Hiperbola

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy $x=0$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Odpowiedź: B. liczby rzeczywiste bez zera.

Podstawiamy kolejno:

$$f(3)=\frac63=2$$

$$f(-2)=\frac{6}{-2}=-3$$

Odpowiedź: $f(3)=2$, $f(-2)=-3$.

Wykres proporcjonalności odwrotnej $f(x)=\frac{a}{x}$ to hiperbola — krzywa złożona z dwóch gałęzi.

Położenie gałęzi: dla $a>0$ leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ w II i IV.

Odpowiedź: A. hiperbola.

Hiperbola $f(x)=\frac{a}{x}$ ma dwie asymptoty:

$$\text{pionowa: } x=0,\qquad \text{pozioma: } y=0$$

Interpretacja: gdy $x$ dąży do zera, wartości „uciekają” do nieskończoności (asymptota pionowa); gdy $x$ rośnie nieograniczenie, wartości zbliżają się do zera (asymptota pozioma).

Odpowiedź: $x=0$ oraz $y=0$.

Dla $a>0$ funkcja $f(x)=\frac{a}{x}$ jest malejąca — osobno na przedziale $(-\infty,0)$ i osobno na $(0,+\infty)$.

Ważne zastrzeżenie: nie jest malejąca „w całości” — między gałęziami następuje skok przez asymptotę. Mówimy o monotoniczności w każdym przedziale osobno.

Odpowiedź: C. malejąca.

Krok 1 — mianownik różny od zera:

$$x-3\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq3$$

Krok 2 — dziedzina:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Krok 1 — dziedzina. Mianownik zeruje się dla $x=2$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$$

Krok 2 — asymptota pionowa przechodzi przez punkt wykluczony z dziedziny:

$$x=2$$

Interpretacja: wykres funkcji $\frac1x$ przesunięto o $2$ jednostki w prawo, więc asymptota pionowa też przesunęła się z $x=0$ na $x=2$.

Odpowiedź: $x=2$, $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Dodanie liczby do całej funkcji przesuwa wykres w pionie:

$$f(x)=\frac{1}{x}+3 \ \Rightarrow\ \text{przesunięcie o } 3 \text{ w górę}$$

Skutek: asymptota pozioma przesuwa się z $y=0$ na $y=3$.

Dla porównania: $\frac{1}{x-3}$ przesuwałoby wykres poziomo (w prawo).

Odpowiedź: D. o $3$ w górę.

Obliczamy wartość funkcji w $x=2$:

$$f(2)=\frac{6}{2}=3$$

Wartość zgadza się z drugą współrzędną punktu, więc $P$ leży na wykresie.

Interpretacja: punkty hiperboli $\frac6x$ spełniają $x\cdot y=6$ — sprawdzenie: $2\cdot3=6$ ✔

Odpowiedź: tak, należy.

Krok 1 — podstawiamy współrzędne punktu:

$$5=\frac{a}{4}$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$a=20$$

Sprawdzenie: $f(x)=\frac{20}{x}$, a $f(4)=5$ ✔

Odpowiedź: $a=20$.

Dla $a\lt 0$ (tu $a=-4$) gałęzie leżą w II i IV ćwiartce.

W I ćwiartce (gdzie $x>0$ i $y>0$) gałęzi nie ma, bo dla $x>0$ wartość $\frac{-4}{x}$ jest ujemna.

Odpowiedź: B. I ćwiartka.

Krok 1 — asymptota pionowa. Mianownik zeruje się dla $x=2$:

$$x=2$$

Krok 2 — asymptota pozioma. Do funkcji dodano $3$, więc pozioma asymptota podniosła się:

$$y=3$$

Reguła. Funkcja $\frac{1}{x-p}+q$ to hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$ — asymptoty przesuwają się razem z nią.

Odpowiedź: $x=2$ oraz $y=3$.

