Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$ — widać $c$, czyli punkt przecięcia z osią $OY$.
Kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ — widać wierzchołek $W=(p,q)$.
Iloczynowa: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ — widać miejsca zerowe (istnieje przy $\Delta\ge0$).
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}$$
W praktyce bezpieczniej policzyć $p$, a potem po prostu $q=f(p)$ — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — np. znaki: oba dodatnie gdy suma i iloczyn są dodatnie, różnych znaków gdy iloczyn jest ujemny. Przydatna tożsamość: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.
Wyznaczamy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy przedziały. Dla $a>0$: nierówność $>0$ daje dwa przedziały zewnętrzne, $<0$ — jeden wewnętrzny.
Równania niezupełne rozwiązuj bez delty: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm3$; $x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — stracisz rozwiązanie $x=0$. W zadaniach z parametrem najpierw sprawdź warunek na $\Delta$.
Dla równania $ax^2+bx+c=0$ o pierwiastkach $x_1$, $x_2$:
$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$
Dla $a=1$ upraszcza się to do: suma $=-b$, iloczyn $=c$.
Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — poznać ich sumę, iloczyn, znaki czy wartości wyrażeń symetrycznych.
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$
$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$
$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$
Każde wyrażenie symetryczne w pierwiastkach da się zapisać przez sumę i iloczyn.
Znając sumę $s$ i iloczyn $p$ pierwiastków, równanie (o wiodącym $1$) to:
$$x^2-sx+p=0$$
Wzory zakładają istnienie pierwiastków. W zadaniach z parametrem trzeba osobno sprawdzić warunek $\Delta\ge0$ — sam znak sumy i iloczynu go nie gwarantuje.
Pamiętaj o minusie w sumie ($-\frac ba$) i o dzieleniu przez $a$, gdy współczynnik wiodący jest różny od $1$.
Co robi: rozwiązuje dowolne równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$ przy $a\ne 0$.
Elementy: $\Delta$ — wyróżnik. $\Delta>0$ — dwa różne pierwiastki; $\Delta=0$ — jeden podwójny $x_0=\frac{-b}{2a}$; $\Delta<0$ — brak pierwiastków rzeczywistych.
Przykład: $2x^2-7x+3=0$: $\Delta=49-24=25$, $\sqrt{\Delta}=5$, więc $x_1=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}$, $x_2=\frac{7+5}{4}=3$.
Pułapka: równania niezupełne rozwiązuj szybciej bez delty: $x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3$; $x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — traci się rozwiązanie $x=0$.
Rozwiąż równanie $x^2-5x+6=0$.
Dla równania $x^2+bx+c=0$ o pierwiastkach $x_1$, $x_2$ suma pierwiastków wynosi:
Wyróżnik (delta) funkcji $f(x)=ax^2+bx+c$ dany jest wzorem:
Miejsca zerowe funkcji $f(x)=(x-1)(x-4)$ to:
Ile wynosi wyróżnik równania $2x^2-7x+3=0$?
Podaj sumę i iloczyn pierwiastków równania $x^2-7x+10=0$ bez ich obliczania.
Oblicz deltę funkcji $f(x)=x^2-6x+5$.
Dla $a>0$ nierówność $ax^2+bx+c>0$ jest spełniona:
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie $x^2+2x+5=0$?
Podaj wzory Viète'a dla ogólnego równania $ax^2+bx+c=0$.
Wyznacz miejsca zerowe funkcji $f(x)=x^2-6x+5$.
Rozwiąż nierówność $(x-2)(x-5)<0$.
Rozwiąż równanie $3x^2-12=0$.
Suma pierwiastków równania $2x^2-8x+6=0$ wynosi:
Ramiona paraboli $y=3x^2-x+2$ są skierowane:
Rozwiąż nierówność $x^2-9>0$.
Rozwiąż równanie $x^2-6x=0$.
Iloczyn pierwiastków równania $3x^2+5x-12=0$ wynosi ile?
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli $f(x)=x^2-4x+1$.
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\le0$.
Równanie $x^2-4x+4=0$ ma:
Jeśli iloczyn pierwiastków jest ujemny, to pierwiastki:
Ile miejsc zerowych ma funkcja, gdy $\Delta<0$?
Nierówność $x^2\ge0$ jest spełniona dla:
Nie rozwiązując równania $x^2-7x+10=0$, oblicz sumę i iloczyn jego pierwiastków.
Nie rozwiązując równania $x^2-6x+8=0$, oblicz $x_1^2+x_2^2$.
Rozwiąż równanie $x^2-7x+12=0$.
Rozwiąż nierówność $x^2\le16$.
