Równania wymierne

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy $x=0$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Funkcja $f(x)=\frac{a}{x}$ opisuje proporcjonalność odwrotną, a jej wykresem jest hiperbola.

Odpowiedź: B.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Zasada: dziedzinę wyznaczamy przed rozwiązaniem — to pierwszy krok każdego zadania z ułamkiem zawierającym niewiadomą.

Odpowiedź: C. $\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Mianownik nie może być zerem: $x-3\neq0$, więc $x\neq3$.

Odpowiedź: B. $x\neq3$.

Wykluczamy argument zerujący mianownik:

$$x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Zatem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Uwaga: licznik nie wpływa na dziedzinę — liczy się tylko mianownik.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy przez $x$:

$$6=3x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $2\neq0$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Mianownik $\neq0$:

$$x+2\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq-2$$

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.

1. $3x-6=2x+5 \Rightarrow x=11$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — ktoś napisał $3x-2$ (nie wymnożył całego nawiasu).

Podstawiamy kolejne argumenty:

$$f(2)=\frac{6}{2}=3$$

$$f(3)=\frac{6}{3}=2$$

$$f(-6)=\frac{6}{-6}=-1$$

Obserwacja: iloczyn argumentu i wartości jest stały: $2\cdot3=6$, $3\cdot2=6$, $(-6)\cdot(-1)=6$ — to cecha proporcjonalności odwrotnej.

Odpowiedź: $f(2)=3$, $f(3)=2$, $f(-6)=-1$.

Krok 1 — mianownik różny od zera:

$$x^2-9\neq0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)\neq0$$

Krok 2 — wykluczamy oba pierwiastki:

$$x\neq3 \quad\text{i}\quad x\neq-3$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\ 3\}$$

Uwaga: rozkład mianownika na czynniki ujawnia oba miejsca zerowe — łatwo przeoczyć jedno, patrząc tylko na $x^2=9$.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\ 3\}$.

$$\frac{2x}{4x^2}=\frac{2x}{4x\cdot x}=\frac{1}{2x}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{2x}$.

1. $x-3=0 \Rightarrow x=3$; $x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
2. $x^2+4=0$ nie ma rozwiązań ($x^2\ge0$). Razem dwa rozwiązania.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — z czynnika $x^2+4$ „wyszły” liczby $\pm2$, a przecież $x^2=-4$ jest niemożliwe.

Gdy $a>0$, dla $x>0$ wartość $\frac{a}{x}$ jest dodatnia (ćwiartka pierwsza), a dla $x<0$ ujemna (ćwiartka trzecia).

Sprawdźmy na przykładzie $f(x)=\frac{2}{x}$:

$$f(1)=2 \ (\text{I ćw.}),\qquad f(-1)=-2 \ (\text{III ćw.})$$

Dla porównania: gdy $a<0$, hiperbola leży w ćwiartkach drugiej i czwartej.

Odpowiedź: C. pierwszej i trzeciej.

Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem, a mianownik różny od zera:

$$x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Dla $x=2$ mianownik wynosi $7\neq0$, więc warunek jest spełniony.

Uwaga: $x=-5$ zeruje mianownik — to punkt wykluczony z dziedziny, a nie rozwiązanie.

Odpowiedź: B. $x=2$.

Licznik to różnica kwadratów: $x^2-4=(x-2)(x+2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$$

Odpowiedź: C. $x+2$.

1. Dziedzina: $x\ne1$. Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem: $x=-2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B/C — $x=1$ zeruje mianownik, więc nie należy do dziedziny.

Krok 1 — założenia. Mianownik nie może być zerem:

$$9x^2\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq0$$

Krok 2 — skracamy. W liczniku i mianowniku wyłączamy wspólne czynniki $3$ i $x$:

$$\frac{6x}{9x^2}=\frac{3x\cdot2}{3x\cdot3x}=\frac{2}{3x}$$

Uwaga: założenie $x\neq0$ trzeba podać na początku, przed skróceniem — po skróceniu informacja o tym, że $x$ było w mianowniku, mogłaby zniknąć.

