Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$y=a\cdot b^x$ modeluje wzrost lub rozpad (np. procent składany, rozpad promieniotwórczy).
$\log_a b=c$ oznacza $a^c=b$. Skale logarytmiczne to m.in. pH i decybele.
$K_n=K_0(1+p)^n$, gdzie $p$ to oprocentowanie, a $n$ liczba okresów.
Wzrost populacji, odsetki bankowe, natężenie dźwięku.
Co robi: sprowadza równanie wykładnicze (lub logarytmiczne) do kwadratowego przez podstawienie nowej zmiennej.
Elementy: podstawiamy $t=a^x$ z warunkiem $t>0$ (albo $t=\log_a x$ bez ograniczeń). Po rozwiązaniu równania kwadratowego wracamy do zmiennej $x$.
Przykład: $4^x-5\cdot 2^x+4=0$. Ponieważ $4^x=(2^x)^2$, podstawiamy $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$, skąd $t=1$ lub $t=4$, czyli $x=0$ lub $x=2$.
Pułapka: po rozwiązaniu odrzuć pierwiastki $t\le 0$ — funkcja wykładnicza nie przyjmuje takich wartości. Zapomnienie o warunku $t>0$ daje fałszywe rozwiązania.
Ile wynosi $\log_2 8$?
Populacja bakterii podwaja się co godzinę. Początkowo jest $100$. Ile po $3$ godzinach?
Rozwiąż równanie $4^x=8^{x-1}$.
Ile wynosi $\log_{10}1000$?
Rozwiąż równanie $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$.
Oblicz $\log_3 27$.
Rozwiąż nierówność $\left(\tfrac13\right)^{2x-1}\gt 27$.
Kapitał $1000$ zł rośnie o $10\%$ rocznie. Ile wyniesie po $2$ latach?
Rozwiąż nierówność $\log_{\frac12}(x-2)\ge-3$.
Rozwiąż równanie $2^x=16$.
Masę substancji (w gramach) po $t$ dobach opisuje wzór $m(t)=5\cdot0{,}8^{\,t}$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa substancji po raz pierwszy będzie mniejsza od $1$ grama.
Oblicz $\log_2 32$.
Temperatura kawy (w $^\circ$C) po $t$ minutach jest równa $T(t)=20+60\cdot k^t$. Po $10$ minutach kawa ma $50^\circ$C. Oblicz temperaturę kawy po $20$ minutach.
Bakterie podwajają się co godzinę, początkowo $200$. Ile po $2$ h?
Wykaż, że jeżeli $\log_23=a$, to $\log_624=\dfrac{a+3}{a+1}$.
$\log_{10}10000$ wynosi:
Rozwiąż równanie $9^x-4\cdot3^x+3=0$.
Rozwiąż $3^x=81$.
Rozwiąż nierówność $\log_2x+\log_2(x-2)\lt 3$.
Kapitał $2000$ zł, $5\%$ rocznie. Ile po roku?
Rozwiąż równanie $\log_2(x^2-1)=2+\log_2(x-1)$.
Oblicz $\log_5 25$.
Substancja rozpada się o połowę co godzinę, początkowo $80$ g. Ile po $3$ h?
$\log_a 1$ wynosi:
Rozwiąż $2^x=64$.
Oblicz $\log_2 8+\log_2 2$.
Kapitał $1000$ zł, $10\%$ rocznie. Ile po $2$ latach?
Rozwiąż $\log_2 x=5$.
Trzęsienie magnitudy $7$ vs $5$ — ile razy silniejsze (×10 na jednostkę)?
Populacja rośnie o $20\%$ rocznie, początkowo $500$. Ile po $2$ latach?
Liczebność populacji bakterii zmienia się zgodnie z zależnością $N(t)=N_0\cdot k^t$ dla $t\ge0$ ($t$ — czas w godzinach). W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność wynosiła $10\,000$, a po dwóch godzinach — $15\,625$. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność tej populacji w ciągu każdej godziny.
Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze $22\,^{\circ}\mathrm{C}$ opisuje funkcja $T(x)=78\cdot 2^{-0,05x}+22$, gdzie $T(x)$ to temperatura (w $^{\circ}\mathrm{C}$) po $x$ minutach. Temperatura naparu po $20$ minutach jest równa
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.