Pierwiastki równania kwadratowego spełniają $x_1+x_2=5$ oraz $x_1x_2=6$. Oblicz $x_1^2+x_2^2$.
Napisz równanie kwadratowe (o współczynniku wiodącym $1$), którego pierwiastkami są $3$ i $-5$.
Zapisz w postaci kanonicznej funkcję $f(x)=x^2-4x+1$.
Dla $a<0$ nierówność $ax^2+bx+c<0$ jest spełniona:
Wierzchołek paraboli $f(x)=x^2-6x+5$ ma współrzędne:
Równanie $x^2+px+q=0$ ma pierwiastki $2$ i $3$. Ile wynosi $p$?
Punkt przecięcia paraboli $f(x)=x^2-4x+1$ z osią $OY$ to:
Rozwiąż nierówność $x^2+4x\ge0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-4<0$.
Nie rozwiązując równania $x^2-10x+21=0$, oblicz $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$.
Dla jakiego argumentu funkcja $f(x)=-2x^2+8x-3$ osiąga wartość największą i ile ona wynosi?
Nierówność $x^2<0$ jest spełniona:
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6>0$.
Jeśli suma pierwiastków jest dodatnia, a iloczyn dodatni, to oba pierwiastki są:
Postać iloczynowa funkcji o miejscach zerowych $2$ i $-3$ oraz $a=1$ to:
Rozwiąż nierówność $-x^2+4>0$.
Zapisz funkcję $f(x)=x^2-4x+7$ w postaci kanonicznej.
Dla jakiej wartości $m$ równanie $x^2-mx+9=0$ ma dwa równe pierwiastki?
Rozwiąż równanie $2x^2-8=0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-6x+9\le0$.
Postać iloczynowa funkcji $f(x)=x^2-x-6$ to:
Napisz równanie kwadratowe, którego pierwiastki są odwrotnościami pierwiastków równania $x^2-5x+6=0$.
Rozwiąż równanie $x^2+5x=0$.
Zbiorem rozwiązań $(x+2)(x-3)\ge0$ jest:
Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f(x)=x^2-2x+5$.
Równanie $x^2+4x+c=0$ ma jeden pierwiastek równy $1$. Drugi pierwiastek wynosi:
Osią symetrii paraboli $f(x)=x^2-4x+1$ jest prosta:
Rozwiąż nierówność $2x^2-8<0$.
Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^2+mx+4=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
Nie rozwiązując równania $x^2-8x+15=0$, oblicz $(x_1-x_2)^2$.
Rozwiąż nierówność $x^2-6x+5>0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-x-6>0$.
Rozwiąż równanie dwukwadratowe $x^4-5x^2+4=0$.
Równanie $x^2+bx+c=0$ ma pierwiastki przeciwne. Wtedy:
Ile miejsc zerowych ma funkcja $f(x)=x^2-6x+9$?
Nierówność $(x-1)^2>0$ jest spełniona dla:
Obwód prostokąta wynosi $20$ cm, a jego pole $21$ cm². Oblicz długości boków tego prostokąta.
Dla jakich wartości $m$ oba pierwiastki równania $x^2-(m+1)x+m=0$ są dodatnie?
Rozwiąż nierówność $-x^2+4x-3\ge0$.
Dla jakich $x$ funkcja $f(x)=x^2-4x+3$ przyjmuje wartości ujemne?
Miejsca zerowe funkcji $f(x)=-x^2+4x$ to:
Pierwiastki $x_1$, $x_2$ równania $x^2-6x+m=0$ spełniają warunek $x_1^2+x_2^2=20$. Wyznacz $m$.
Suma dwóch liczb wynosi $10$. Jaki jest największy możliwy iloczyn tych liczb?
Rozwiąż nierówność $x^2+2x+5>0$.
Dla jakiej wartości parametru $m$ równanie $x^2-6x+m=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie?
Suma kwadratów pierwiastków równania $x^2+px+12=0$ wynosi $25$. Wyznacz wszystkie możliwe wartości $p$.
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku $W=(1,-4)$ przechodząca przez punkt $(3,0)$.
Dla jakich $x$ wyrażenie $\sqrt{x^2-4}$ jest określone (w liczbach rzeczywistych)?
Rozwiąż nierówność $2x^2-8x\le 0$ i zapisz zbiór rozwiązań w postaci przedziału.
Wykaż, że jeśli równanie $x^2+bx+c=0$ ma dwa pierwiastki dodatnie, to $b<0$ oraz $c>0$.
Wykaż, że funkcja $f(x)=x^2+2x+5$ przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.
Wykaż, że nierówność $x^2-2x+1\ge0$ jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.