Odpowiedź: $\frac{2}{3x}$ dla $x\neq0$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem:

$$x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $-3\neq1$ ✔

Odpowiedź: $x=-3$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy przez $x$:

$$6=3x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — $x=2$ jest w dziedzinie ✔

Odpowiedź: $x=2$.

1. Dziedzina: $x\ne-3$.
2. Licznik: $x^2-9=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=-3$; odrzucamy $-3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pominięta dziedzina.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik to $2x$:

$$\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $\frac11+\frac12=\frac32$, a nasz wynik $\frac{3}{2\cdot1}=\frac32$ ✔

Odpowiedź: $\frac{3}{2x}$.

Licznik $3$ jest dodatni, więc znak ułamka zależy tylko od mianownika. Ułamek jest dodatni, gdy mianownik jest dodatni:

$$x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

Odpowiedź: A. $x>2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — mnożymy przez $(x-1)$:

$$x+1=2(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+1=2x-2$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$3=x$$

Krok 4 — $x=3$ jest w dziedzinie ✔

Odpowiedź: $x=3$.

1. Mnożymy „na krzyż”: $3(x-1)=2x+3 \Rightarrow 3x-3=2x+3 \Rightarrow x=6$.
2. Sprawdzenie dziedziny: $2\cdot6+3\ne0$ ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — przy mnożeniu na krzyż pomnożono tylko $x$, a nie cały licznik.

Mnożenie ułamków: licznik przez licznik, mianownik przez mianownik:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{x}=\frac{2\cdot9}{3\cdot x}=\frac{18}{3x}$$

Skracamy przez $3$:

$$\frac{18}{3x}=\frac{6}{x}$$

Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej, więc $\frac{18}{3x}$ (odpowiedź C) nie jest formą ostateczną.

Odpowiedź: D. $\frac{6}{x}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — przenosimy $\frac13$ na prawo:

$$\frac{2}{x}=1-\frac13=\frac23$$

Krok 3 — mnożymy na krzyż:

$$2\cdot3=2\cdot x \quad\Rightarrow\quad 6=2x \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $3\neq0$ ✔

Sprawdzenie: $\frac23+\frac13=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

$x^2-1=0$ dla $x=\pm1$, więc te liczby wykluczamy.

Odpowiedź: A. $-1$ i $1$.

1. Rozwiązania: $x=4$, $x=-m$, $x=3$.
2. $4+3+(-m)=5 \Rightarrow m=2$ (wtedy rozwiązania $4,-2,3$ są różne, suma $5$ ✓).

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — z czynnika $(x+m)$ odczytane $x=m$ zamiast $x=-m$; C — z $(2x-6)$ odczytane $x=6$.

Zasada: dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

$$\frac{x}{4}:\frac{x}{8}=\frac{x}{4}\cdot\frac{8}{x}$$

Mnożymy i skracamy. Skraca się $x$ oraz $8$ z $4$:

$$\frac{x\cdot8}{4\cdot x}=\frac{8}{4}=2$$

Sprawdzenie dla $x=4$: $\frac44:\frac48=1:\frac12=2$ ✔

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — mianowniki są równe, więc porównujemy liczniki:

$$x=4$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $4\neq2$ ✔

Uwaga na pułapkę. Gdyby wyszło $x=2$, trzeba by je odrzucić jako sprzeczne z dziedziną. Tutaj $x=4$ jest poprawne.

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — wspólny mianownik $2x$:

$$\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}$$

Krok 2 — dodajemy:

$$\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$$

Odpowiedź: $\frac{3}{2x}$.

1. $\dfrac{x(x+3)}{(x+3)^2}\cdot\dfrac{x+3}{x}$ — w liczniku $x(x+3)^2$, w mianowniku $x(x+3)^2$.
2. Po skróceniu zostaje $1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — nie zauważono, że $x^2+6x+9=(x+3)^2$.

Krok 1 — założenie: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $x$:

$$6=3x$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=2$$

Krok 4 — sprawdzamy założenie: $2\neq0$ ✔, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $\frac{6}{2}=3$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Licznik jest dodatni, więc ułamek jest dodatni tylko dla dodatniego mianownika:

$$x>0$$

Uwaga: dla $x<0$ ułamek jest ujemny, a $x=0$ jest wykluczone z dziedziny.

