Przekroje graniastosłupów i ostrosłupów

Przekątna sześcianu to $a\sqrt3$:

$$d=4\sqrt3\approx6{,}93$$

Pułapka: $4\sqrt2$ to przekątna ściany.

Odpowiedź: B. $4\sqrt3$.

Przekrój osiowy walca to prostokąt o wymiarach: średnica podstawy na wysokość.

$$P=2r\cdot H=6\cdot10=60$$

Częsty błąd: użycie promienia zamiast średnicy — dałoby $30$.

Odpowiedź: $60$.

1. $V=\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{216\sqrt2}{12}=18\sqrt2$.

Odpowiedź: $18\sqrt2$

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny: podstawą jest średnica koła podstawy, a ramionami — dwie tworzące.

Szczególny przypadek: gdy tworząca równa się średnicy, przekrój jest trójkątem równobocznym — mówimy wtedy o stożku o przekroju równobocznym.

Odpowiedź: trójkąt równoramienny.

1. $R=\frac{6\sqrt3}3=2\sqrt3$; krawędź boczna $\sqrt{16+12}=\sqrt{28}=2\sqrt7$.

Odpowiedź: $2\sqrt7$

Kula opisana przechodzi przez wszystkie wierzchołki, więc jej średnica to przekątna sześcianu:

$$2R=a\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad R=\frac{a\sqrt3}{2}$$

Dla porównania: kula wpisana dotyka ścian, więc jej promień to $\frac{a}{2}$ — odpowiedź A.

Odpowiedź: C. $\frac{a\sqrt3}{2}$.

1. Połowa przekątnej podstawy: $3\sqrt2$; $H=\sqrt{25-18}=\sqrt7$; $V=\frac13\cdot36\cdot\sqrt7=12\sqrt7$.
2. Wysokość ściany: $\sqrt{25-9}=4$; $P_b=4\cdot\frac12\cdot6\cdot4=48$.

Odpowiedź: $V=12\sqrt7$, $P_b=48$

Kula wpisana dotyka wszystkich sześciu ścian, więc jej średnica jest równa krawędzi:

$$2r=10 \quad\Rightarrow\quad r=5$$

Odpowiedź: $5$.

1. $R=2\sqrt3$, $H=R\operatorname{tg}60^\circ=6$. $P_p=9\sqrt3$, $V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot6=18\sqrt3$.
2. $r=\sqrt3$; wysokość ściany bocznej $h_b=\sqrt{36+3}=\sqrt{39}$.
3. $\cos\beta=\frac{r}{h_b}=\frac{\sqrt3}{\sqrt{39}}=\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}$.

Odpowiedź: $V=18\sqrt3$, $\cos\beta=\tfrac{\sqrt{13}}{13}$

Taki przekrój ma boki: dwie krawędzie sześcianu (po $a$) i dwie przekątne ścian (po $a\sqrt2$).

To prostokąt o wymiarach $a$ na $a\sqrt2$ — nie kwadrat, bo boki mają różną długość.

Ciekawostka: przekrój sześciokątny też jest możliwy — powstaje, gdy płaszczyzna przechodzi przez środki sześciu krawędzi.

Odpowiedź: A. prostokątem.

1. Rzut $AG$ na podstawę to $AC=6\sqrt2$; $|AG|=6\sqrt3$; $\cos\alpha=\frac{6\sqrt2}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt6}3$.
2. $AC$, $CH$, $AH$ to przekątne ścian — trójkąt równoboczny o boku $6\sqrt2$.
3. Pole: $\frac{72\sqrt3}4=18\sqrt3$.

Odpowiedź: $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt6}3$, pole $18\sqrt3$

Krok 1 — wymiary przekroju. Jeden bok to krawędź, drugi — przekątna ściany:

$$6 \quad\text{oraz}\quad 6\sqrt2$$

Krok 2 — pole prostokąta:

$$P=6\cdot6\sqrt2=36\sqrt2\approx50{,}9$$

Odpowiedź: $36\sqrt2$.

1. Ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Wysokości ścian $SBC$ i $SDC$ opuszczone z $B$ i $D$ na $SC$ mają spodek w środku $SC$ i długość $\frac{a\sqrt3}2$.
2. $|BD|=a\sqrt2$. $\cos\varphi=\frac{\frac34a^2+\frac34a^2-2a^2}{2\cdot\frac34a^2}=\frac{-\frac12a^2}{\frac32a^2}=-\frac13$.

