MATEMATIX

Polityka prywatności

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 2 LO › Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany w trójkąt

Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Okrąg wpisany i opisany — trójkąt i czworokąt

Gdzie leżą środki

Okrąg opisany — środek w przecięciu symetralnych boków, bo każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka, a więc od wierzchołków.

Okrąg wpisany — środek w przecięciu dwusiecznych kątów, bo punkt dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, a więc od boków.

Wzory na promienie w trójkącie

$$r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}$$

gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu.

Pierwszy wzór wynika z podziału trójkąta na trzy mniejsze o wspólnym wierzchołku w środku okręgu — każdy ma wysokość $r$, więc łączne pole to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.

Trójkąt prostokątny

$$R=\frac{c}{2},\qquad r=\frac{a+b-c}{2}$$

Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — to twierdzenie Talesa czytane wstecz: kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.

Dla trójkąta $5$, $12$, $13$: $R=6{,}5$ oraz $r=\frac{5+12-13}{2}=2$. Kontrola wzorem ogólnym: $P=30$, $p=15$, $r=\frac{30}{15}=2$ ✔

Trójkąt równoboczny

$$R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r$$

Oba środki to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ od wierzchołka. Stąd $R=\frac23h$ i $r=\frac13h$.

Konsekwencja dla pól: koło opisane ma pole czterokrotnie większe, bo pola zależą od kwadratu promienia.

Czworokąt wpisany w okrąg

$$\alpha+\gamma=180^\circ,\qquad \beta+\delta=180^\circ$$

Przeciwległe kąty muszą się dopełniać. Sama poprawna suma wszystkich kątów ($360^\circ$) nie wystarcza — kąty $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$ sumują się do $360^\circ$, ale $36+108=144\neq180$, więc takiego czworokąta nie da się wpisać w okrąg.

Okrąg zawsze da się opisać na prostokącie i kwadracie; na rombie tylko wtedy, gdy jest kwadratem.

Czworokąt opisany na okręgu

$$a+c=b+d$$

Sumujemy boki przeciwległe. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ spełnia warunek, bo $4+10=7+7$.

W romb okrąg da się wpisać zawsze — wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi automatycznie.

Dwa różne twierdzenia

To najczęstsze źródło pomyłek: warunek wpisania okręgu dotyczy boków, a warunek opisania — kątów.

Kwadrat

$$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac{a}{2},\qquad \frac{R}{r}=\sqrt2$$

Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki (średnica = przekątna), wpisany dotyka boków (średnica = bok).

Na co uważać

Nie zamieniaj symetralnych z dwusiecznymi. Przy warunku $a+c=b+d$ pilnuj, które boki są przeciwległe. I sprawdzaj sensowność wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.

∑Wzory 1

Promienie okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie
$$r = \frac{P}{p}, \qquad R = \frac{abc}{4P}, \qquad p = \frac{a+b+c}{2}$$

Co robi: wiąże pole trójkąta z promieniami obu okręgów — wpisanego i opisanego.

Elementy: $a$, $b$, $c$ to boki, $P$ — pole, $p$ — połowa obwodu, $r$ — promień okręgu wpisanego, $R$ — opisanego.

Skąd wzór na $r$: łącząc środek okręgu wpisanego z wierzchołkami, dzielimy trójkąt na trzy mniejsze o wysokości $r$. Suma ich pól to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.

Przypadki szczególne: w trójkącie prostokątnym $R=\frac{c}{2}$ (przeciwprostokątna jest średnicą) oraz $r=\frac{a+b-c}{2}$. W równobocznym $R=\frac{a\sqrt3}{3}$, $r=\frac{a\sqrt3}{6}$, a więc $R=2r$.

Przykład: trójkąt $5$, $12$, $13$ ma $P=30$ i $p=15$, więc $r=2$ oraz $R=6{,}5$. Kontrola wzorem dla trójkąta prostokątnego: $\frac{5+12-13}{2}=2$ ✔

Pułapka: we wzorze na $r$ występuje połowa obwodu, nie cały obwód. Sprawdzaj też sens wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.

🧩Quizy 1

▶Okrąg wpisany i opisany8 pyt. średni

✍Zadania 69

Zadanie nr 1

Kąt środkowy oparty na pewnym łuku ma $80^\circ$. Ile ma kąt wpisany oparty na tym samym łuku?

