Największy wspólny dzielnik (NWD)
Klasa 5 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 1
Cechy podzielności
- przez 2 — ostatnia cyfra parzysta
- przez 3 — suma cyfr dzieli się przez $3$
- przez 4 — dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $4$
- przez 5 — ostatnia cyfra to $0$ lub $5$
- przez 9 — suma cyfr dzieli się przez $9$
- przez 10 — ostatnia cyfra to $0$
Przykład: $171$ dzieli się przez $3$, bo $1+7+1=9$. Nie trzeba wykonywać dzielenia.
Podzielność przez liczbę złożoną
Liczba dzieli się przez $6$, gdy dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$. Podobnie przez $15$ — gdy przez $3$ i przez $5$. Warunek musi zachodzić dla obu czynników naraz.
Liczby pierwsze i złożone
Pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i siebie. Złożona ma ich więcej.
Liczby pierwsze do $20$: $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
Dwa fakty warte zapamiętania: liczba $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona (ma tylko jeden dzielnik), a $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.
Rozkład na czynniki pierwsze
Dzielimy kolejno przez najmniejsze liczby pierwsze, aż dojdziemy do jedynki:
$$60=2^2\cdot3\cdot5,\qquad 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 126=2\cdot3^2\cdot7$$
NWD — największy wspólny dzielnik
Z rozkładów bierzemy czynniki wspólne w najniższych potęgach.
$$24=2^3\cdot3,\quad 36=2^2\cdot3^2 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWD}=2^2\cdot3=12$$
NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność
Bierzemy wszystkie czynniki w najwyższych potęgach.
$$6=2\cdot3,\quad 8=2^3 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{NWW}=2^3\cdot3=24$$
Kiedy NWD, a kiedy NWW
- NWD — gdy coś dzielimy na równe części: paczki, grupy, kawałki materiału
- NWW — gdy coś powtarza się cyklicznie i szukamy spotkania: autobusy, drzewa i lampy, obiegi
Przydatna zależność
$$\mathrm{NWD}(a,b)\cdot\mathrm{NWW}(a,b)=a\cdot b$$
Dla $30$ i $45$: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔ Pozwala szybko policzyć NWW, gdy znamy już NWD.
Liczby względnie pierwsze
Gdy $\mathrm{NWD}=1$, liczby nie mają wspólnego czynnika — jak $15$ i $28$. Ich NWW jest wtedy równe iloczynowi.
Na co uważać
Nie myl NWD z NWW — pierwsze jest zawsze mniejsze lub równe obu liczbom, drugie zawsze większe lub równe. Jeśli wynik nie mieści się w tych granicach, gdzieś jest błąd.
∑Wzory 2
Co robi: wyznacza największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb — potrzebne przy skracaniu ułamków (NWD) i sprowadzaniu do wspólnego mianownika (NWW).
Elementy: $p_i$ — czynniki pierwsze, $\alpha_i,\beta_i$ — ich wykładniki w rozkładach liczb $a$ i $b$. Do NWD bierzemy niższe potęgi wspólnych czynników, do NWW — wyższe potęgi wszystkich czynników.
Przykład: $24 = 2^3 \cdot 3$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. Wtedy $\mathrm{NWD} = 2^2 \cdot 3 = 12$, $\mathrm{NWW} = 2^3 \cdot 3^2 = 72$. Sprawdzenie: $12 \cdot 72 = 864 = 24 \cdot 36$. ✔
Pułapka: do NWD wchodzą tylko czynniki wspólne. Dla $8 = 2^3$ i $9 = 3^2$ nie ma wspólnych czynników, więc $\mathrm{NWD} = 1$ (liczby względnie pierwsze), a $\mathrm{NWW} = 72$.
Co robi: wiąże największy wspólny dzielnik z najmniejszą wspólną wielokrotnością — znając jedno, natychmiast liczymy drugie.
Jak wyznaczać z rozkładów:
- NWD — czynniki wspólne w najniższych potęgach
- NWW — wszystkie czynniki w najwyższych potęgach
Przykład: $30=2\cdot3\cdot5$ oraz $45=3^2\cdot5$. Stąd $\mathrm{NWD}=3\cdot5=15$, a $\mathrm{NWW}=2\cdot3^2\cdot5=90$. Sprawdzenie: $15\cdot90=1350=30\cdot45$ ✔
Kiedy czego użyć: NWD — gdy coś dzielimy na równe paczki lub grupy. NWW — gdy szukamy momentu spotkania cykli: autobusy odjeżdżające co $12$ i $18$ minut spotkają się po $36$ minutach.
Liczby względnie pierwsze: gdy $\mathrm{NWD}=1$, rozkłady nie mają wspólnego czynnika, a NWW równa się iloczynowi.
Pułapka: mylenie obu pojęć. NWD jest zawsze nie większy od każdej z liczb, a NWW nie mniejszy. Wynik poza tymi granicami to sygnał błędu.
🧩Quizy 1
✍Zadania 21
Która liczba dzieli się przez $3$?
Wypisz wszystkie dzielniki liczby $18$.
Rozłóż liczbę $60$ na czynniki pierwsze.
Która liczba jest pierwsza?
Wypisz pięć pierwszych wielokrotności liczby $7$.
Która liczba dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $5$?
Oblicz NWD$(24,\,36)$.
Oblicz NWW$(6,\,8)$.
Liczba dzieli się przez $9$, gdy:
Ile dzielników ma liczba $36$? Wypisz je.
NWD$(15,\,28)$ wynosi:
Dwa autobusy odjeżdżają z pętli o $8{:}00$. Pierwszy kursuje co $12$ minut, drugi co $18$ minut. O której godzinie znów odjadą razem?
Rozłóż na czynniki pierwsze liczby $84$ i $126$, a następnie oblicz ich NWD.
Ile liczb pierwszych jest mniejszych od $20$?
Jaką cyfrę należy wstawić w miejsce gwiazdki w liczbie $23{*}$, aby dzieliła się przez $9$?
Która liczba jest złożona?
Mamy $48$ cukierków i $60$ ciastek. Chcemy zapakować je do jednakowych paczek tak, aby w każdej było tyle samo cukierków i tyle samo ciastek, i żeby nic nie zostało. Ile najwięcej paczek można zrobić i co znajdzie się w każdej?
Oblicz NWD$(30,\,45)$ i NWW$(30,\,45)$, a następnie sprawdź, czy iloczyn NWD i NWW równa się iloczynowi tych liczb.
Ogrodnik sadzi drzewa co $6$ metrów, a lampy ustawia co $8$ metrów, zaczynając od tego samego punktu. Po ilu metrach drzewo i lampa znajdą się w tym samym miejscu? Ile takich miejsc będzie na odcinku $100$ metrów?
Liczba $n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$, a przy dzieleniu przez $6$ resztę $5$. Znajdź najmniejszą taką liczbę naturalną większą od zera.
Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\). Zapisz obliczenia.