Odpowiedź: $-\tfrac13$

Krok 1 — związek. Wierzchołki sześcianu leżą na kuli, więc przekątna sześcianu jest średnicą:

$$a\sqrt3=2R$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$:

$$a=\frac{2R}{\sqrt3}=\frac{2R\sqrt3}{3}$$

Sprawdzenie dla $R=\frac{\sqrt3}{2}$: wychodzi $a=1$, a przekątna $\sqrt3=2R$ ✔

Odpowiedź: $a=\frac{2R\sqrt3}{3}$.

1. $r=\frac{a\sqrt3}6 \Rightarrow a=\frac{6r}{\sqrt3}=4\sqrt3$; $P_p=\frac{48\sqrt3}{4}=12\sqrt3$.
2. $H=r\operatorname{tg}60^\circ=2\sqrt3$, $h_b=\frac{r}{\cos60^\circ}=4$.
3. $V=\frac13\cdot12\sqrt3\cdot2\sqrt3=24$; $P_b=3\cdot\frac12\cdot4\sqrt3\cdot4=24\sqrt3$.

Odpowiedź: $V=24$, $P_b=24\sqrt3$

Krok 1 — promień podstawy. Okrąg opisany na kwadracie o boku $a$ ma średnicę równą przekątnej kwadratu:

$$2r=a\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad r=\frac{a\sqrt2}{2}$$

Krok 2 — objętość (wysokość walca to $a$):

$$V=\pi r^2 H=\pi\cdot\frac{2a^2}{4}\cdot a=\frac{\pi a^3}{2}$$

Odpowiedź: D. $\frac{\pi a^3}{2}$.

1. Środek kuli leży na osi stożka w odległości $8-5=3$ od podstawy.
2. $r^2=5^2-3^2=16$, $r=4$.
3. $V=\frac13\pi\cdot16\cdot8=\frac{128\pi}3$.

Odpowiedź: $\tfrac{128\pi}{3}$

Krok 1 — tworząca z twierdzenia Pitagorasa:

$$l=\sqrt{r^2+H^2}=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — przekrój osiowy to trójkąt o podstawie $2r=12$ i wysokości $8$:

$$P=\frac{12\cdot8}{2}=48$$

Odpowiedź: tworząca $10$, pole przekroju $48$.

1. Przekrój to trójkąt równoramienny $BDG$: $|BD|=4\sqrt2$.
2. $O$ — środek $BD$; $|OC|=2\sqrt2$, więc $|OG|=\sqrt{8+36}=2\sqrt{11}$ i $OG\perp BD$.
3. Pole: $\frac12\cdot4\sqrt2\cdot2\sqrt{11}=4\sqrt{22}$.
4. $\cos\alpha=\frac{|OC|}{|OG|}=\frac{2\sqrt2}{2\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{22}}{11}$.

Odpowiedź: pole $4\sqrt{22}$, $\cos\alpha=\tfrac{\sqrt{22}}{11}$

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku $2:1$, licząc od wierzchołka:

$$h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad R=\frac23 h=\frac{a\sqrt3}{3}$$

Promień okręgu wpisanego to pozostała trzecia część: $r=\frac{a\sqrt3}{6}$ — czyli dokładnie połowa $R$.

Odpowiedź: B. $\frac{a\sqrt3}{3}$.

1. Równe krawędzie boczne ⇒ spodek wysokości to środek okręgu opisanego na podstawie — środek przeciwprostokątnej $AB$; $R=5$.
2. $H=\sqrt{169-25}=12$.
3. $V=\frac13\cdot24\cdot12=96$.

Odpowiedź: $96$

Krok 1 — promień kuli:

$$R=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3$$

Krok 2 — objętość:

$$V=\frac43\pi R^3=\frac43\pi\left(\sqrt3\right)^3=\frac43\pi\cdot3\sqrt3=4\sqrt3\,\pi$$

Przybliżenie: $4\sqrt3\pi\approx21{,}8$.

Odpowiedź: $4\sqrt3\,\pi$.

Krok 1 — przekątna podstawy (kwadrat o boku $4$):

$$d=4\sqrt2$$

Krok 2 — kształt przekroju. To prostokąt o wymiarach: przekątna podstawy na wysokość bryły.

Krok 3 — pole:

$$P=4\sqrt2\cdot6=24\sqrt2\approx33{,}9$$

Odpowiedź: $24\sqrt2$.