A $80^\circ$
B $40^\circ$
C $160^\circ$
D $20^\circ$
Zadanie nr 1

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia:

A dwusiecznych kątów
B wysokości
C symetralnych boków
D środkowych
Zadanie nr 2

Kąt wpisany oparty na łuku ma $35^\circ$. Oblicz kąt środkowy oparty na tym samym łuku.

Zadanie nr 2

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $6$ i $8$.

Zadanie nr PR13.1

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach $6$, $8$, $10$.

Zadanie nr 3

Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu ma miarę:

A $45^\circ$
B $180^\circ$
C $90^\circ$
D zależy od okręgu
Zadanie nr 3

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $6$.

Zadanie nr PR13.2

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $5$, $5$, $6$.

Zadanie nr 4

Oblicz długość okręgu o promieniu $5$ cm (przyjmij $\pi\approx3{,}14$).

Zadanie nr 4

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku $a$ wynosi:

A $\frac{a\sqrt3}{6}$
B $\frac{a\sqrt3}{3}$
C $\frac{a}{2}$
D $\frac{a\sqrt3}{2}$
Zadanie nr PR13.3

Trapez prostokątny o podstawach $12$ i $6$ jest opisany na okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Zadanie nr 5

Oblicz pole koła o promieniu $6$ cm.

Zadanie nr 5

Na czworokącie można opisać okrąg. Jeden z jego kątów ma $75^\circ$. Ile ma kąt przeciwległy?

Zadanie nr PR13.4

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $|\angle DAB|=70^\circ$, $|\angle ABC|=95^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów czworokąta.

Zadanie nr 6

W czworokącie wpisanym w okrąg jeden z kątów ma $70^\circ$. Ile ma kąt leżący naprzeciw niego?

A $110^\circ$
B $70^\circ$
C $20^\circ$
D $140^\circ$
Zadanie nr 6

W czworokąt można wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy:

A przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$
B przekątne są równe
C wszystkie boki są równe
D sumy przeciwległych boków są równe
Zadanie nr PR13.5

Trójkąt ma boki długości $13$, $14$, $15$. Oblicz jego pole oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego.

Zadanie nr 7

Oblicz długość łuku okręgu o promieniu $6$ cm odpowiadającego kątowi środkowemu $60^\circ$.

Zadanie nr 7

Trójkąt ma boki $6$, $8$, $10$ i pole $24$. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Zadanie nr PR13.6

Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku $O$ i promieniu $5$, styczne w punktach $A$ i $B$. $|PO|=13$. Oblicz długość odcinka stycznej $PA$ oraz długość cięciwy $AB$.

Zadanie nr 8

Oblicz pole wycinka koła o promieniu $10$ cm odpowiadającego kątowi $90^\circ$.

Zadanie nr 8

W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają $x$ i $3x$. Oblicz oba kąty.

Zadanie nr PR13.7

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ o bokach $|BC|=7$, $|CA|=8$, $|AB|=9$ jest styczny do boku $AB$ w punkcie $K$. Oblicz $|AK|$ i $|KB|$.

Zadanie nr 9

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $10$ wynosi:

A $10$
B $2{,}5$
C $\sqrt{10}$
D $5$
Zadanie nr 9

Na którym czworokącie zawsze można opisać okrąg?

A na dowolnym równoległoboku
B na prostokącie
C na rombie
D na dowolnym trapezie
Zadanie nr PR13.8

Deltoid $ABCD$, w którym $|AB|=|AD|=6$ i $|CB|=|CD|$, jest wpisany w okrąg, a $|\angle BAD|=60^\circ$. Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz promień okręgu wpisanego w ten deltoid.

Zadanie nr 10

Dwa kąty wpisane w okrąg są oparte na tym samym łuku. Pierwszy ma $42^\circ$. Ile ma drugi? Uzasadnij.

Zadanie nr 10

Oblicz promień okręgu opisanego na kwadracie o boku $8$ oraz promień okręgu wpisanego w ten kwadrat.

Zadanie nr PR13.9

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątną $c$. Wykaż, że $r+R=\frac{a+b}{2}$, gdzie $r$ i $R$ — promienie okręgów wpisanego i opisanego.

Zadanie nr 11

Czworokąt można wpisać w okrąg, gdy:

A sumy sąsiednich boków są równe
B sumy przeciwległych kątów wynoszą $180^\circ$
C przekątne są równe
D wszystkie boki są równe
Zadanie nr 11

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $c$ wynosi:

A $\frac{c}{2}$
B $c$
C $\frac{c}{3}$
D $c\sqrt2$
Zadanie nr PR13.10

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. $|AB|=3$, $|BC|=5$, $|CD|=8$, $|\angle ABC|=120^\circ$ oraz $|AD|\gt |AB|$. Oblicz $|AC|$, promień okręgu, $|AD|$ oraz pole czworokąta.