Odpowiedź: D. $x>0$.

Krok 1 — mnożymy na krzyż:

$$6x=3\cdot4=12$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=2$$

Odpowiedź: $x=2$.

1. 1. Dla $x\ne2$: $x=2$ — sprzeczność z dziedziną, więc równanie nie ma rozwiązań — fałsz.
2. 2. $(x-1)^2(x+2)=0 \Rightarrow x=1$ lub $x=-2$ — dwa różne rozwiązania — prawda.

Odpowiedź: F, P

Asymptota pionowa występuje tam, gdzie mianownik dąży do zera, czyli w $x=0$. Gdy $x$ zbliża się do zera, wartości „uciekają” do nieskończoności.

Asymptota pozioma to $y=0$ — gdy $x$ rośnie nieograniczenie, ułamek $\frac1x$ dąży do zera, ale nigdy go nie osiąga.

Wykres nigdy nie dotyka żadnej z osi układu współrzędnych.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — miejsca zerowe licznika i mianownika:

$$x=3 \quad\text{(licznik)},\qquad x=-1 \quad\text{(mianownik)}$$

Krok 3 — analiza znaków w przedziałach. Ułamek ma znak iloczynu $(x-3)(x+1)$, bo dzielenie i mnożenie dają ten sam wzór znaków:

• $x<-1$: $(-)(-)=+$ ✔
• $-1
• $x>3$: $(+)(+)=+$ ✔

Krok 4 — zbiór rozwiązań:

$$x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$$

Kluczowa sztuczka. Nierówność $\frac{L}{M}>0$ ma to samo rozwiązanie co $L\cdot M>0$ — zamieniamy dzielenie na mnożenie, bo obie operacje dają ten sam znak.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.

Dzielimy każdy składnik licznika przez $3$:

$$\frac{3x+6}{3}=\frac{3x}{3}+\frac{6}{3}=x+2$$

Odpowiedź: D. $x+2$.

1. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $2x(x-5)-3(x-5)=0$.
2. Wyłączamy $(x-5)$: $(x-5)(2x-3)=0$.
3. $x=5$ lub $x=\dfrac32$.

Odpowiedź: $x=5$ lub $x=\dfrac32$

Wskazówka: Nigdy nie dziel obu stron przez wyrażenie z niewiadomą — tak ginie rozwiązanie $x=5$.

Krok 1 — wspólny mianownik to iloczyn $x(x+1)$:

$$\frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)},\qquad \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)}$$

Krok 2 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{3(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{3x+3-x}{x(x+1)}=\frac{2x+3}{x(x+1)}$$

Uwaga na nawias: odejmujemy cały licznik $x$, dlatego $3(x+1)$ rozwijamy przed odjęciem.

Odpowiedź: $\frac{2x+3}{x(x+1)}$.

Mnożenie nierówności przez wyrażenie zmiennego znaku jest niebezpieczne — nie wiadomo, czy odwrócić znak nierówności.

Dlatego nierówności wymierne rozwiązujemy inaczej: przenosimy wszystko na jedną stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika i badamy znak ilorazu (równoważnie iloczynu licznika i mianownika).

Wyjątek: gdy mianownik ma stały znak (np. $x^2+1>0$ zawsze), można mnożyć bezpiecznie.

Odpowiedź: B. tylko przez wyrażenie o znanym znaku.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — sumujemy lewą stronę:

$$\frac{3}{x}=\frac{3}{4}$$

Krok 3 — porównujemy liczniki (równe mianowniki po wykrzyżowaniu): $x=4$.

Krok 4 — $4$ w dziedzinie ✔

Odpowiedź: $x=4$.

1. Dziedzina: $x\ne1$ i $x\ne2$.
2. Mnożymy na krzyż: $(x+3)(x-2)=(x+1)(x-1)$.
3. $x^2+x-6=x^2-1 \Rightarrow x=5$.
4. $5$ należy do dziedziny, więc $x=5$.

