Wzory Viète’a

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2 \ \text{ lub } \ x=2$$

Krok 2 — kierunek ramion. Współczynnik $a=1>0$, więc parabola jest skierowana w górę i leży poniżej osi OX między miejscami zerowymi.

$$x\in(-2,\,2)$$

Nawiasy okrągłe: nierówność jest ostra ($<$), więc końce nie należą.

Odpowiedź: C.

Wzory Viète'a dla równania $x^2+bx+c=0$ (współczynnik przy $x^2$ równy $1$):

$$x_1+x_2=-b,\qquad x_1\cdot x_2=c$$

Uwaga na znak: suma to $-b$ (z minusem), a iloczyn to $c$ (bez zmiany znaku).

Odpowiedź: B. $-b$.

Liczba pierwiastków zależy od znaku wyróżnika:

$$\Delta>0 \ \Rightarrow\ \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \ \Rightarrow\ \text{jeden (podwójny)},\quad \Delta<0 \ \Rightarrow\ \text{brak}$$

Odpowiedź: B. $\Delta>0$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Rozkładamy na czynniki:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=3$$

Krok 2 — kierunek ramion. $a=1>0$, więc parabola jest nad osią OX na zewnątrz miejsc zerowych.

Krok 3 — zapisujemy rozwiązanie. Nierówność jest nieostra ($\ge$), więc końce dołączamy:

$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$

Sprawdzenie: dla $x=0$ mamy $6\ge0$ ✔, dla $x=2{,}5$ mamy $-0{,}25<0$ (poza zbiorem) ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.

Odczytujemy współczynniki: $b=-7$, $c=10$.

$$x_1+x_2=-b=7,\qquad x_1\cdot x_2=c=10$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $5$, a $2+5=7$ oraz $2\cdot5=10$ ✔

Odpowiedź: suma $7$, iloczyn $10$.

Krok 1 — warunek: $\Delta=0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=16-4m$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$16-4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=4$$

Sprawdzenie: $x^2-4x+4=(x-2)^2$, pierwiastek podwójny $x=2$ ✔

Odpowiedź: $m=4$.

1. $\Delta=25-4m\gt 0 \iff m\lt \frac{25}4$.

Odpowiedź: $m\lt \tfrac{25}4$

Wzory Viete dla równania $ax^2+bx+c=0$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Podstawiamy $a=1$, $b=-7$, $c=10$:

$$x_1+x_2=-\frac{-7}{1}=7$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{10}{1}=10$$

Sprawdzenie: pierwiastkami są $2$ i $5$, bo $2+5=7$ ✔ i $2\cdot5=10$ ✔

Odpowiedź: suma $7$, iloczyn $10$.

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Uwaga: gdy współczynnik $a\neq1$, dzielimy przez $a$. Dla $a=1$ wzory upraszczają się do $-b$ i $c$.

Odpowiedź: jak wyżej.

Krok 1 — warunek: $\Delta>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=4-4m>0 \quad\Rightarrow\quad 4>4m \quad\Rightarrow\quad m<1$$

Odpowiedź: $m<1$, czyli $m\in(-\infty,\ 1)$.

1. $x_1+x_2=\frac62=3$, $x_1x_2=-\frac32$ ($\Delta=36+24\gt 0$).

Odpowiedź: $x_1+x_2=3$, $x_1x_2=-\tfrac32$

Jedno rozwiązanie oznacza $\Delta=0$:

$$\Delta=b^2-4\cdot1\cdot9=b^2-36=0$$

Rozwiązujemy:

$$b^2=36 \quad\Rightarrow\quad b=6 \ \text{ lub } \ b=-6$$

Sprawdzenie dla $b=6$: $x^2+6x+9=(x+3)^2$ — jedno rozwiązanie $x=-3$ ✔

Uwaga: pierwiastkowanie równania $b^2=36$ daje dwa wyniki — pominięcie ujemnego to częsty błąd.

Odpowiedź: B.

Współczynniki: $a=2$, $b=-8$, $c=6$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $1$ i $3$, a $1+3=4$ ✔

Odpowiedź: C. $4$.