Krok 1 — wysokość walca. Kula wpisana dotyka obu podstaw, więc $H=2r$.

Krok 2 — objętości:

$$V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3$$

$$V_{\text{kuli}}=\frac43\pi r^3$$

Krok 3 — stosunek:

$$\frac{\frac43\pi r^3}{2\pi r^3}=\frac23$$

To odkrycie Archimedesa — kazał wyryć je na swoim nagrobku.

Odpowiedź: C. dwóm trzecim objętości walca.

Krok 1 — przekrój osiowy. W przekroju widać trójkąt (stożek) i wpisany w niego prostokąt (walec).

Krok 2 — podobieństwo. Na wysokości $4$ od podstawy zostaje do wierzchołka $8-4=4$, czyli połowa wysokości stożka. Promień przekroju stożka na tym poziomie maleje w tym samym stosunku:

$$\frac{x}{6}=\frac{4}{8} \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Kontrola: na wysokości $0$ promień to $6$, na wysokości $8$ — zero; w połowie wysokości logicznie wychodzi $3$ ✔

Odpowiedź: promień walca wynosi $3$.

Promień kuli, odległość płaszczyzny od środka i promień przekroju tworzą trójkąt prostokątny:

$$\rho=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$

Odpowiedź: A. $4$.

Krok 1 — połowa przekątnej podstawy. Przekątna kwadratu o boku $6$ wynosi $6\sqrt2$, a jej połowa:

$$\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$

Krok 2 — wysokość. Wysokość, połowa przekątnej i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny, w którym krawędź boczna jest przeciwprostokątną:

$$H=\sqrt{5^2-\left(3\sqrt2\right)^2}=\sqrt{25-18}=\sqrt7$$

Krok 3 — objętość:

$$V=\frac13\cdot36\cdot\sqrt7=12\sqrt7\approx31{,}7$$

Kontrola istnienia: $25>18$, więc bryła jest możliwa. Gdyby krawędź boczna była krótsza niż $3\sqrt2\approx4{,}24$, taki ostrosłup nie istniałby.

Odpowiedź: $H=\sqrt7$, $V=12\sqrt7$.

Krok 1 — promień:

$$r=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — objętość kuli:

$$V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}1$$

Krok 3 — pole powierzchni:

$$P=4\pi\cdot9=36\pi\approx113{,}1$$

Krok 4 — objętość sześcianu:

$$V_{\text{sz}}=216$$

Krok 5 — stosunek:

$$\frac{36\pi}{216}=\frac{\pi}{6}\approx0{,}524$$

Wniosek: kula wypełnia około $52{,}4\%$ sześcianu — i ten wynik nie zależy od rozmiaru krawędzi.

Odpowiedź: $V=36\pi$, $P=36\pi$, kula zajmuje $\frac{\pi}{6}$ objętości sześcianu.

Krok 1 — przekrój osiowy. W przekroju widać koło o promieniu $13$ i wpisany prostokąt o wysokości $24$.

Krok 2 — trójkąt prostokątny. Promień kuli jest przeciwprostokątną, przyprostokątne to promień walca $r$ oraz połowa wysokości:

$$r^2+12^2=13^2$$

Krok 3 — obliczenie:

$$r^2=169-144=25 \quad\Rightarrow\quad r=5$$

Krok 4 — objętość walca:

$$V=\pi\cdot25\cdot24=600\pi\approx1885$$

Rozpoznanie: trójka pitagorejska $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $r=5$, $V=600\pi$.

Krok 1 — co jest bokiem przekroju. Każdy bok trójkąta łączy dwa wierzchołki sąsiadujące z wybranym, a więc jest przekątną ściany sześcianu:

$$\text{bok}=a\sqrt2$$

Krok 2 — dlaczego równoboczny. Wszystkie trzy boki są przekątnymi ścian tego samego sześcianu, więc mają identyczną długość. Trójkąt o trzech równych bokach jest równoboczny. ∎

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{\left(a\sqrt2\right)^2\sqrt3}{4}=\frac{2a^2\sqrt3}{4}=\frac{a^2\sqrt3}{2}$$

Sprawdzenie dla $a=2$: bok wynosi $2\sqrt2\approx2{,}83$, a pole $\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\approx3{,}46$. Dla porównania pole ściany to $4$ — przekrój jest mniejszy, co zgadza się z intuicją, bo odcina tylko narożnik.

Odpowiedź: trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt2$ i polu $\frac{a^2\sqrt3}{2}$.