Odpowiedź: $x=5$

Krok 1 — założenie: $x-1\neq0$, czyli $x\neq1$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $(x-1)$:

$$x+2=2(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$x+2=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 4=x$$

Krok 4 — sprawdzamy założenie: $4\neq1$ ✔

Sprawdzenie: $\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$1\cdot(x+1)=2\cdot(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x+1=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 3=x$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $3\neq\pm1$ ✔

Sprawdzenie: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — wyłączamy $x$ w liczniku:

$$\frac{x(x+3)}{x}$$

Krok 2 — skracamy $x$:

$$=x+3$$

Odpowiedź: $x+3$.

Podstawiamy znane wartości do wzoru $y=\frac{a}{x}$:

$$4=\frac{a}{3} \quad\Rightarrow\quad a=12$$

Współczynnik $a$ to stały iloczyn: $a=x\cdot y=3\cdot4=12$.

Sprawdzenie: $y=\frac{12}{3}=4$ ✔

Odpowiedź: B. $a=12$.

Krok 1 — dziedzina:

$$x-3\neq0 \quad\Rightarrow\quad D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$

Krok 2 — miejsca zerowe. Zerujemy licznik:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=-2$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę. Oba pierwiastki należą do dziedziny ($\neq3$), więc oba są miejscami zerowymi.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$; miejsca zerowe $x=-2$ i $x=2$.

Ułamek jest zerem tylko gdy licznik = 0, ale tu licznik to $1\neq0$. Nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: B. nie ma rozwiązań.

Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:

$$x^2-9=0$$

Rozkładamy na czynniki:

$$(x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-3$$

Zatem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$$

Uwaga: wykluczamy obie liczby. Częsty błąd to znalezienie tylko jednego pierwiastka.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$.

Licznik $2$ jest dodatni, więc ułamek jest ujemny tylko dla ujemnego mianownika:

$$x<0 \quad\Rightarrow\quad x\in(-\infty,0)$$

Odpowiedź: C. $x<0$.

$$\frac{2}{x}\cdot\frac{x}{5}=\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$$

Odpowiedź: A. $\frac{2}{5}$.

Krok 1 — założenie: $x+2\neq0$, czyli $x\neq-2$.

Krok 2 — rozkładamy licznik wzorem na różnicę kwadratów:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 3 — skracamy przez $(x+2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$$

Ważne: mimo że po skróceniu zostaje samo $x-2$, założenie $x\neq-2$ obowiązuje nadal — funkcja nie jest określona w tym punkcie.

Odpowiedź: $x-2$ dla $x\neq-2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — łączymy ułamki o wspólnym mianowniku:

$$\frac{x+1}{x-1}=3$$

Krok 3 — mnożymy przez $(x-1)$:

$$x+1=3(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+1=3x-3$$

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$4=2x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 5 — sprawdzamy dziedzinę: $2\neq1$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$3(x+2)=5x \quad\Rightarrow\quad 3x+6=5x$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$6=2x \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 4 — $x=3$ w dziedzinie ✔

Odpowiedź: $x=3$.

To wykres podstawowej hiperboli $y=\frac1x$ po przesunięciu o wektor.

Zmiana w mianowniku $x-3$ oznacza przesunięcie o $3$ w prawo (minus w nawiasie działa „na odwrót”).

Składnik $+2$ na zewnątrz to przesunięcie o $2$ w górę.

Nowe asymptoty to $x=3$ (pionowa) i $y=2$ (pozioma).

Odpowiedź: C. o $3$ w prawo i $2$ w górę.

Rozkładamy mianownik:

$$x^2-x=x(x-1)$$

Zeruje się dla $x=0$ oraz $x=1$ — oba punkty są wykluczone z dziedziny.

Uwaga: $x=-1$ zeruje licznik, ale to dozwolone — daje po prostu miejsce zerowe, a nie punkt spoza dziedziny.

Odpowiedź: A. $0$ i $1$.

Zauważamy, że $5-x=-(x-5)$:

$$\frac{x-5}{-(x-5)}=-1$$

Odpowiedź: C. $-1$.

Krok 1 — założenie: $x\neq0$.

Krok 2 — dodajemy ułamki po lewej (mają ten sam mianownik):

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{5}{x}=\frac{5}{4}$$

Krok 4 — porównujemy. Skoro liczniki są równe, równe muszą być mianowniki:

$$x=4$$

Krok 5 — sprawdzamy założenie: $4\neq0$ ✔

Sprawdzenie: $\frac24+\frac34=\frac54$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — lewa strona na wspólnym mianowniku:

$$\frac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x^2+x}$$

Krok 3 — mnożymy na krzyż:

$$6(2x+1)=5\left(x^2+x\right)$$

Krok 4 — porządkujemy do równania kwadratowego:

$$12x+6=5x^2+5x \quad\Rightarrow\quad 5x^2-7x-6=0$$

Krok 5 — wyróżnik i pierwiastki:

$$\Delta=49+120=169,\qquad \sqrt{\Delta}=13$$

$$x_1=\frac{7-13}{10}=-\frac35,\qquad x_2=\frac{7+13}{10}=2$$

Krok 6 — sprawdzamy dziedzinę. Oba pierwiastki są różne od $0$ i $-1$, więc oba są poprawne.

Odpowiedź: $x=-\frac35$ lub $x=2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$ i $x\neq-1$.

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$1\cdot(x+1)=2(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+1=2x-2$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$3=x$$

Krok 4 — $x=3$ w dziedzinie ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — założenie: $x-2\neq0$, czyli $x\neq2$.

Krok 2 — mianowniki są równe, więc równe muszą być liczniki:

$$x=4$$

Krok 3 — konfrontujemy z założeniem: $4\neq2$ ✔, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.

Sprawdzenie: $\frac{4}{4-2}=\frac{4}{2}=2$ po obu stronach ✔

Dlaczego sprawdzenie założenia jest kluczowe: gdyby wyszło $x=2$, musielibyśmy je odrzucić — mimo poprawnego rachunku równanie nie miałoby rozwiązania.

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — miejsca zerowe:

$$x=-2 \ \text{(licznik)},\qquad x=1 \ \text{(mianownik)}$$

Krok 3 — znak ilorazu w przedziałach:

• $x<-2$: $\frac{(-)}{(-)}=+$
• $-2
• $x>1$: $\frac{(+)}{(+)}=+$

Krok 4 — uwzględniamy równość. Nierówność jest nieostra ($\le$), więc dołączamy miejsce zerowe licznika $x=-2$. Ale $x=1$ wykluczamy — tam mianownik się zeruje.

$$x\in\langle-2,\ 1)$$

Kluczowa różnica. Pierwiastek licznika może być domknięty (ułamek równy zeru jest dozwolony przy $\le$), ale pierwiastek mianownika nigdy — to punkt spoza dziedziny.

Odpowiedź: $x\in\langle-2,\ 1)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — równe mianowniki → porównujemy liczniki:

$$x=2$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę. Otrzymane $x=2$ jest WYKLUCZONE z dziedziny!

Wniosek. Równanie nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań (przy uwzględnieniu dziedziny).

Krok 1 — wydajności godzinowe. W ciągu godziny pierwszy maluje $\frac16$ ściany, a drugi $\frac{1}{12}$.

Krok 2 — wspólna wydajność to suma:

$$\frac16+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac14$$

Razem malują $\frac14$ ściany na godzinę.

Krok 3 — czas na całą ścianę to odwrotność wydajności:

$$t=\frac{1}{\frac14}=4\ \text{godziny}$$

Kontrola sensu: we dwóch muszą uporać się szybciej niż szybszy z nich w pojedynkę ($6$ h), więc $4$ h to wynik sensowny.

Odpowiedź: razem pomalują ścianę w $4$ godziny.

Krok 1 — wydajności. W ciągu jednego dnia pierwsza ekipa wykonuje $\frac16$ pracy, druga $\frac{1}{12}$.

Krok 2 — równanie. Niech $x$ to liczba dni wspólnej pracy. Razem wykonają całość, czyli $1$:

$$\frac{x}{6}+\frac{x}{12}=1$$

Krok 3 — mnożymy przez $12$:

$$2x+x=12 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Kontrola sensu. Wspólny czas ($4$ dni) musi być krótszy od czasu szybszej ekipy ($6$ dni) — i jest ✔

Typ zadania. To klasyczne „zadanie o wspólnej pracy” — dodajemy wydajności (odwrotności czasów), a nie same czasy.

Odpowiedź: $4$ dni.

Krok 1 — wydajności. Pierwsza robi $\frac16$ płotu na godzinę, druga $\frac13$.

Krok 2 — równanie. W czasie $t$ razem wykonają cały płot (= $1$):

$$\frac{t}{6}+\frac{t}{3}=1$$

Krok 3 — mnożymy przez $6$:

$$t+2t=6 \quad\Rightarrow\quad 3t=6 \quad\Rightarrow\quad t=2$$

Odpowiedź: razem w $2$ godziny.

Krok 1 — założenia: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika $(x-1)(x+1)=x^2-1$:

$$\frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{2x}{x^2-1}=\frac12$$

Krok 4 — mnożymy na krzyż:

$$2\cdot2x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad 4x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad x^2-4x-1=0$$

Krok 5 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=16+4=20,\qquad \sqrt{\Delta}=2\sqrt5$$

$$x=\frac{4\pm2\sqrt5}{2}=2\pm\sqrt5$$

Krok 6 — sprawdzamy założenia. Oba pierwiastki ($2+\sqrt5\approx4{,}24$ oraz $2-\sqrt5\approx-0{,}24$) są różne od $1$ i $-1$, więc oba są dopuszczalne.

Odpowiedź: $x=2+\sqrt5$ lub $x=2-\sqrt5$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy przez $x$:

$$x^2+1=x$$

Krok 3 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-x+1=0$$

Krok 4 — badamy wyróżnik:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0$$

Krok 5 — wniosek. Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych, więc równanie nie ma rozwiązań. $\qquad ∎$

Sposób alternatywny. Uzupełniając do kwadratu: $x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0$ — wyrażenie nigdy się nie zeruje. Ten sposób pokazuje dodatkowo, że lewa strona jest zawsze dodatnia.

Krok 1 — upraszczamy ułamek (wyłączamy $x$ w liczniku):

$$\frac{x^2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1$$

Krok 2 — odejmujemy $x$:

$$(x+1)-x=1$$

Krok 3 — wniosek. Wynik nie zależy od $x$ — jest równy $1$ dla każdego $x\neq0$. $\quad∎$

Sprawdzenie dla $x=4$: $\frac{20}{4}-4=5-4=1$ ✔

Krok 1. Wyznaczenie dziedziny równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik nie może być równy zero:
$$3x-1\neq0 \\
3x\neq1 \\
x\neq\frac{1}{3}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Do równania można podejść na różne sposoby, ale w tego typu przypadkach najlepiej sprawdzi się mnożenie na krzyż:
$$5(x+2)=2(3x-1) \\
5x+10=6x-2 \\
-x=-12 \\
x=12$$

Otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami, więc poszukiwanym rozwiązaniem jest \(x=12\).

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), dlatego też wartość mianownika musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$(x+2)(x-3)\neq0 \\
x+2\neq0 \quad\land\quad x-3\neq0 \\
x\neq-2 \quad\land\quad x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz przystępujemy do rozwiązania naszego równania, a zaczynamy od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). W związku z tym:
$$\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0 \quad\bigg/\cdot(x+2)(x-3) \\
x+1=0 \\
x=-1$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W tym przypadku rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim liczba \(-1\).

Założenie: $x-1\ne 0$ i $2x-2\ne 0$, czyli $x\ne 1$.

Ponieważ $2x-2=2(x-1)$, mnożymy obie strony przez $2(x-1)$: $2(x+3)=x$.

$2x+6=x\Rightarrow x=-6$. Warunek $x\ne 1$ jest spełniony.

Rozwiązanie

Dziedzina wyklucza $x=1$ i $x=-1$. Licznik zeruje się tylko dla $x=-1$ lub $x=1$ — obie wartości poza dziedziną. Brak rozwiązań.

Odpowiedź: A

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$

Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2 \\
(x+1)(x-1)^2=0$$

Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0 \\
x=-1 \quad\lor\quad x=1$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.