Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
W równaniu lub nierówności występuje dodatkowa litera (parametr, zwykle $m$). Pytamy, dla jakich jej wartości spełniony jest zadany warunek. Kluczem jest zwykle delta.
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne pierwiastki}$$
$$\Delta=0 \Rightarrow \text{jeden pierwiastek podwójny}$$
$$\Delta<0 \Rightarrow \text{brak pierwiastków rzeczywistych}$$
Przykład: $x^2+mx+4=0$ ma dwa pierwiastki, gdy $m^2-16>0$, czyli $m<-4$ lub $m>4$.
Zanim policzysz deltę, sprawdź, czy funkcja w ogóle jest kwadratowa — współczynnik przy $x^2$ musi być różny od zera. Dla $f(x)=(m-1)x^2+3x+1$ potrzeba $m\ne1$.
$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$
Wyrażenie $ax^2+bx+c>0$ jest prawdziwe dla wszystkich $x$ dokładnie wtedy, gdy $a>0$ i $\Delta<0$ — parabola leży w całości nad osią.
Warunki trzeba łączyć: najpierw dziedzina parametru (np. $a\ne0$), potem warunek na deltę, na końcu ewentualne warunki Viète’a. Rozwiązaniem jest część wspólna wszystkich, a nie tylko ostatni otrzymany przedział.
$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \Rightarrow \text{jeden podwójny},\quad \Delta<0 \Rightarrow \text{brak}$$
Warunki na parametr zaczynamy zwykle od odpowiedniej nierówności na $\Delta$.
Gdy parametr stoi przy $x^2$, trzeba osobno rozważyć przypadek, gdy jest zerem — wtedy równanie przestaje być kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie.
Aby oba pierwiastki były dodatnie, potrzeba trzech warunków naraz:
$$\Delta\ge0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1 x_2>0$$
Dla dwóch ujemnych zmienia się tylko warunek na sumę (musi być ujemna). Dla różnych znaków wystarcza $x_1 x_2<0$ (wyróżnik jest wtedy automatycznie dodatni).
Nierówność $ax^2+bx+c>0$ zachodzi dla każdego $x$, gdy $a>0$ i $\Delta<0$ (parabola w górę, bez pierwiastków). Dla nieostrej $\ge0$ dopuszczamy $\Delta=0$.
Gdy zadanie daje kilka warunków, rozwiązaniem jest ich przecięcie. Warto wyznaczyć każdy osobno i nanieść na oś.
Parabola jest styczna do osi $OX$ dokładnie wtedy, gdy $\Delta=0$ — ma wtedy jeden punkt wspólny z osią (pierwiastek podwójny).
Nie zapomnij o przypadku zerowego współczynnika wiodącego. Przy „co najmniej jeden pierwiastek” bierz $\Delta\ge0$, przy „dwa różne” — $\Delta>0$.
Co robi: zbiera warunki używane w zadaniach z parametrem — na liczbę pierwiastków i na ich znaki.
Elementy: $\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie pierwiastków. O znakach mówią wzory Viète’a: suma $\frac{-b}{a}$ i iloczyn $\frac{c}{a}$.
Zestawienie znaków: oba pierwiastki dodatnie gdy $\Delta\ge0$, suma $>0$ i iloczyn $>0$; oba ujemne gdy suma $<0$ i iloczyn $>0$; różnych znaków gdy iloczyn $<0$ (wtedy delta jest dodatnia automatycznie).
Przykład: $x^2+mx+4=0$ ma dwa różne pierwiastki, gdy $m^2-16>0$, czyli $m<-4$ lub $m>4$.
Pułapka: najpierw sprawdź, czy równanie w ogóle jest kwadratowe (współczynnik przy $x^2$ różny od zera), a warunki łącz w koniunkcję — rozwiązaniem jest część wspólna wszystkich, a nie ostatni otrzymany przedział.
Co robi: pozwala określić znaki pierwiastków równania kwadratowego bez ich obliczania — na podstawie sumy, iloczynu i wyróżnika.
Elementy: $x_1$, $x_2$ to pierwiastki, $\Delta$ — wyróżnik gwarantujący ich istnienie.
Reguły:
dwa dodatnie: $\Delta\ge0$, $x_1+x_2>0$, $x_1 x_2>0$;
dwa ujemne: $\Delta\ge0$, $x_1+x_2<0$, $x_1 x_2>0$;
różnych znaków: $x_1 x_2<0$ (wyróżnik jest wtedy dodatni automatycznie).
Przykład: w $x^2-mx+4=0$ dwa dodatnie pierwiastki wymagają $m>4$ (z wyróżnika i dodatniej sumy; iloczyn $4>0$ spełniony zawsze).
Pułapka: same znaki sumy i iloczynu nie gwarantują istnienia pierwiastków — dla dwóch pierwiastków tego samego znaku trzeba osobno sprawdzić $\Delta\ge0$.
