Nierówności kwadratowe — powtórzenie
Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 1
Schemat rozwiązywania nierówności kwadratowej
- przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej został zero
- znajdź miejsca zerowe trójmianu
- ustal kierunek ramion paraboli ze znaku $a$
- naszkicuj parabolę i odczytaj przedziały
- dobierz nawiasy: ostre przy nierówności nieostrej, okrągłe przy ostrej
Klucz — kierunek ramion
Dla $a>0$ (ramiona w górę):
- wartości ujemne — między miejscami zerowymi
- wartości dodatnie — na zewnątrz, w dwóch przedziałach
Dla $a<0$ obszary zamieniają się miejscami — to najczęstsze źródło błędów.
Przykład
Nierówność $x^2-5x+6\ge0$. Miejsca zerowe to $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc wartości nieujemne leżą na zewnątrz:
$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$
Przypadki bez miejsc zerowych
Gdy $\Delta<0$, parabola nie przecina osi OX. Wtedy dla $a>0$ cała leży nad osią (np. $x^2+1>0$ jest spełnione zawsze), a dla $a<0$ — pod osią.
Wzory Viete
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania. Wymagają jednak, aby pierwiastki istniały, czyli $\Delta\ge0$ — ten warunek trzeba sprawdzać zawsze.
Typowe zastosowania Viete
- oba pierwiastki dodatnie: $\Delta>0$ oraz suma $>0$ i iloczyn $>0$
- oba ujemne: $\Delta>0$ oraz suma $<0$ i iloczyn $>0$
- różnych znaków: wystarczy iloczyn $<0$
- $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ — pozwala policzyć sumę kwadratów
Równania sprowadzalne do kwadratowych
Równanie dwukwadratowe $ax^4+bx^2+c=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=x^2$ przy warunku $t\ge0$. Każde nieujemne $t$ daje dwa rozwiązania w $x$: $x=\pm\sqrt{t}$.
Na co uważać
Sama dodatnia suma pierwiastków nie gwarantuje, że oba są dodatnie — potrzebny jest jeszcze dodatni iloczyn. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak. Odpowiedź $x\le3$ dla nierówności $x^2\le9$ jest błędna: brakuje ograniczenia od dołu.
∑Wzory 2
Co robi: pozwala odczytać rozwiązanie nierówności kwadratowej ze szkicu paraboli, bez zgadywania.
Elementy: $x_1$ i $x_2$ to miejsca zerowe trójmianu, a znak $a$ decyduje o kierunku ramion.
Reguła dla $a>0$: parabola jest pod osią między miejscami zerowymi, a nad osią na zewnątrz. Dla $a<0$ obszary zamieniają się miejscami.
Przykład: $x^2-5x+6\ge0$ ma miejsca zerowe $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc rozwiązaniem jest $(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
Gdy $\Delta<0$: parabola nie przecina osi — dla $a>0$ cała leży nad nią (np. $x^2+1>0$ zachodzi zawsze), a dla $a<0$ pod nią.
Pułapka: nierówność $x^2\le9$ to nie $x\le3$ — brakuje ograniczenia od dołu, poprawnie $x\in\langle -3,\,3\rangle$. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak.
Co robi: wyznacza zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej na podstawie szkicu paraboli.
Elementy: obliczamy $\Delta$ i miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy, gdzie leży nad/pod osią. Dla $a>0$ i $\Delta>0$: nierówność $>0$ daje $(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$, a $<0$ daje $(x_1,x_2)$.
Przykład: $x^2-4<0$: miejsca zerowe $\pm 2$, ramiona w górę, poniżej osi między nimi — rozwiązanie $x\in(-2,2)$.
Pułapka: gdy $\Delta<0$ i $a>0$, parabola jest cała nad osią: nierówność $>0$ spełnia każde $x$, a $<0$ — żadne. Nie „brak delty” oznacza brak rozwiązań, tylko trzeba spojrzeć na wykres.
🧩Quizy 1
✍Zadania 61
Rozwiąż nierówność $x^2-4<0$.
Miejsca zerowe funkcji $f(x)=(x-1)(x-4)$ to:
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\ge 0$.
Dla $a>0$ nierówność $ax^2+bx+c>0$ jest spełniona:
Dla równania $x^2-7x+10=0$ podaj sumę i iloczyn pierwiastków, korzystając ze wzorów Viete (bez rozwiązywania równania).
Rozwiąż nierówność $(x-2)(x-5)<0$.
Równanie $x^2+bx+9=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jakie wartości może przyjąć $b$?
Rozwiąż nierówność $x^2-9>0$.
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2-4x+m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\le0$.
Rozwiąż równanie dwukwadratowe $x^4-13x^2+36=0$.
Nierówność $x^2\ge0$ jest spełniona dla:
Pierwiastki równania $x^2+px+q=0$ to $2$ i $-5$. Ile wynosi $p$?
Rozwiąż nierówność $x^2\le16$.
Rozwiąż nierówność $-x^2+4x>0$.
Dla $a<0$ nierówność $ax^2+bx+c<0$ jest spełniona:
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2+2x+m=0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych?
Rozwiąż nierówność $x^2+4x\ge0$.
Ile rozwiązań ma nierówność $x^2+1<0$?
Nierówność $x^2<0$ jest spełniona:
Pierwiastki równania $x^2-6x+k=0$ spełniają warunek $x_1^2+x_2^2=20$. Wyznacz $k$.
Rozwiąż nierówność $-x^2+4>0$.
Rozwiąż równanie $(x-1)(x+3)=5$.
Rozwiąż nierówność $x^2-6x+9\le0$.
Suma pierwiastków równania $2x^2-8x+3=0$ wynosi:
Zbiorem rozwiązań $(x+2)(x-3)\ge0$ jest:
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2-2mx+m^2-1=0$ ma dwa pierwiastki, których suma wynosi $6$?
Rozwiąż nierówność $2x^2-8<0$.
Rozwiąż nierówność $x^2\le 9$.
Rozwiąż nierówność $x^2-x-6>0$.
Równanie $x^2+4=0$ ma:
Nierówność $(x-1)^2>0$ jest spełniona dla:
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych wynosi $132$. Znajdź te liczby.
Dla jakich $x$ funkcja $f(x)=x^2-4x+3$ przyjmuje wartości ujemne?
Rozwiąż równanie $x^4-5x^2+4=0$.
Rozwiąż nierówność $x^2+2x+5>0$.
Prostokąt ma pole $60$ cm$^2$, a jego długość jest o $7$ cm większa od szerokości. Oblicz wymiary prostokąta.
Dla jakich $x$ wyrażenie $\sqrt{x^2-4}$ jest określone (w liczbach rzeczywistych)?
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2-(m+1)x+m=0$ ma dwa pierwiastki dodatnie?
Wykaż, że nierówność $x^2-2x+1\ge0$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Rozwiąż nierówność $(x-3)(x+5)>9$. Zapisz obliczenia.
Rozwiąż nierówność $x(3x-2)<1$.
Rozwiąż nierówność $3\left(2x^{2}+1\right)<11x$.
Rozwiąż nierówność $x(x-6)\le 7$. Zapisz obliczenia.
