Twierdzenie Ptolemeusza

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\cdot30^\circ=60^\circ$$

Odpowiedź: B. $60^\circ$.

Kąt wpisany oparty na średnicy (czyli na półokręgu) jest prosty:

$$90^\circ$$

To twierdzenie Talesa o okręgu — średnica „widziana" z dowolnego punktu okręgu pod kątem prostym.

Odpowiedź: $90^\circ$.

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe:

$$x=40^\circ$$

Odpowiedź: $x=40^\circ$.

Kąt wpisany to połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\frac{100^\circ}{2}=50^\circ$$

Odpowiedź: $50^\circ$.

Krok 1 — trójkąt prostokątny. Styczna jest prostopadła do promienia, więc promień, odcinek styczny i odległość $PS$ tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $13$.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$t=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Odpowiedź: $12$.

Zasada: w czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$.

Kąt $C$ (przeciwległy do $A$):

$$C=180^\circ-85^\circ=95^\circ$$

Kąt $D$ (przeciwległy do $B$):

$$D=180^\circ-95^\circ=85^\circ$$

Sprawdzenie: suma kątów czworokąta $85+95+95+85=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $C=95^\circ$, $D=85^\circ$.

Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą: jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie z drugiej strony.

$$\alpha_{\text{wpisany}}=50^\circ$$

Interpretacja: styczna to „graniczne położenie" siecznej, więc kąt między nią a cięciwą zachowuje się jak kąt wpisany.

Odpowiedź: $50^\circ$.

Krok 1 — warunek dla kątów przeciwległych:

$$3x+x=180^\circ$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$A=3\cdot45^\circ=135^\circ,\qquad C=45^\circ$$

Sprawdzenie: $135+45=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $135^\circ$ i $45^\circ$.

Krok 1 — kąt $C$ oparty na średnicy. Z twierdzenia Talesa o okręgu:

$$C=90^\circ$$

Krok 2 — kąt $B$ z sumy kątów trójkąta:

$$B=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

Odpowiedź: $B=55^\circ$, $C=90^\circ$.

Twierdzenie Ptolemeusza wiąże przekątne i boki czworokąta wpisanego w okrąg:

$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$

iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów przeciwległych boków.

Odpowiedź: A. wpisanego w okrąg.

Krok 1 — kąt środkowy na tym łuku. Łuk to $\frac14$ okręgu, więc kąt środkowy:

$$\frac14\cdot360^\circ=90^\circ$$

Krok 2 — kąt wpisany to połowa środkowego:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Odpowiedź: $45^\circ$.

Dla kwadratu wszystkie boki równe $a$, obie przekątne równe $d$. Ptolemeusz: $d\cdot d=a\cdot a+a\cdot a$:

$$d^2=2a^2$$

Sprawdzenie: stąd $d=a\sqrt2$ — znany wzór na przekątną kwadratu ✔

Odpowiedź: C. $d^2=2a^2$.

Krok 1 — twierdzenie Ptolemeusza:

$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$

Krok 2 — obliczamy prawą stronę:

$$a\cdot c+b\cdot d=3\cdot6+5\cdot4=18+20=38$$

Krok 3 — wyznaczamy $f$:

$$7\cdot f=38 \quad\Rightarrow\quad f=\frac{38}{7}\approx5{,}43$$

Uwaga na kolejność boków. W iloczynach łączymy boki przeciwległe: $a$ z $c$ oraz $b$ z $d$.

Odpowiedź: $f=\frac{38}{7}$.

Oznaczenia. Niech $AB$ będzie średnicą okręgu o środku $O$, a $C$ dowolnym punktem okręgu. Chcemy pokazać, że kąt $ACB=90^\circ$.

Krok 1 — trójkąty równoramienne. Odcinki $OA$, $OB$, $OC$ to promienie, więc są równe. Trójkąty $OAC$ i $OBC$ są równoramienne.

Krok 2 — oznaczamy kąty przy podstawach. Niech $\angle OAC=\alpha$ i $\angle OBC=\beta$. Z równoramienności:

$$\angle OCA=\alpha,\qquad \angle OCB=\beta$$

Krok 3 — suma kątów trójkąta $ABC$:

$$\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ$$

bo kąt przy $C$ to $\angle OCA+\angle OCB=\alpha+\beta$.

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$2(\alpha+\beta)=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha+\beta=90^\circ$$

Kąt przy $C$ wynosi $\alpha+\beta=90^\circ$. $\qquad ∎$

Wniosek: każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, niezależnie od położenia punktu $C$ na okręgu.