Krok 1 — zastrzeżenie dziedziny: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $x$:

$$6=2x$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=3$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę. $3\neq0$, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $\frac63=2$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Funkcja $\frac{2}{x}$ przyjmuje każdą wartość rzeczywistą oprócz zera — żaden argument nie daje wyniku $0$, bo licznik jest stały i różny od zera.

$$ZW=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Związek z asymptotą: wartość $y=0$ jest „nieosiągalna” — to właśnie asymptota pozioma.

Odpowiedź: A. $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$x\cdot y=24$$

Krok 2 — wyznaczamy $y$:

$$y=\frac{24}{x}$$

Krok 3 — rozpoznanie. To proporcjonalność odwrotna — funkcja postaci $\frac{a}{x}$, której wykresem jest hiperbola.

Interpretacja. Im dłuższy jeden bok, tym krótszy drugi, a ich iloczyn pozostaje stały. Dziedziną są tu tylko liczby dodatnie (bok nie może być ujemny).

Odpowiedź: $y=\frac{24}{x}$ — proporcjonalność odwrotna.

Sprawdzamy warunek nieparzystości:

$$f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$$

Warunek $f(-x)=-f(x)$ jest spełniony, więc funkcja jest nieparzysta.

Geometrycznie: wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych — obie gałęzie hiperboli są swoimi odbiciami przez punkt $(0,0)$.

Odpowiedź: C. nieparzystą.

Krok 1 — rozkładamy licznik tak, by pojawił się mianownik. Chcemy w liczniku wydzielić $2(x+1)$:

$$2x+1=2(x+1)-1$$

Krok 2 — dzielimy wyraz po wyrazie:

$$f(x)=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$$

Krok 3 — odczytujemy asymptoty. To hiperbola $-\frac1x$ przesunięta o wektor $[-1,\ 2]$:

$$\text{pionowa: } x=-1,\qquad \text{pozioma: } y=2$$

Metoda uniwersalna. Aby rozłożyć funkcję homograficzną, w liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy — to standardowy chwyt, który ujawnia postać przesuniętej hiperboli.

Odpowiedź: $f(x)=2-\frac{1}{x+1}$; asymptoty $x=-1$, $y=2$.

Krok 1 — zastrzeżenie dziedziny: $x\neq1$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $(x-1)$:

$$x+2=3(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x+2=3x-3 \quad\Rightarrow\quad 5=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac52$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę. $\frac52\neq1$, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.

Sprawdzenie: $\frac{\frac52+2}{\frac52-1}=\frac{\frac92}{\frac32}=3$ ✔

Uwaga metodyczna. W równaniach wymiernych zawsze najpierw wypisujemy dziedzinę, a na końcu sprawdzamy, czy rozwiązanie do niej należy — inaczej można przyjąć pierwiastek „obcy”.

Odpowiedź: $x=\frac52$.

Krok 1 — wyznaczamy $a$:

$$6=\frac{a}{2} \quad\Rightarrow\quad a=12$$

Krok 2 — funkcja:

$$f(x)=\frac{12}{x}$$

Krok 3 — sprawdzamy punkt $(-3,\ -4)$:

$$f(-3)=\frac{12}{-3}=-4$$

Wartość zgadza się z drugą współrzędną, więc punkt leży na wykresie.

Szybsza kontrola. Na hiperboli $\frac{12}{x}$ iloczyn współrzędnych każdego punktu wynosi $12$: dla $(2,6)$ mamy $12$ ✔, dla $(-3,-4)$ też $12$ ✔

Odpowiedź: $a=12$; tak, punkt $(-3,-4)$ leży na wykresie.

Krok 1 — definicja. Funkcja jest malejąca, gdy dla dowolnych $x_1\lt x_2$ z rozważanego przedziału zachodzi $f(x_1)>f(x_2)$.

