Pole czworokąta

Pole prostokąta to $a\cdot b$.

Odpowiedź: B.

$$P=\tfrac{4+6}{2}\cdot2=10$$

Odpowiedź: $10$.

1. Druga przyprostokątna: $\sqrt{169-25}=12$.
2. $P=\tfrac12\cdot5\cdot12=30$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — brak $\tfrac12$; C — pomnożono przez przeciwprostokątną.

$$P=\tfrac{6\cdot8}{2}=24$$

Odpowiedź: C.

1. $P=\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=\dfrac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to wysokość trójkąta.

$$P=7^2=49$$

Odpowiedź: $49$.

1. $P=\tfrac12\cdot8\cdot5\cdot\sin30^\circ=20\cdot\tfrac12=10$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — użyty $\sin60^\circ$ zamiast $\sin30^\circ$.

$$P=a\cdot h \Rightarrow 20=5h \Rightarrow h=4$$

Odpowiedź: $4$.

1. $P=a^2\sin\alpha=16\cdot\tfrac12=8$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pole kwadratu o boku $4$.

$$30=\tfrac{4+8}{2}\cdot h=6h \Rightarrow h=5$$

Odpowiedź: $5$.

1. $P=ab\sin\alpha=30\cdot\sin120^\circ=30\cdot\tfrac{\sqrt3}2=15\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — użyte $\cos60^\circ$; C — pominięte $\tfrac{\sqrt3}{2}$ jako $\sqrt3$.

$54$.

Odpowiedź: $54$.

1. $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\tfrac12=89-40=49$, $c=7$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — policzone dla $120^\circ$ ($\cos=-\tfrac12$); D — Pitagoras, choć kąt nie jest prosty.

$\tfrac{ef}{2}$.

Odpowiedź: C.

1. Tw. sinusów: $\dfrac{|BC|}{\sin\angle A}=2R \Rightarrow \dfrac{10}{\tfrac12}=20=2R$, więc $R=10$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to $2R$, czyli średnica.

$\tfrac{80}{2}=40$.

Odpowiedź: $40$.

1. 1. $36+64=100$ — z twierdzenia odwrotnego do tw. Pitagorasa trójkąt jest prostokątny — prawda.
2. 2. $P=\tfrac12\cdot6\cdot8=24\ne48$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

$28$.

Odpowiedź: $28$.

1. $R=\dfrac{a\sqrt3}{3} \Rightarrow a=\dfrac{3R}{\sqrt3}=\sqrt3R=\sqrt3\cdot4\sqrt3=12$.

Odpowiedź: $12$

$\tfrac{5+9}{2}\cdot4=28$.

Odpowiedź: $28$.

1. Tw. cosinusów: $|BC|^2=36+100-2\cdot6\cdot10\cdot\cos120^\circ=136+60=196$, więc $|BC|=14$.
2. Pole: $P=\tfrac12\cdot6\cdot10\cdot\sin120^\circ=30\cdot\tfrac{\sqrt3}2=15\sqrt3$.

Odpowiedź: $|BC|=14$, $P=15\sqrt3$

$P=\tfrac{d^2}{2}$.

Odpowiedź: B.

$48:6=8$.

Odpowiedź: $8$.

$81$.

Odpowiedź: $81$.

$\tfrac{6f}{2}=24 \Rightarrow f=8$.

Odpowiedź: $8$.

$\tfrac{14}{2}h=35 \Rightarrow 7h=35 \Rightarrow h=5$.

Odpowiedź: $5$.

$a\sqrt2=5\sqrt2$.

Odpowiedź: A.

$\tfrac{36}{2}=18$.

Odpowiedź: $18$.

$2(2x+2)=20 \Rightarrow x=4$; boki $4,6$; pole $24$.

Odpowiedź: $24$.

$\tfrac{20+30}{2}\cdot10=250$ m².

Odpowiedź: $250$ m².

Oznaczmy $\angle DAB=\alpha$. Ponieważ $AC$ jest dwusieczną, to $\angle DAC=\angle CAB=\dfrac{\alpha}{2}$.

Z równoległości podstaw ($DC\parallel AB$) kąty naprzemianległe są równe: $\angle DCA=\angle CAB=\dfrac{\alpha}{2}$.

W trójkącie $ACD$ mamy $\angle DAC=\angle DCA=\dfrac{\alpha}{2}$, więc jest on równoramienny i $|CD|=|AD|$ (ramię trapezu). W trapezie równoramiennym $|AD|=|BC|$, zatem $|CD|=|AD|=|BC|$.

Niech $|CD|=a$; wtedy $|AB|=2a$ oraz ramię $|AD|=a$. Rzut ramienia $AD$ na podstawę $AB$ wynosi $\dfrac{|AB|-|CD|}{2}=\dfrac{2a-a}{2}=\dfrac{a}{2}$.

Zatem $\cos\alpha=\dfrac{a/2}{a}=\dfrac{1}{2}$, skąd $\alpha=60^{\circ}$. $\square$

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole równoległoboku z wykorzystaniem funkcji sinus, czyli:
$$P=a\cdot b\cdot sin\alpha$$

W związku z tym za chwilę będziemy musieli podstawić do wzoru wartość \(sin120°\). W tablicach trygonometrycznych mamy kąty tylko i wyłącznie do \(90°\). Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Pasującym wzorem byłby np.:
$$sin(90°+\alpha)=cos\alpha$$

Jeśli podstawimy \(\alpha=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30° \\
sin120°=cos30°$$

Z tablic możemy teraz odczytać, że \(cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), czyli tym samym taka też jest wartość naszego \(sin120°\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.
Podstawiając dane z treści zadania do wzoru na pole równoległoboku z wykorzystaniem funkcji sinus, otrzymamy:
$$P=3\cdot4\cdot sin120° \\
P=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=6\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin150°\).
Za chwilę korzystając ze wzoru na pole rombu będziemy potrzebować wartości \(sin150°\), zatem obliczmy ją już teraz. Jest to kluczowa trudność w tym zadaniu, bo w tablicach trygonometrycznych znajdziemy wartości funkcji dla katów od \(0°\) do \(90°\). Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych możemy obliczyć korzystając z jednego ze wzorów redukcyjnych. W naszym przypadku świetnie sprawdzi się wzór \(sin(90°+\alpha)=cos\alpha\). Korzystając z niego, możemy zapisać, że:
$$sin150°=sin(90°+60°)=cos60°$$

Z tablic odczytujemy teraz, że \(cos60°=\frac{1}{2}\), zatem tym samym \(sin150°=\frac{1}{2}\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni rombu.
W tym zadaniu możemy skorzystać ze "wzoru na pole rombu z sinusem", czyli:
$$P=a^2\cdot sin\alpha$$

Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$P=(6\sqrt{2})^2\cdot sin150° \\
P=36\cdot2\cdot\frac{1}{2} \\
P=36$$

Krok 3. Obliczenie iloczynu długości przekątnych rombu.
Standardowo pole rombu wyliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$$

Interesuje nas poznanie wartości iloczynu \(e\cdot f\), zatem podstawiając wyliczone przed chwilą \(P=36\), możemy zapisać, że:
$$36=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\
e\cdot f=72$$

Krok 1. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został narysowany w treści zadania. Jest to klasyczny trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności tego trójkąta wynika, że krótsza przyprostokątna (którą w tym przypadku jest wysokość ostrosłupa) będzie dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Tym samym możemy zapisać, że:
$$H=6:2 \\
H=3$$

Do tego samego wyniku dojdziemy korzystając z funkcji trygonometrycznej - w tej sytuacji sprawdzi się sinus:
$$sin30°=\frac{H}{6} \\
\frac{1}{2}=\frac{H}{6} \\
H=3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy jeszcze raz na nasz trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności tego trójkąta wynika to, że jego dolna (dłuższa) przyprostokątna będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, czyli moglibyśmy zapisać, że ta dolna przyprostokątna ma długość \(x=3\sqrt{3}\).

W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (wiemy to, ponieważ ostrosłup jest prawidłowy czworokątny). Ta dolna przyprostokątna naszego analizowanego przed chwilą trójkąta będzie więc połową długości boku kwadratu. To oznacza, że w takim razie:
$$a=2\cdot3\sqrt{3} \\
a=6\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy oraz pola powierzchni bocznej.
W podstawie naszej bryły mamy kwadrat o boku \(a=6\sqrt{3}\), zatem pole powierzchni podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(6\sqrt{3})^2 \\
P_{p}=36\cdot3 \\
P_{p}=108$$

Ściany boczne naszej bryły to trójkąty o podstawie \(a=6\sqrt{3}\) oraz wysokości \(h=6\). Mamy cztery takie ściany, więc pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}\cdot6 \\
P_{b}=72\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot108\cdot3 \\
V=108$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej, możemy zapisać, że:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=108+72\sqrt{3}$$

Przekątna rombu jest dwusieczną kąta, więc $\angle DAB=60^{\circ}$. W trójkącie równoramiennym $ABC$ ($AB=BC=a$) o podstawie $AC=12$ i kątach przy podstawie $30^{\circ}$ mamy $AC=2a\cos 30^{\circ}$, stąd $12=2a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$, więc $a=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$.

Pole rombu: $P=a^{2}\sin(\angle DAB)=48\cdot\sin 60^{\circ}=48\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$.

Odpowiedź: C.