Zadanie nr 12

W okrąg wpisano czworokąt o kątach $x$, $100^\circ$, $2x$ i $80^\circ$ (w kolejności). Wyznacz $x$.

Zadanie nr 12

Czy w czworokąt o bokach $5$, $7$, $9$, $11$ (w tej kolejności) można wpisać okrąg?

Zadanie nr 13

Styczna do okręgu w punkcie styczności tworzy z promieniem poprowadzonym do tego punktu kąt:

A $45^\circ$
B $60^\circ$
C $90^\circ$
D $180^\circ$
Zadanie nr 13

Trójkąt równoboczny ma bok $12$. Oblicz promienie obu okręgów i stosunek ich pól.

Zadanie nr 14

Trójkąt równoboczny ma bok $6$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Skorzystaj ze wzoru $R=\frac{a\sqrt3}{3}$.

Zadanie nr 14

W trapez równoramienny o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ można wpisać okrąg?

A tak, bo jest równoramienny
B nie, bo podstawy są różne
C tak, bo $4+10=7+7$
D nie da się ustalić
Zadanie nr 15

Oblicz pole pierścienia kołowego ograniczonego okręgami o promieniach $5$ cm i $3$ cm (o wspólnym środku).

Zadanie nr 15

Oblicz pole trójkąta o obwodzie $30$, w który wpisano okrąg o promieniu $4$.

Zadanie nr 16

Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) ma tę samą miarę co:

A kąt wpisany oparty na tej cięciwie
B kąt środkowy oparty na tej cięciwie
C kąt pełny
D zawsze $90^\circ$
Zadanie nr 16

Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy ma miarę:

A $45^\circ$
B $90^\circ$
C $180^\circ$
D $60^\circ$
Zadanie nr 17

W okręgu o promieniu $10$ cm poprowadzono cięciwę w odległości $6$ cm od środka. Oblicz długość tej cięciwy.

Zadanie nr 17

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $5$ i $12$ oblicz promień okręgu wpisanego i opisanego.

Zadanie nr 18

Oblicz pole odcinka koła (część między cięciwą a łukiem) dla ćwiartki koła o promieniu $4$ cm, gdzie cięciwą jest bok trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych będących promieniami.

Zadanie nr 18

Czworokąt wpisany w okrąg ma kąty $x$, $2x$, $3x$ i $4x$. Oblicz wszystkie kąty i sprawdź, czy taki czworokąt jest możliwy.

Zadanie nr 19

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Kąt środkowy jest o $50^\circ$ większy od kąta wpisanego. Oblicz oba kąty.

Zadanie nr 19

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $7$, $8$ i $9$, wiedząc, że jego pole wynosi $12\sqrt5$.

Zadanie nr 20

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $6$ i $8$ opisano okrąg oraz wpisano okrąg. Oblicz promienie obu okręgów. Skorzystaj ze wzoru na promień okręgu wpisanego $r=\frac{a+b-c}{2}$.

Zadanie nr 20

Wykaż, że w trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego jest dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego. Podaj konsekwencję dla pól obu kół.

Zadanie nr 22 · Matura 2026
W okrąg \(O\) o promieniu \(9\sqrt{3}\) wpisano trójkąt równoboczny \(T\).
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Bok trójkąta \(T\) ma długość \(.........\)
Zadanie nr 22 · Matura 2024
W trójkącie \(ABC\), wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), kąt \(ACB\) ma miarę \(42°\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Miara kąta ostrego \(BAS\) jest równa:
A \(42°\)
B \(45°\)
C \(48°\)
D \(69°\)
Zadanie nr 13 · Próbny 2021
Trójkąt \(ABC\) jest wpisany w okrąg o środku \(O\). Miara kąta \(CAO\) jest równa \(70°\) (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta \(ABC\) jest równa:

Matematyka jest prosta
A \(20°\)
B \(25°\)
C \(30°\)
D \(35°\)
Zadanie nr 18 · Matura 2021
Okrąg o środku w punkcie \(O\) jest wpisany w trójkąt \(ABC\). Wiadomo, że \(|AB|=|AC|\) i \(|\sphericalangle BOC|=100°\) (zobacz rysunek).