Brak pierwiastków oznacza $\Delta<0$:

$$\Delta=36-4m<0 \quad\Rightarrow\quad 36<4m \quad\Rightarrow\quad m>9$$

Odpowiedź: C. $m>9$.

1. $\Delta=m^2-16\gt 0 \iff m\lt -4$ lub $m\gt 4$.
2. $x_1x_2=4\gt 0$ zawsze; $x_1+x_2=-m\gt 0 \iff m\lt 0$.
3. Część wspólna: $m\lt -4$.

Odpowiedź: $m\in(-\infty,-4)$

Dwa różne pierwiastki oznaczają $\Delta>0$:

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot m=16-4m$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$16-4m>0 \quad\Rightarrow\quad -4m>-16 \quad\Rightarrow\quad m<4$$

Uwaga na znak: dzieląc przez liczbę ujemną ($-4$), odwracamy znak nierówności.

Sprawdzenie dla $m=0$: $x^2-4x=x(x-4)$ ma pierwiastki $0$ i $4$ — dwa różne ✔

Odpowiedź: $m\in(-\infty,\,4)$.

Współczynniki: $a=3$, $c=-12$:

$$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=\frac{-12}{3}=-4$$

Uwaga na znak: ujemny iloczyn oznacza, że pierwiastki mają przeciwne znaki.

Odpowiedź: $-4$.

Równanie jest kwadratowe, gdy współczynnik przy $x^2$ jest różny od zera:

$$m\neq0$$

Uwaga. Dla $m=0$ równanie staje się liniowe ($-3x+1=0$), a nie kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie w zadaniach z parametrem przy $x^2$.

Odpowiedź: $m\neq0$.

1. $\Delta=4m^2-4(m+2)\gt 0 \iff m^2-m-2\gt 0 \iff m\lt -1$ lub $m\gt 2$.
2. $x_1^2+x_2^2=4m^2-2(m+2)=4m^2-2m-4=8 \Rightarrow 2m^2-m-6=0$.
3. $m=2$ lub $m=-\frac32$. Dla $m=2$: $\Delta=0$ — odrzucamy. Odpowiedź: $m=-\frac32$.

Odpowiedź: $m=-\tfrac32$

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, przy czym $t\ge0$:

$$t^2-13t+36=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=169-144=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5$$

$$t_1=\frac{13-5}{2}=4,\qquad t_2=\frac{13+5}{2}=9$$

Oba wyniki są nieujemne, więc oba są dopuszczalne.

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

$$x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3$$

Uwaga: każde $t$ daje dwa rozwiązania w $x$ — łącznie cztery.

Odpowiedź: $x=-3,\ -2,\ 2,\ 3$.

Iloczyn dwóch liczb jest ujemny tylko wtedy, gdy jedna jest dodatnia, a druga ujemna:

$$x_1\cdot x_2<0 \quad\Rightarrow\quad \text{różne znaki}$$

Zastosowanie: wzory Viète'a pozwalają określić znaki pierwiastków bez ich liczenia — wystarczą znaki sumy i iloczynu.

Odpowiedź: A. mają różne znaki.

Warunek $\Delta=0$:

$$m^2-36=0 \quad\Rightarrow\quad m^2=36 \quad\Rightarrow\quad m=\pm6$$

Uwaga: równanie kwadratowe względem $m$ daje dwa rozwiązania — pominięcie ujemnego to częsty błąd.

Odpowiedź: A. $m=6$ lub $m=-6$.

1. $\frac\Delta4=(m-1)^2-m(m-2)=1\gt 0$ — zawsze dwa różne rozwiązania.
2. Ten sam znak: $x_1x_2=\frac{m}{m-2}\gt 0 \iff m\lt 0$ lub $m\gt 2$.

Odpowiedź: $m\in(-\infty,0)\cup(2,\infty)$

Ze wzoru Viete na sumę pierwiastków:

$$x_1+x_2=-p \quad\Rightarrow\quad 2+(-5)=-p \quad\Rightarrow\quad -3=-p \quad\Rightarrow\quad p=3$$

Sprawdzenie: równanie ma postać $x^2+3x-10=0$. Podstawiamy $x=2$: $4+6-10=0$ ✔

Uwaga na minus we wzorze — suma pierwiastków to $-p$, a nie $p$.

Odpowiedź: A. $p=3$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1 x_2=8$$

Krok 2 — kluczowa tożsamość:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$x_1^2+x_2^2=6^2-2\cdot8=36-16=20$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Idea. Wzory Viète'a pozwalają liczyć wyrażenia symetryczne w pierwiastkach bez wyznaczania samych pierwiastków.

Odpowiedź: $x_1^2+x_2^2=20$.

Krok 1 — warunek: $\Delta\ge0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=4-4(m-3)=4-4m+12=16-4m$$

Krok 3 — nierówność:

$$16-4m\ge0 \quad\Rightarrow\quad m\le4$$

Uwaga na sformułowanie. „Co najmniej jeden pierwiastek” obejmuje przypadek pierwiastka podwójnego, więc bierzemy nierówność nieostrą $\ge$.

Odpowiedź: $m\le4$.

1. $\Delta=16-4(m-1)\gt 0 \iff m\lt 5$; pierwiastki niezerowe: $m\ne1$.
2. $\frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{4}{m-1}\gt 2 \iff \frac{4-2(m-1)}{m-1}\gt 0 \iff \frac{6-2m}{m-1}\gt 0 \iff m\in(1,3)$.
3. Część wspólna z $m\lt 5$: $m\in(1,3)$.

Odpowiedź: $m\in(1,3)$

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$-x^2+4x=x(-x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{ lub } \ x=4$$

Krok 2 — kierunek ramion. Tu $a=-1<0$, więc parabola jest skierowana w dół i leży nad osią OX między miejscami zerowymi.

$$x\in(0,\,4)$$

Kluczowe: przy ujemnym $a$ obszary „nad osią” i „pod osią” zamieniają się miejscami w stosunku do przypadku $a>0$.

Sprawdzenie dla $x=2$: $-4+8=4>0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(0,\,4)$.

Krok 1 — suma i iloczyn:

$$x_1+x_2=3+(-5)=-2,\qquad x_1 x_2=3\cdot(-5)=-15$$

Krok 2 — budujemy równanie. Dla postaci $x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=0$:

$$x^2-(-2)x+(-15)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+2x-15=0$$

Sprawdzenie: $(x-3)(x+5)=x^2+2x-15$ ✔

Odpowiedź: $x^2+2x-15=0$.

Krok 1 — trzy warunki: $\Delta>0$, suma $>0$, iloczyn $>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=m^2-16>0 \quad\Rightarrow\quad m<-4 \ \text{lub}\ m>4$$

Krok 3 — iloczyn pierwiastków:

$$x_1 x_2=4>0 \quad\Rightarrow\quad \text{zawsze spełnione}$$

Krok 4 — suma pierwiastków:

$$x_1+x_2=m>0$$

Krok 5 — część wspólna. Łączymy $m>4$ (z wyróżnika i sumy):

$$m>4$$

Uwaga. Warunek $m<-4$ z wyróżnika odpada, bo kłóci się z $m>0$.

Odpowiedź: $m>4$.

1. $\Delta=(m+1)^2-4m=(m-1)^2\gt 0 \iff m\ne1$.
2. Rozwiązania: $x=-1$ i $x=-m$ (albo $|x_1-x_2|=\sqrt\Delta=|m-1|$).
3. $|m-1|=2 \Rightarrow m=3$ lub $m=-1$.

Odpowiedź: $m=-1$ lub $m=3$

Brak rozwiązań oznacza $\Delta<0$:

$$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot m=4-4m$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$4-4m<0 \quad\Rightarrow\quad -4m<-4 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Sprawdzenie dla $m=2$: $\Delta=4-8=-4<0$ — brak pierwiastków ✔

Odpowiedź: $m\in(1,\,+\infty)$.

Suma pierwiastków to $-p$:

$$x_1+x_2=2+3=5=-p \quad\Rightarrow\quad p=-5$$

Sprawdzenie: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ✔

Odpowiedź: D. $p=-5$.

Parabola o ramionach w górę leży w całości nad osią, gdy nie ma pierwiastków, czyli $\Delta<0$:

$$\Delta=4-4m<0 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Interpretacja. Brak pierwiastków oznacza, że wykres nie dotyka osi $OX$ — a skoro ramiona idą w górę, cała parabola jest dodatnia.

Odpowiedź: D. $m>1$.

1. $\Delta=(m+2)^2-4m=m^2+4\gt 0$ — zawsze.
2. $x_1^3+x_2^3=s^3-3ps=(m+2)^3-3m(m+2)=(m+2)(m^2+m+4)$.
3. $(m+2)(m^2+m+4)=8 \iff m^3+3m^2+6m=0 \iff m(m^2+3m+6)=0$.
4. $m^2+3m+6$ nie ma pierwiastków ($\Delta=-15$), więc $m=0$ (kontrola: $x^2-2x=0$, $0+8=8$ ✓).

Odpowiedź: $m=0$

Wyrażenie $x^2$ jest zawsze nieujemne, więc:

$$x^2+1\ge 1>0$$

Lewa strona nigdy nie jest ujemna, a nierówność wymaga wartości mniejszej od zera — nie ma rozwiązań.

Potwierdzenie wyróżnikiem: $\Delta=0-4=-4<0$, a $a=1>0$, więc cała parabola leży nad osią OX.

Odpowiedź: D. żadnego.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=10,\qquad x_1 x_2=21$$

Krok 2 — sprowadzamy sumę odwrotności do wspólnego mianownika:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$\frac{10}{21}$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $3$ i $7$, a $\frac13+\frac17=\frac{7+3}{21}=\frac{10}{21}$ ✔

Odpowiedź: $\frac{10}{21}$.

Krok 1 — warunek na przeciwne znaki. Pierwiastki mają przeciwne znaki dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn jest ujemny:

$$x_1 x_2<0$$

Krok 2 — iloczyn ze wzoru Viète'a:

$$x_1 x_2=m<0$$

Krok 3 — czy trzeba sprawdzać wyróżnik. Gdy iloczyn pierwiastków jest ujemny, wyróżnik jest automatycznie dodatni — pierwiastki różnych znaków muszą być różne i rzeczywiste. Warunek $\Delta>0$ jest więc spełniony sam.

Odpowiedź: $m<0$.

1. $a=1\gt 0$, więc warunek: $f(1)\lt 0$.
2. $f(1)=1-2m+m^2-1=m^2-2m\lt 0 \iff m\in(0,2)$.
3. (Kontrola: pierwiastki to $m-1$ i $m+1$; $m-1\lt 1\lt m+1 \iff 0\lt m\lt 2$.)

Odpowiedź: $m\in(0,2)$

Krok 1 — wzory Viete:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1\cdot x_2=k$$

Krok 2 — przekształcamy warunek wzorem $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$20=6^2-2k \quad\Rightarrow\quad 20=36-2k \quad\Rightarrow\quad 2k=16 \quad\Rightarrow\quad k=8$$

Krok 4 — sprawdzamy istnienie pierwiastków:

$$\Delta=36-32=4>0 \ ✔$$

Weryfikacja: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Odpowiedź: $k=8$.

Dodatni iloczyn oznacza jednakowe znaki pierwiastków. Dodatnia suma przy jednakowych znakach wymusza, by oba były dodatnie.

Rozumowanie: gdyby oba były ujemne, ich suma byłaby ujemna — sprzeczność.

Odpowiedź: B. dodatnie.

Podstawiamy $b=m$, $c=m$:

$$\Delta=b^2-4ac=m^2-4\cdot1\cdot m=m^2-4m$$

Odpowiedź: B. $m^2-4m$.

1. $\frac\Delta4=(m+1)^2-(m^2+3)=2m-2\gt 0 \iff m\gt 1$.
2. Dodatnie: $x_1x_2=m^2+3\gt 0$ zawsze, $x_1+x_2=2(m+1)\gt 0 \iff m\gt -1$.
3. $x_1^2+x_2^2=4(m+1)^2-2(m^2+3)=2m^2+8m-2\lt 22 \iff m^2+4m-12\lt 0 \iff m\in(-6,2)$.
4. Część wspólna: $m\in(1,2)$.

Odpowiedź: $m\in(1,2)$

Uwaga: nie wolno przyrównać czynników do $5$ — reguła „iloczyn równy zero” działa tylko dla zera.

Krok 1 — rozwijamy i porządkujemy:

$$x^2+3x-x-3=5 \quad\Rightarrow\quad x^2+2x-8=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$\Delta=4+32=36,\qquad \sqrt{\Delta}=6$$

$$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-2+6}{2}=2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $(2-1)(2+3)=1\cdot5=5$ ✔

Odpowiedź: $x=-4$ lub $x=2$.

Krok 1 — warunek równych pierwiastków: $\Delta=0$.

Krok 2 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=m^2-4\cdot1\cdot9=m^2-36$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$m^2-36=0 \quad\Rightarrow\quad m=6 \ \text{lub}\ m=-6$$

Kontrola przez Viète'a. Dla równych pierwiastków $x_1=x_2=t$ mamy $t^2=9$, więc $t=\pm3$, a suma $2t=\pm6=m$ ✔

Odpowiedź: $m=6$ lub $m=-6$.

Krok 1 — warunek: $\Delta>0$.

Krok 2 — wyróżnik i nierówność:

$$m^2-4m>0 \quad\Rightarrow\quad m(m-4)>0$$

Krok 3 — rozwiązujemy nierówność kwadratową. Miejsca zerowe $m=0$ i $m=4$, ramiona w górę, więc iloczyn dodatni na zewnątrz pierwiastków:

$$m<0 \quad\text{lub}\quad m>4$$

$$m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$$

Odpowiedź: $m\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$.

Ze wzoru Viete, pamiętając o współczynniku $a=2$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $a$ i podanie $8$ (odpowiedź A). Gdy $a\neq1$, trzeba dzielić.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — dane wyjściowe. Dla $x^2-5x+6=0$: $x_1+x_2=5$, $x_1 x_2=6$.

Krok 2 — suma nowych pierwiastków $\frac{1}{x_1}$ i $\frac{1}{x_2}$:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1 x_2}=\frac{5}{6}$$

Krok 3 — iloczyn nowych pierwiastków:

$$\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1 x_2}=\frac16$$

Krok 4 — budujemy równanie:

$$x^2-\frac56 x+\frac16=0 \quad\Big|\cdot6 \quad\Rightarrow\quad 6x^2-5x+1=0$$

Sprawdzenie: pierwiastki wyjściowe to $2$ i $3$, ich odwrotności $\frac12$ i $\frac13$, a $6x^2-5x+1=(2x-1)(3x-1)$ ✔

Odpowiedź: $6x^2-5x+1=0$.

Krok 1 — warunek. Parabola o ramionach w górę jest nieujemna wszędzie, gdy $\Delta\le0$:

$$\Delta=(-2m)^2-4\cdot9=4m^2-36\le0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4m^2\le36 \quad\Rightarrow\quad m^2\le9 \quad\Rightarrow\quad -3\le m\le3$$

Dlaczego $\le$, a nie $<$. Nierówność jest nieostra ($\ge0$), więc parabola może dotykać osi — dopuszczamy $\Delta=0$.

Odpowiedź: $m\in\langle-3,\ 3\rangle$.

Krok 1 — suma pierwiastków ze wzoru Viete:

$$x_1+x_2=-\frac{-2m}{1}=2m$$

Krok 2 — warunek z treści:

$$2m=6 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Krok 3 — sprawdzamy, czy pierwiastki istnieją. Dla $m=3$:

$$\Delta=(-6)^2-4(9-1)=36-32=4>0 \ ✔$$

Weryfikacja: równanie to $x^2-6x+8=0$ o pierwiastkach $2$ i $4$, a $2+4=6$ ✔

Uwaga: warunek na $\Delta$ trzeba sprawdzić zawsze — bez pierwiastków mówienie o ich sumie nie miałoby sensu.

Odpowiedź: $m=3$.

Z sumy Viète'a $x_1+x_2=-4$:

$$1+x_2=-4 \quad\Rightarrow\quad x_2=-5$$

Sprawdzenie: iloczyn to $1\cdot(-5)=-5=c$, a $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$ ✔

Odpowiedź: C. $-5$.