Krok 2 — bierzemy dowolne $0\lt x_1\lt x_2$ i liczymy różnicę wartości:

$$f(x_1)-f(x_2)=\frac{a}{x_1}-\frac{a}{x_2}=a\cdot\frac{x_2-x_1}{x_1 x_2}$$

Krok 3 — badamy znak. Analizujemy każdy czynnik:

• $a>0$ — z założenia,
• $x_2-x_1>0$ — bo $x_1\lt x_2$,
• $x_1 x_2>0$ — bo oba argumenty dodatnie.

Krok 4 — wniosek. Cały iloczyn jest dodatni, więc:

$$f(x_1)-f(x_2)>0 \quad\Rightarrow\quad f(x_1)>f(x_2) \qquad ∎$$

Dla $x_1\lt x_2$ wartości maleją, więc funkcja jest malejąca w $(0,+\infty)$.

Uwaga. Dowód działa tylko w jednym przedziale. Na $(-\infty,0)$ funkcja też jest malejąca, ale nie można łączyć obu przedziałów — między nimi jest asymptota.

Dodanie stałej do całej funkcji przesuwa wykres w pionie o tę stałą:

$$\text{o } 2 \text{ w górę}$$

Asymptota pozioma z $y=0$ przechodzi na $y=2$.

Odpowiedź: B. o $2$ w górę.

Wykres $\frac1x$ przesunięto o $3$ w prawo:

$$\text{asymptota pionowa: } x=3,\qquad \text{pozioma: } y=0$$

Odpowiedź: $x=3$ oraz $y=0$.

Mianownik zeruje się dla $x=-2$:

$$x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Uwaga na znak: $\frac{1}{x+2}$ to przesunięcie o $2$ w lewo, więc asymptota jest w $x=-2$.

Odpowiedź: C. $x=-2$.

Przesunięcie o $4$ w dół:

$$\text{pionowa: } x=0,\qquad \text{pozioma: } y=-4$$

Odpowiedź: $x=0$ oraz $y=-4$.

To hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[1,\ 3]$:

$$\text{pionowa: } x=1,\qquad \text{pozioma: } y=3$$

Odpowiedź: A. $x=1$, $y=3$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-5\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq5$$

Odpowiedź: D. $\mathbb{R}\setminus\{5\}$.

Krok 1 — rozbijamy ułamek:

$$\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$$

Krok 2 — odczytujemy asymptoty. To $\frac1x$ przesunięte o $1$ w górę:

$$\text{pionowa: } x=0,\qquad \text{pozioma: } y=1$$

Odpowiedź: $f(x)=1+\frac1x$; asymptoty $x=0$, $y=1$.

Funkcja $\frac1x$ ma zbiór wartości $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Po przesunięciu o $5$ w górę:

$$ZW=\mathbb{R}\setminus\{5\}$$

Wartość $5$ (asymptota pozioma) jest nieosiągalna.

Odpowiedź: B. $\mathbb{R}\setminus\{5\}$.

Przekształcenie: znak minus odbija wykres względem osi $OX$ (lub $OY$).

Gałęzie: hiperbola $\frac1x$ leży w I i III ćwiartce; po odbiciu $-\frac1x$ leży w II i IV ćwiartce.

Asymptoty się nie zmieniają: $x=0$ i $y=0$.

Odpowiedź: odbicie względem osi; gałęzie w II i IV ćwiartce.

Przesunięcie o $2$ w dół przenosi asymptotę poziomą:

$$y=0 \ \to\ y=-2$$

Odpowiedź: C. $y=-2$.

Krok 1 — rozbijamy ułamek:

$$\frac{2x-1}{x}=\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}=2-\frac{1}{x}$$

Krok 2 — interpretacja. To hiperbola $-\frac1x$ przesunięta o $2$ w górę.