Matematyka jest prosta



Miara kąta \(BAC\) jest równa:
A \(20°\)
B \(30°\)
C \(40°\)
D \(50°\)
Zadanie nr 14 · Matura 2019
Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(α\).



Matematyka jest prosta
A \(α=30°\)
B \(α\lt30°\)
C \(α\gt45°\)
D \(α=45°\)
Zadanie nr 21 · Egz. 8-kl. 2019
W trójkąt równoramienny \(ABC\) (\(|AC|= |BC|\)) wpisano okrąg o środku \(S\). Punkty wspólne okręgu i trójkąta oznaczono literami \(M\), \(N\) i \(P\). Uzasadnij, że trójkąty \(ASM\) i \(PBS\) są przystające.

Matematyka jest prosta
Zadanie nr 34 · Matura 2018
W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość \(5\), a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(2\). Oblicz pole trójkąta \(ACB\).
Zadanie nr 24 · Próbny 2016
Okrąg o promieniu \(3\) jest wpisany w trójkąt prostokątny. Punkt styczności dzieli przeciwprostokątną na odcinki długości \(5\) i \(12\). Obwód tego trójkąta jest równy:
A \(40\)
B \(34\)
C \(51\)
D \(64\)
Zadanie nr 9 · Próbny 2015
W okrąg o środku \(O\) wpisano trójkąt ostrokątny \(ABC\). Jeśli \(|\sphericalangle ABO|=48°\), to:
A \(|\sphericalangle ACB|=42°\)
B \(|\sphericalangle ACB|=48°\)
C \(|\sphericalangle ACB|=52°\)
D \(|\sphericalangle ACB|=58°\)
Zadanie nr 17 · Próbny 2015
W trójkąt równoramienny \(ABC\) o podstawie \(AB\) wpisano okrąg o promieniu \(5\). Odległość wierzchołka \(C\) od punktu styczności \(S\) okręgu z ramieniem \(BC\) jest równa \(12\). Wysokość \(CD\) tego trójkąta ma długość:

Matematyka jest prosta
A \(10\)
B \(15\)
C \(5+\sqrt{119}\)
D \(18\)
Zadanie nr 19 · Próbny 2015
Na trójkącie \(ABC\) opisano okrąg o środku \(S\) i promieniu równym \(6\). Kąt wpisany \(ACB\) ma miarę \(15°\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe:
A \(9\)
B \(9\sqrt{2}\)
C \(9\sqrt{3}\)
D \(18\)
Zadanie nr 19 · Matura 2015
W trójkącie \(ABC\) wpisanym w okrąg o środku w punkcie \(S\), miara kąta \(ABC\) jest równa \(40°\) (zobacz rysunek).

Matematyka jest prosta



Miara \(α\) kąta, jaki bok \(AC\) tworzy z promieniem \(CS\), jest równa:
A \(α=40°\)
B \(α=45°\)
C \(α=50°\)
D \(α=60°\)
Zadanie nr 21 · Matura 2015
Dane są punkty \(A=(2,3)\) oraz \(B=(-6,-3)\). Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny \(ABC\) jest równy:
A \(\frac{20\sqrt{3}}{3}\)
B \(\frac{40\sqrt{3}}{3}\)
C \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
D \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\)
Zadanie nr 33 · Próbny 2015
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu wpisanego w podstawę jest równy \(6\). Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(60°\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej bryły.
Zadanie nr 34 · Matura 2013
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.



Matematyka jest prosta
Zadanie nr 18 · Matura 2012
Długość boku trójkąta równobocznego jest równa \(24\sqrt{3}\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy:
A \(36\)
B \(18\)
C \(12\)
D \(6\)
Zadanie nr 32 · Próbny 2011
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny \(ABC\) jest styczny do przeciwprostokątnej \(AB\) w punkcie \(K\). Wiadomo, że \(|AK|=4\) i \(|KB|=6\). Oblicz promień tego okręgu.

Matematyka jest prosta
Zadanie nr 19 · Próbny 2010
W okrąg o średnicy \(AB\) wpisano trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|CB|=6\sqrt{2}\).

Matematyka jest prosta



Długość tego okręgu jest równa:
A \(36π\)
B \(12π\)
C \(6π\sqrt{2}\)
D \(12π\sqrt{2}\)
Zadanie nr 6 · Próbny 2009
Wysokość trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg jest równa \(6\sqrt{3}\). Promień tego okręgu jest równy:
A \(4\)
B \(2\sqrt{3}\)
C \(4\sqrt{3}\)
D \(6\)
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas