Wzory skróconego mnożenia dla wielomianów

Stopień to najwyższa potęga zmiennej:

$$\deg W=4$$

Odpowiedź: C. $4$.

Współczynnik przy $x^2$: $-4$.

Wyraz wolny (bez $x$): $-8$.

Odpowiedź: $-4$ oraz $-8$.

1. $(x-4)^2=x^2-2\cdot x\cdot4+16=x^2-8x+16$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pomylenie z różnicą kwadratów; D — wyraz środkowy bez podwojenia.

Mnożymy każdy wyraz przez każdy:

$$x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$$

Odpowiedź: $x^2+7x+10$.

1. $(2a)^2+2\cdot2a\cdot3+3^2=4a^2+12a+9$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? B — brak podwojenia; D — $(2a)^2$ policzone jako $2a^2$.

Przy mnożeniu stopnie się dodają:

$$3+2=5$$

Odpowiedź: B. $5$.

1. Różnica kwadratów: $(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2=7-3=4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — dodane zamiast odjętych kwadratów; D — pomylenie z $(\sqrt7-\sqrt3)^2$.

Wiersze trójkąta Pascala (numerując od $n=0$):

$$n=0:\ 1$$

$$n=1:\ 1\ 1$$

$$n=2:\ 1\ 2\ 1$$

$$n=3:\ 1\ 3\ 3\ 1$$

Odpowiedź: $1,\ 3,\ 3,\ 1$.

1. $A=2a-5$, $B=2a+5$: $A-B=-10$, $A+B=4a$.
2. $(A-B)(A+B)=-10\cdot4a=-40a$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — zgubione wyrazy $\pm20a$; C — zostały tylko wyrazy wolne ze złym znakiem.

Współczynniki bierzemy z trójkąta Pascala ($1,3,3,1$):

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Odpowiedź: A.

1. $x^2-6x+9=(x-3)^2$ — pełny kwadrat.
2. Dla $x=3+\sqrt5$: $(\sqrt5)^2=5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — policzone tylko $x^2$; zwinięcie do kwadratu skraca rachunek do jednej linijki.

Krok 1 — mnożymy każdy wyraz:

$$x^3+x^2+x-x^2-x-1$$

Krok 2 — redukujemy:

$$x^3-1$$

Rozpoznanie: to wzór na różnicę sześcianów $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Odpowiedź: $x^3-1$.

1. $(\sqrt5)^2-2\cdot\sqrt5\cdot1+1^2=5-2\sqrt5+1=6-2\sqrt5$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — potraktowane jak różnica kwadratów; C — zgubiony wyraz $2ab$.

Krok 1 — wzór na sześcian sumy (współczynniki $1,3,3,1$):

$$(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot4+8$$

Krok 2 — obliczamy:

$$=x^3+6x^2+12x+8$$

Odpowiedź: $x^3+6x^2+12x+8$.

1. $x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ — wzór na różnicę sześcianów.
2. Kontrola dla $x=3$: $27-8=19$ oraz $1\cdot(9+6+4)=19$ ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — zły znak w drugim nawiasie; D — to rozkład sumy $x^3+8$.

$$1+4+6+4+1=16=2^4$$

Reguła: suma wiersza $n$ trójkąta Pascala wynosi $2^n$.

Odpowiedź: D. $16$.

1. 1. Wzór $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$ — prawda.
2. 2. $(1+\sqrt2)^2+(1-\sqrt2)^2=(3+2\sqrt2)+(3-2\sqrt2)=6$ — liczba wymierna, więc zdanie jest fałszywe.

Odpowiedź: P, F

Zasada równości wielomianów. Równe współczynniki przy tych samych potęgach:

$$\text{przy } x^2:\ b=2$$

$$\text{przy } x^1:\ a=-5$$

$$\text{wyraz wolny:}\ 3=3 \ ✔$$

Odpowiedź: $a=-5$, $b=2$.

1. Mnożymy przez sprzężenie $\sqrt5+1$: $\dfrac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}=\dfrac{4(\sqrt5+1)}{5-1}$.
2. $=\sqrt5+1$.

Odpowiedź: $\sqrt5+1$

Wielomian stopnia $2$ nie ma wyrazu z $x^3$, więc współczynnik przy $x^3$ wynosi zero.

Odpowiedź: B. $0$.

1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, więc $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=36-8=28$.
2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=28-8=20$.
3. Nie trzeba wyznaczać $a$ i $b$ — wystarczą wzory skróconego mnożenia.

Odpowiedź: $a^2+b^2=28$, $(a-b)^2=20$

Krok 1 — mnożymy $2x$ przez każdy wyraz:

$$2x^3-2x^2+8x$$

Krok 2 — mnożymy $-3$ przez każdy wyraz:

$$-3x^2+3x-12$$

Krok 3 — dodajemy i redukujemy:

$$2x^3-5x^2+11x-12$$

Kontrola dla $x=1$: lewa $(-1)(4)=-4$, prawa $2-5+11-12=-4$ ✔

Odpowiedź: $2x^3-5x^2+11x-12$.

Każdy wyraz to suma dwóch nad nim. Z wiersza $n=4$ ($1,4,6,4,1$):

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Sprawdzenie sumą: $1+5+10+10+5+1=32=2^5$ ✔

Odpowiedź: $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$.

Współczynniki $1,3,3,1$, znaki na przemian (bo różnica):

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

Odpowiedź: A.

Krok 1 — stopień iloczynu. Stopnie się dodają:

$$2+3=5$$

Krok 2 — współczynnik wiodący to iloczyn współczynników wiodących czynników:

$$2\cdot3=6$$

Sprawdzenie: najwyższy wyraz to $2x^2\cdot3x^3=6x^5$ ✔

Odpowiedź: stopień $5$, współczynnik wiodący $6$.

Wielomianowi zerowemu nie przypisuje się stopnia (albo umownie $-\infty$).

Uwaga: wielomian stały niezerowy (np. $W(x)=5$) ma stopień $0$, ale wielomian zerowy to przypadek szczególny.

Odpowiedź: C. nieokreślony.

Krok 1 — współczynniki z wiersza $n=4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$.

Krok 2 — składamy rozwinięcie (potęgi $x$ maleją od $4$):

$$(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$

Sprawdzenie dla $x=1$: lewa $2^4=16$, prawa $1+4+6+4+1=16$ ✔

Zaleta trójkąta Pascala: nie trzeba mnożyć czterech nawiasów — współczynniki odczytujemy wprost.

Odpowiedź: $x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.

Krok 1 — z $W(0)=2$:

$$c=2$$

Krok 2 — z $W(1)=6$:

$$1+a+b+c=6 \quad\Rightarrow\quad a+b=3$$

Krok 3 — z $W(-1)=0$:

$$-1+a-b+c=0 \quad\Rightarrow\quad a-b=-1$$

Krok 4 — układ równań. Dodajemy:

$$2a=2 \quad\Rightarrow\quad a=1,\qquad b=2$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3+x^2+2x+2$, $W(1)=1+1+2+2=6$ ✔

Odpowiedź: $a=1$, $b=2$, $c=2$.

Krok 1 — współczynniki z wiersza $n=5$: $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$.

Krok 2 — potęgi $x$ maleją od $5$, potęgi $y$ rosną od $0$:

$$(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$$

Kontrola. W każdym wyrazie suma wykładników $x$ i $y$ wynosi $5$ — to cecha rozwinięcia dwumianu ✔

Sprawdzenie dla $x=y=1$: lewa $2^5=32$, prawa $1+5+10+10+5+1=32$ ✔

Odpowiedź: $x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$.

Krok 1 — ogólna postać wielomianu:

$$W(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$$

Suma współczynników to $a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0$.

Krok 2 — podstawiamy $x=1$. Każda potęga jedynki to $1$:

$$W(1)=a_n\cdot1+a_{n-1}\cdot1+\ldots+a_1\cdot1+a_0$$

Krok 3 — wniosek:

$$W(1)=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0 \qquad ∎$$

To dokładnie suma współczynników.

Zastosowanie. W rozwinięciu $(x+1)^4$ suma współczynników to $2^4=16$ — bo podstawiając $x=1$ dostajemy $(1+1)^4$. Sprawdzenie: $1+4+6+4+1=16$ ✔

Rozwiązanie

$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $[(2a-3)-(2a+3)][(2a-3)+(2a+3)]=(-6)(4a)=-24a$.

Odpowiedź: A