Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Podzielność przez $6$ to podzielność przez $2$ i przez $3$ jednocześnie.
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie samą. Liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona.
Pierwsze liczby pierwsze: $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze, a następnie:
$$\mathrm{NWD}\ \text{— iloczyn wspólnych czynników w } \textbf{najniższych}\ \text{potęgach}$$
$$\mathrm{NWW}\ \text{— iloczyn wszystkich czynników w } \textbf{najwyższych}\ \text{potęgach}$$
Przykład: $24=2^3\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$, więc $\mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$, $\mathrm{NWW}=2^3\cdot3^2=72$.
Zawsze zachodzi: $\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
NWD służy do skracania ułamków, NWW — do sprowadzania do wspólnego mianownika.
Do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8=2^3$ i $9=3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD}=1$ — liczby są względnie pierwsze.
Przykład: $171$ dzieli się przez $3$, bo $1+7+1=9$. Nie trzeba wykonywać dzielenia.
Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Podobnie przez $15$ — gdy przez $3$ i przez $5$. Warunek musi zachodzić dla obu czynników naraz.
Pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie. Złożona ma ich więcej.
Liczby pierwsze do $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
Dwa fakty warte zapamiętania: liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do jedynki:
$$60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7$$
Z rozkładów bierzemy czynniki wspólne w najniższych potęgach.
$$24=2^3\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$
Bierzemy wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.
$$6=2\cdot3,\quad 8=2^3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$
$$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Dla $30$ i $45$: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔ Pozwala szybko policzyć NWW, gdy znamy już NWD.
Gdy $\mathrm{NWD}=1$, liczby nie mają wspólnego czynnika — jak $15$ i $28$. Ich NWW jest wtedy równe iloczynowi.
Nie myl NWD z NWW — pierwsze jest zawsze mniejsze lub równe obu liczbom, drugie zawsze większe lub równe. Jeśli wynik nie mieści się w tych granicach, gdzieś jest błąd.
Co robi: pozwala szybko sprawdzić podzielność bez wykonywania dzielenia.
Elementy: dla 2, 5, 10 patrzymy na ostatnią cyfrę; dla 3 i 9 sumujemy wszystkie cyfry; dla 4 wystarczy liczba z dwóch ostatnich cyfr.
Przykład: czy $1{\,}476$ dzieli się przez 9? Suma cyfr: $1+4+7+6 = 18$, a $18$ dzieli się przez $9$ — tak. Czy przez 4? Dwie ostatnie cyfry to $76$, a $76 : 4 = 19$ — tak.
Pułapka: podzielność przez 6 to podzielność przez 2 i przez 3 jednocześnie — nie wystarczy jedna z nich.
Czy liczba $1\,476$ dzieli się przez $9$?
Która liczba dzieli się przez $3$?
Sprawdź, przez które z liczb $2$, $3$, $5$, $9$, $10$ dzieli się liczba $2\,340$.
Wypisz wszystkie dzielniki liczby $18$.
Która z liczb dzieli się przez $4$?
Rozłóż liczbę $60$ na czynniki pierwsze.
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby $60$ i $84$.
Która liczba jest pierwsza?
Korzystając z rozkładów z poprzedniego zadania, oblicz $\mathrm{NWD}(60,84)$ oraz $\mathrm{NWW}(60,84)$.
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $7$.
Która liczba jest pierwsza?
Która liczba dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $5$?
Ania ma $24$ cukierki, a Bartek $36$. Chcą je rozdzielić na jednakowe paczki tak, by paczek było jak najmniej, a cukierki się nie mieszały. Ile cukierków będzie w paczce?
Oblicz NWD$(24,\,36)$.
Jeden autobus odjeżdża co $12$ minut, drugi co $18$ minut. Odjechały razem o godzinie $8:00$. O której odjadą znowu jednocześnie?
Oblicz NWW$(6,\,8)$.
Liczba dzieli się przez $6$ wtedy, gdy:
Liczba dzieli się przez $9$, gdy:
Ile dzielników ma liczba $12$? Wypisz je wszystkie.
Ile dzielników ma liczba $36$? Wypisz je.
Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od $30$.
NWD$(15,\,28)$ wynosi:
Jeśli $\mathrm{NWD}(a,b)=1$, to liczby $a$ i $b$ nazywamy:
Dwa autobusy odjeżdżają z pętli o $8{:}00$. Pierwszy kursuje co $12$ minut, drugi co $18$ minut. O której godzinie znów odjadą razem?
Zastąp gwiazdkę cyfrą tak, aby liczba $23{*}$ dzieliła się przez $3$. Podaj wszystkie możliwości.
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby $84$ i $126$, a następnie oblicz ich NWD.
Oblicz $\mathrm{NWD}(18,24,30)$.
Ile liczb pierwszych jest mniejszych od $20$?
Prostokątną podłogę o wymiarach $180$ cm na $240$ cm chcemy wyłożyć jednakowymi kwadratowymi płytkami bez docinania. Jaki największy bok może mieć płytka i ile ich potrzeba?
Jaką cyfrę należy wstawić w miejsce gwiazdki w liczbie $23{*}$, aby dzieliła się przez $9$?
Ile wynosi $\mathrm{NWW}(4,6)$?
Która liczba jest złożona?
Uzasadnij, że liczba $2\,345$ nie dzieli się przez $9$, choć dzieli się przez $5$.
Mamy $48$ cukierków i $60$ ciastek. Chcemy zapakować je do jednakowych paczek tak, aby w każdej było tyle samo cukierków i tyle samo ciastek, i żeby nic nie zostało. Ile najwięcej paczek można zrobić i co znajdzie się w każdej?
Liczba ma rozkład $2^3\cdot3\cdot5$. Oblicz tę liczbę i sprawdź, przez które z liczb $2,3,4,5,6,9,10$ się dzieli.
Oblicz NWD$(30,\,45)$ i NWW$(30,\,45)$, a następnie sprawdź, czy iloczyn NWD i NWW równa się iloczynowi tych liczb.
Trzy dzwony biją odpowiednio co $6$, $8$ i $12$ sekund. Zabrzmiały razem. Po ilu sekundach zabrzmią razem ponownie?
Ogrodnik sadzi drzewa co $6$ metrów, a lampy ustawia co $8$ metrów, zaczynając od tego samego punktu. Po ilu metrach drzewo i lampa znajdą się w tym samym miejscu? Ile takich miejsc będzie na odcinku $100$ metrów?
Uczniowie klasy mogą ustawić się w rzędach po $4$, po $5$ i po $6$ osób, za każdym razem bez reszty. Klasa liczy mniej niż $70$ osób. Ilu jest uczniów?
Liczba $n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, a przy dzieleniu przez $6$ resztę $5$. Znajdź najmniejszą taką liczbę naturalną większą od zera.
Dane są liczby $91,92,95,97$. Która z nich przy dzieleniu przez $7$ daje resztę $1$?
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.