Współczynnik kierunkowy prostej a tangens

Do zadania możemy podejść na dwa sposoby:

I sposób - analizując odpowiedzi.
Widzimy, że wykres naszej funkcji jest rosnący, czyli tym samym współczynnik \(a\) musi być dodatni - taki znajduje się jedynie w odpowiedziach A oraz D. Dodatkowo wykres funkcji przecina oś \(OY\) dla ujemnych wartości igreka, a to oznacza, że współczynnik \(b\) będzie ujemny. To sprawia, że odpowiedź D musimy wykluczyć i tym samym zostaje nam odpowiedź A, czyli \(y=x-5\).

II sposób - wyznaczając wzór samodzielnie.
Wzór funkcji liniowej zapisujemy jako \(y=ax+b\). Chcąc samodzielnie wyznaczyć wzór tej funkcji (czyli poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\)), musimy skorzystać z dość rzadko stosowanego wzoru, który mówi nam o tym, że współczynnik \(a=tg\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem jaki tworzą wykres funkcji z osią \(OX\). W naszym przypadku \(\alpha=45°\), zatem:
$$a=tg45°$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(tg45°\) jest równy \(1\), zatem współczynnik \(a=1\). To oznacza, że naszą funkcję możemy zapisać jako \(y=1x+b\), czyli po prostu \(y=x+b\). Jak teraz poznać brakujący współczynnik \(b\)? Wiemy, że wykres przechodzi przez punkt o współrzędnych \((2,-3)\), zatem podstawiając \(x=2\) oraz \(y=-3\) do naszej wyznaczonej postaci \(y=x+b\), otrzymamy:
$$-3=2+b \           ,\
b=-5$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(y=x+(-5)\), czyli \(y=x-5\).

W tym zadaniu mamy klasyczną sytuację w której jedno ramię kąta pokrywa się z osią \(OX\), a wierzchołek kąta jest w początku układu współrzędnych. Obliczenie wartości tangensa takiego kąta będzie niezwykle proste, wystarczy że skorzystamy ze wzoru z tablic matematycznych:
$$tg\alpha=\frac{y}{x}$$

W powyższym wzorze wartości \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu P, który znajduje się na ramieniu naszego kąta. Skoro tak, to:
$$tg\alpha=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\).
Nasza prosta będzie wyrażać się wzorem \(y=ax+b\). Musimy teraz ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi iksów. W związku z tym:
$$a=tg30° \           ,\
a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina się z osią igreków. Widzimy, że prosta przecina oś igreków dla \(y=-\sqrt{3}\), zatem \(b=-\sqrt{3}\).

To oznacza, że prosta \(l\) wyrażona jest równaniem \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\).

Nasz kąt ma swój wierzchołek w początku układu współrzędnych oraz jedno z jego ramion pokrywa się z osią iksów. W takiej sytuacji możemy skorzystać ze wzoru znajdującego w tablicach matematycznych:
$$tgα=\frac{y}{x}$$

\(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta \(k\) będąca ramieniem zaznaczonego kąta. W naszym przypadku podstawimy więc współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-3\):
$$tgα=\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Krok 1. Ustalenie wartości współczynnika kierunkowego \(a\).
Nasza prosta będzie wyrażać się wzorem \(y=ax+b\). Musimy teraz ustalić jakie są wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Współczynnik kierunkowy \(a\) jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi iksów. W związku z tym:
$$a=tg30° \           ,\
a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 2. Ustalenie wartości współczynnika \(b\).
Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina się z osią igreków. Widzimy, że prosta przecina oś igreków dla \(y=-\sqrt{3}\), zatem \(b=-\sqrt{3}\).

To oznacza, że prosta \(l\) wyrażona jest równaniem \(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}\).

Tangens kąta o wierzchołku w punkcie \((0,0)\), którego ramię pokrywa się z osią \(Ox\) można opisać wzorem \(tgα=\frac{y}{x}\), gdzie \(x\) oraz \(y\) to współrzędne dowolnego punktu leżącego na lewym ramieniu kąta. Najprościej będzie nam odczytać współrzędne punktu \(P=(-4;5)\), zatem \(tgα=\frac{5}{-4}=-\frac{5}{4}\).