Krok 3 — asymptoty:

$$x=0,\qquad y=2$$

Odpowiedź: $f(x)=2-\frac1x$; asymptoty $x=0$, $y=2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — przyrównujemy do zera:

$$\frac{1}{x-2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x-2}=1$$

Krok 3 — mnożymy przez $(x-2)$:

$$1=x-2 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: $\frac{1}{3-2}-1=1-1=0$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Zapis $\frac{1}{x+3}-2=\frac{1}{x-(-3)}+(-2)$ oznacza przesunięcie o $-3$ poziomo i $-2$ pionowo:

$$\vec{u}=[-3,\ -2]$$

Odpowiedź: A. $[-3,\ -2]$.

$$f(3)=\frac{2}{3-1}=\frac22=1$$

$$f(-1)=\frac{2}{-1-1}=\frac{2}{-2}=-1$$

Odpowiedź: $f(3)=1$, $f(-1)=-1$.

Przesunięcie w prawo o $3$ oznacza zastąpienie $x$ przez $x-3$:

$$f(x)=\frac{1}{x-3}$$

Zasada: przesunięcie poziome działa „odwrotnie" — w prawo to $x-3$, nie $x+3$.

Odpowiedź: B. $\frac{1}{x-3}$.

Krok 1 — w liczniku odtwarzamy mianownik. Chcemy wydzielić $3(x+1)$:

$$3x+2=3(x+1)-1$$

Krok 2 — dzielimy wyraz po wyrazie:

$$f(x)=\frac{3(x+1)-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$$

Krok 3 — asymptoty. To $-\frac1x$ przesunięte o $[-1,\ 3]$:

$$\text{pionowa: } x=-1,\qquad \text{pozioma: } y=3$$

Krok 4 — dziedzina: $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

Metoda uniwersalna. Każdą funkcję homograficzną sprowadzamy do tej postaci, odtwarzając mianownik w liczniku — wtedy asymptoty widać wprost.

Odpowiedź: $f(x)=3-\frac{1}{x+1}$; $x=-1$, $y=3$; $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

Krok 1 — przecięcie z osią $OY$ to $x=0$:

$$f(0)=\frac{1}{0-2}+3=-\frac12+3=\frac52$$

Krok 2 — punkt:

$$\left(0,\ \tfrac52\right)$$

Sprawdzenie sensu. Dziedzina wyklucza tylko $x=2$, więc $x=0$ jest dozwolone — przecięcie z osią $OY$ istnieje.

Odpowiedź: $\left(0,\ \frac52\right)$.

Krok 1 — przesunięcie o wektor $[p,\ q]$. W miejsce $x$ wstawiamy $x-p$, a do funkcji dodajemy $q$:

$$g(x)=\frac{2}{x-3}+(-1)=\frac{2}{x-3}-1$$

Krok 2 — asymptoty. Przesunięcie przenosi asymptoty $\frac2x$ ($x=0$, $y=0$) o wektor $[3,\ -1]$:

$$\text{pionowa: } x=3,\qquad \text{pozioma: } y=-1$$

Krok 3 — dziedzina: $\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Uwaga na kierunek. Wektor $[3,-1]$ to $3$ w prawo (stąd $x-3$) i $1$ w dół (stąd $-1$). Przesunięcie poziome wchodzi do wzoru z przeciwnym znakiem.

Odpowiedź: $g(x)=\frac{2}{x-3}-1$; $x=3$, $y=-1$; $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Krok 1 — sprowadzamy do postaci przesuniętej hiperboli. W liczniku odtwarzamy mianownik:

$$x+3=(x+1)+2 \quad\Rightarrow\quad f(x)=1+\frac{2}{x+1}$$

Krok 2 — analiza wartości. Składnik $\frac{2}{x+1}$ przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste oprócz zera (to zbiór wartości hiperboli).

Krok 3 — dodajemy $1$. Skoro $\frac{2}{x+1}\neq0$, to:

$$f(x)=1+\frac{2}{x+1}\neq1+0=1$$

Każdą inną wartość funkcja osiąga. $\qquad ∎$

Wniosek. $ZW=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ — wartość $1$ to asymptota pozioma, nieosiągalna dla żadnego argumentu.

Sprawdzenie: gdyby $f(x)=1$, to $\frac{2}{x+1}=0$ — a ułamek o niezerowym liczniku nigdy nie jest zerem ✔