Rozwiąż nierówność $x^2-4<0$.
Równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy:
Rozwiąż nierówność $x^2-5x+6\ge 0$.
Dla jakich $m$ równanie $x^2-4x+m=0$ ma jeden pierwiastek (podwójny)?
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-5x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania.
Dla równania $x^2-7x+10=0$ podaj sumę i iloczyn pierwiastków, korzystając ze wzorów Viete (bez rozwiązywania równania).
Dla jakich $m$ równanie $x^2+2x+m=0$ ma dwa różne pierwiastki?
Nie rozwiązując równania $2x^2-6x-3=0$, oblicz sumę i iloczyn jego rozwiązań.
Równanie $x^2+bx+9=0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jakie wartości może przyjąć $b$?
Dla jakich $m$ równanie $x^2-6x+m=0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych?
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2+mx+4=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2-4x+m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
Dla jakich $m$ równanie $mx^2-3x+1=0$ jest równaniem kwadratowym?
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-2mx+m+2=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek $x_1^2+x_2^2=8$.
Rozwiąż równanie dwukwadratowe $x^4-13x^2+36=0$.
Równanie $x^2+mx+9=0$ ma pierwiastek podwójny dla:
Wyznacz wszystkie $m\ne2$, dla których równanie $(m-2)x^2-2(m-1)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania tego samego znaku.
Pierwiastki równania $x^2+px+q=0$ to $2$ i $-5$. Ile wynosi $p$?
Dla jakich $m$ równanie $x^2-2x+(m-3)=0$ ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty?
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-4x+m-1=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające nierówność $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}\gt 2$.
Rozwiąż nierówność $-x^2+4x>0$.
Dla jakich $m$ równanie $x^2-mx+4=0$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie?
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2+(m+1)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania, których odległość na osi liczbowej jest równa $2$.
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2+2x+m=0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych?
Nierówność $x^2+2x+m>0$ jest spełniona dla każdego $x$, gdy:
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-(m+2)x+m=0$ ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek $x_1^3+x_2^3=8$.
Ile rozwiązań ma nierówność $x^2+1<0$?
Dla jakich $m$ równanie $x^2+(m-1)x+m=0$ ma pierwiastki o przeciwnych znakach?
Wyznacz wszystkie $m$, dla których liczba $1$ leży między rozwiązaniami równania $x^2-2mx+m^2-1=0$.
Pierwiastki równania $x^2-6x+k=0$ spełniają warunek $x_1^2+x_2^2=20$. Wyznacz $k$.
Równanie $x^2+mx+m=0$ ma dwa różne pierwiastki, gdy $\Delta>0$. Wyróżnik wynosi:
Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $x^2-2(m+1)x+m^2+3=0$ ma dwa różne rozwiązania dodatnie spełniające warunek $x_1^2+x_2^2\lt 22$.
Rozwiąż równanie $(x-1)(x+3)=5$.
Dla jakich $m$ równanie $x^2+mx+m=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
Suma pierwiastków równania $2x^2-8x+3=0$ wynosi:
Dla jakich $m$ nierówność $x^2-2mx+9\ge0$ jest prawdziwa dla wszystkich $x$?
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2-2mx+m^2-1=0$ ma dwa pierwiastki, których suma wynosi $6$?
Równanie $x^2+4x+m=0$ ma dwa pierwiastki ujemne. Który warunek na iloczyn musi zachodzić?
Rozwiąż nierówność $x^2\le 9$.
Dla jakich $m$ suma pierwiastków równania $x^2-(2m+1)x+3=0$ wynosi $7$?
Równanie $x^2+4=0$ ma:
Parabola $y=x^2+bx+c$ jest styczna do osi $OX$, gdy:
Iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych wynosi $132$. Znajdź te liczby.
Dla jakich $m$ równanie $x^2-2(m-1)x+m^2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?
Rozwiąż równanie $x^4-5x^2+4=0$.
Dla jakich $m$ oba pierwiastki równania $x^2-mx+(m+3)=0$ są większe od zera?
Prostokąt ma pole $60$ cm$^2$, a jego długość jest o $7$ cm większa od szerokości. Oblicz wymiary prostokąta.
Dla jakich $m$ nierówność $mx^2+2x+1>0$ jest spełniona dla wszystkich $x$? Rozważ też przypadek $m=0$.
Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2-(m+1)x+m=0$ ma dwa pierwiastki dodatnie?
Wykaż, że dla każdej wartości parametru $m$ równanie $x^2-mx-1=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Funkcja $f(x)=(2-m)x^2-2(2m+1)x+m+8$ ($m\ne2$). Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1,x_2$ tego samego znaku, spełniające warunek $(x_1-x_2)^2\le180$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.