y=6\)
C\(x=3\) i \(y=-4\)
D\(x=9\) i \(y=4\)
Układ ten można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba skorzystać z metody przeciwnych współczynników:
\begin{cases}
5x+3y=3 \quad\bigg/\cdot2 \ ,\
8x-6y=48
\end{cases}\begin{cases}
10x+6y=6 \ ,\
8x-6y=48
\end{cases}
Po dodaniu obu stron równania otrzymamy:
$$18x=54 \ ,\
x=3$$
W zasadzie w tym momencie moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie tego zadania, to \(x=3\) występuje tylko w jednej odpowiedzi. Nie mniej wyznaczmy jeszcze wartość \(y\).
Wartość \(y\) policzymy z dowolnie wybranego równania, podstawiając tam wyliczone przed chwilą \(x=3\), np.:
$$5x+3y=3 \ ,\
5\cdot3+3y=3 \ ,\
15+3y=3 \ ,\
3y=-12 \ ,\
y=-4$$
Zadanie nr 12 · Egz. 8-kl. 2013
Ania ma w skarbonce \(99zł\) w monetach o nominałach \(2zł\) i \(5zł\). Monet dwuzłotowych jest \(2\) razy więcej niż pięciozłotowych. Jeżeli przez \(x\) oznaczymy liczbę monet pięciozłotowych, a przez \(y\) - liczbę monet dwuzłotowych, to podane zależności opisuje układ równań:
A\(\begin{cases}y=2x \ ,\
2x+5y=99
\end{cases}\)
B\(\begin{cases}y=2x \ ,\
5x+2y=99
\end{cases}\)
C\(\begin{cases}x=2y \ ,\
5x+2y=99
\end{cases}\)
D\(\begin{cases}x=2y \ ,\
2x+5y=99
\end{cases}\)
Krok 1. Wyznaczenie pierwszego równania.
Pierwsze równanie w każdym z przypadków jest związane z liczbą monet. Jeżeli monet dwuzłotowych (\(y\)) jest \(2\) razy więcej niż pięciozłotówek (\(x\)), to aby postawić znak równości między liczbą tych poszczególnych monet musielibyśmy zapisać, że \(y=2x\).
Uwaga: Jeżeli nie rozumiesz dlaczego odbywa się to w ten sposób, to można to pokazać na zwykłych liczbach. Załóżmy, że mamy \(10\) monet pięciozłotowych oraz \(5\) monet dwuzłotowych. Aby postawić znak równości między liczbą tych monet musimy te monety których mamy mniej pomnożyć przez \(2\), czyli zapisać że \(10=2\cdot5\).
Krok 2. Wyznaczenie drugiego równania.
Tym razem interesują nas wartości tych monet. \(X\) monet pięciozłotówek jest wartych \(5x\) złotych. \(Y\) monet dwuzłotowych jest wartych \(2y\) złotych. Razem mają te monety być warte \(99\) złotych, zatem zajdzie równanie:
$$5x+2y=99$$
To oznacza, że prawidłowy układ równań znalazł się w drugiej odpowiedzi.
Zadanie nr 3 · Matura 2011
Rozwiązaniem układu równań: \(\begin{cases}
x+3y=5 \ ,\
2x-y=3
\end{cases}\) jest:
A\(\begin{cases}
x=2 \ ,\
y=1
\end{cases}\)
B\(\begin{cases}
x=2 \ ,\
y=-1
\end{cases}\)
C\(\begin{cases}
x=1 \ ,\
y=2
\end{cases}\)
D\(\begin{cases}
x=1 \ ,\
y=-2
\end{cases}\)
To równanie możemy rozwiązać zarówno metodą podstawiania jak i przeciwnych współczynników. Prościej będzie tutaj chyba użyć tego drugiego sposobu, mnożąc najpierw obie strony drugiego równania przez \(3\).
\begin{cases}
x+3y=5 \ ,\
2x-y=3 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
x+3y=5 \ ,\
6x-3y=9
\end{cases}
Dodajemy to równanie stronami i otrzymujemy:
$$7x=14 \ ,\
x=2$$
Podstawiając wartość \(x=2\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(y\):
$$2+3y=5 \ ,\
3y=3 \ ,\
y=1$$
Rozwiązaniem jest więc para liczb: \(x=2\) oraz \(y=1\).
Zadanie nr 4 · Matura 2011
Układ równań \(\begin{cases}
4x+2y=10 \ ,\
6x+ay=15
\end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli:
A\(a=-1\)
B\(a=0\)
C\(a=2\)
D\(a=3\)
Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\):
\begin{cases}
4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \ ,\
6x+ay=15
\end{cases}\begin{cases}
6x+\color{blue}{3y}=15 \ ,\
6x+\color{blue}{ay}=15
\end{cases}
Skoro w pierwszym równaniu pojawiła nam się wartość \(3y\), to parametr \(a\) w drugim równaniu także musi być równy \(3\).
Zadanie nr 11 · Egz. 8-kl. 2010
Maksymalnie załadowane ciężarówki: jedna o nośności \(8t\), a druga \(12t\) przewiozły \(520t\) węgla, wykonując w sumie \(60\) kursów. Ułóż układ równań, który pozwoli obliczyć, ile kursów wykonała każda z ciężarówek.
Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Aby zbudować układ równań musimy sobie wprowadzić proste oznaczenia:
\(x\) - liczba kursów małych ciężarówek
\(y\) - liczba kursów dużych ciężarówek
\(8\cdot x\) - liczba ton które przewiozą łącznie wszystkie duże ciężarówki
\(12\cdot y\) - liczba ton które przewiozą łącznie wszystkie duże ciężarówki
Krok 2. Zbudowanie układu równań.
Łącznie kursów ma być \(60\), więc pierwsze równanie będzie następujące:
$$x+y=60$$
Drugie równanie zbudujemy wykorzystując informację o ilości przewiezionych ton węgla. Łącznie przewieziono \(520\) ton, zatem zgodnie z naszymi oznaczeniami:
$$8x+12y=520$$
Nasz układ równań ma więc następującą postać:
$$\begin{cases}
x+y=60 \ ,\
8x+12y=520
\end{cases}$$
Zadanie nr 10 · Egz. 8-kl. 2007
Rodzice Jacka kupili \(36\) butelek wody mineralnej o pojemnościach \(0,5\) litra i \(1,5\) litra. W sumie zakupili \(42\) litry wody. Przyjmij, że \(x\) oznacza liczbę butelek o pojemności \(0,5\) litra, \(y\) - liczbę butelek o pojemności \(1,5\) litra. Który układ równań umożliwi obliczenie, ile zakupiono mniejszych butelek wody mineralnej, a ile większych?
Krok 1. Ustalenie pierwszego równania.
Niech naszym pierwszym równaniem będzie to związane z ilością butelek. Z treści zadania wiemy, że butelek małych (\(x\)) oraz dużych (\(y\)) ma być łącznie \(36\), zatem pierwszym równaniem będzie na pewno:
$$x+y=36$$
W tym momencie możemy odrzucić odpowiedź A oraz D. Odpowiedzi B nie odrzucamy, bo tak naprawdę to pierwsze równanie \(x=36-y\) można przekształcić właśnie do postaci \(x+y=36\).
Krok 2. Ustalenie drugiego równania.
Drugie równanie będzie związane z pojemnością butelek. Z małych butelek mamy \(0,5\cdot x\) litrów wody. Z dużych butelek mamy \(1,5\cdot y\) litrów wody. Łącznie tych litrów ma być \(42\), zatem ułożymy równanie:
$$0,5x+1,5y=42$$
Takie równanie znalazło się właśnie w odpowiedzi drugiej i dlatego to drugi układ równań jest tym przez nas poszukiwanym.
Zadanie nr 16 · Matura
Dane jest równanie \(3x+4y-5=0\). Z którym z poniższych równań tworzy ono układ sprzeczny?
A\(6x+8y-10=0\)
B\(4x-3y+5=0\)
C\(9x+12y-10=0\)
D\(5x+4y-3=0\)
Układ jest sprzeczny, kiedy po rozwiązaniu układu otrzymamy nieprawdziwą równość np. \(1=2\). Równanie z treści zadania stworzy sprzeczny układ jedynie z trzecim równaniem:
\begin{cases}
3x+4y-5=0 \quad\bigg/\cdot3 \ ,\
9x+12y-10=0
\end{cases}\begin{cases}
9x+12y-15=0 \ ,\
9x+12y-10=0
\end{cases}
Warto też dodać, że nasze równanie stworzyłoby z równaniem z pierwszej odpowiedzi układ tożsamościowy, czyli taki w którym rozwiązaniem będzie każda liczba rzeczywista.
Zadanie nr 23 · Matura
Rozwiąż układ równań
\begin{cases}
x^2+y^2-4x+4y-17=0 \ ,\
2x-y-1=0
\end{cases}
Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
Tym razem mamy układ równań, w którym jedno z równań jest równaniem kwadratowym. To generalnie nie zmienia istoty sprawy i rozwiązujemy ten układ w standardowy sposób. W tym przypadku, najprościej byłoby skorzystać z metody podstawiania, przekształcając odpowiednio drugie równanie, zatem:
\begin{cases}
x^2+y^2-4x+4y-17=0 \ ,\
y=2x-1
\end{cases}
Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$x^2+(2x-1)^2-4x+4\cdot(2x-1)-17=0 \ ,\
x^2+4x^2-4x+1-4x+8x-4-17=0 \ ,\
5x^2-20=0 \quad\bigg/:5 \ ,\
x^2-4=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego i zakończenie rozwiązywania układu równań.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. To równanie jest na tyle proste, że damy radę obliczyć je bez wyznaczania delty, zatem:
$$x^2=4 \ ,\
x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Jak to standardowo bywa w równaniach kwadratowych, otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa te rozwiązania są jak najbardziej poprawne. Teraz musimy wyznaczyć wartość \(y\), korzystając np. z równania \(y=2x-1\). Z racji tego, iż mamy dwie różne wartości \(x\), to musimy sprawdzić jaki wynik osiągniemy gdy podstawimy \(x=2\) i jaki, gdy podstawimy \(x=-2\), zatem:
Gdy \(x=2\), to:
$$y=2\cdot2-1 \ ,\
y=4-1 \ ,\
y=3$$
Gdy \(x=-2\), to:
$$y=2\cdot(-2)-1 \ ,\
y=-4-1 \ ,\
y=-5$$
To oznacza, że rozwiązaniem tego układu równań są dwie pary liczb: \(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x=-2 \\ y=-5\end{cases}\)
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