Dwa pierwiastki ujemne mają iloczyn dodatni:

$$x_1 x_2=m>0$$

Pełna analiza: suma $x_1+x_2=-4<0$ (spełnione), iloczyn $m>0$, wyróżnik $16-4m\ge0$ czyli $m\le4$. Razem: $00$.

Odpowiedź: A. $m>0$.

Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-9\le 0$$

Krok 2 — miejsca zerowe:

$$(x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3 \ \text{ lub } \ x=3$$

Krok 3 — ramiona w górę ($a=1>0$), więc wartości niedodatnie są między miejscami zerowymi. Nierówność nieostra dołącza końce:

$$x\in\langle -3,\,3\rangle$$

Częsty błąd: zapisanie odpowiedzi jako $x\le3$ — pomija się wtedy ograniczenie od dołu. Sprawdź $x=-10$: $100\le9$ to fałsz.

Odpowiedź: $x\in\langle -3,\,3\rangle$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=8,\qquad x_1 x_2=15$$

Krok 2 — tożsamość:

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$(x_1-x_2)^2=64-60=4$$

Sprawdzenie: pierwiastki to $3$ i $5$, a $(3-5)^2=4$ ✔

Uwaga. $(x_1-x_2)^2$ zawsze wychodzi nieujemnie — to kontrola poprawności rachunku.

Odpowiedź: $4$.

Krok 1 — suma ze wzoru Viète'a:

$$x_1+x_2=2m+1$$

Krok 2 — przyrównujemy do $7$:

$$2m+1=7 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Krok 3 — sprawdzamy istnienie pierwiastków. Dla $m=3$ równanie to $x^2-7x+3=0$, $\Delta=49-12=37>0$ ✔ — pierwiastki istnieją.

Odpowiedź: $m=3$.

Przekształcamy równanie:

$$x^2=-4$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Potwierdzenie wyróżnikiem: $\Delta=0-16=-16<0$.

Uwaga: $x^2-4=0$ (z minusem) miałoby rozwiązania $\pm2$ — znak przy stałej zmienia wszystko.

Odpowiedź: C.

Pierwiastki przeciwne to $x_1$ i $-x_1$. Ich suma:

$$x_1+(-x_1)=0=-b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

Przykład: $x^2-9=0$ ma pierwiastki $3$ i $-3$ — współczynnik przy $x$ wynosi zero.

Odpowiedź: A. $b=0$.

Styczność do osi $OX$ oznacza dokładnie jeden punkt wspólny, czyli pierwiastek podwójny:

$$\Delta=0$$

Interpretacja: wierzchołek paraboli leży wtedy na osi $OX$.

Odpowiedź: C. $\Delta=0$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech pierwsza liczba to $x$, druga $x+1$:

$$x(x+1)=132$$

Krok 2 — porządkujemy do postaci ogólnej:

$$x^2+x-132=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$\Delta=1+528=529,\qquad \sqrt{529}=23$$

$$x_1=\frac{-1-23}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-1+23}{2}=11$$

Krok 4 — wybieramy sensowne rozwiązanie. Szukamy liczb naturalnych, więc odrzucamy $-12$.

Sprawdzenie: $11\cdot12=132$ ✔

Odpowiedź: liczby to $11$ i $12$.

Krok 1 — trzy warunki na dwa dodatnie pierwiastki. Potrzeba: $\Delta\ge0$, suma $>0$, iloczyn $>0$.

Krok 2 — wyróżnik:

$$\Delta=(m+1)^2-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2\ge0$$

To zachodzi zawsze — wyróżnik jest kwadratem.

Krok 3 — suma pierwiastków:

$$x_1+x_2=m+1>0 \quad\Rightarrow\quad m>-1$$

Krok 4 — iloczyn pierwiastków:

$$x_1 x_2=m>0 \quad\Rightarrow\quad m>0$$

Krok 5 — część wspólna warunków:

$$m>0$$

Wniosek. Warunek $m>0$ jest najostrzejszy i pochłania $m>-1$. Wyróżnik nie nakłada ograniczeń.

Sprawdzenie dla $m=4$: $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$ — pierwiastki $1$ i $4$, oba dodatnie ✔

Odpowiedź: $m>0$.

Krok 1 — wyróżnik. Tu $b=-2(m-1)$, więc:

$$\Delta=\bigl[-2(m-1)\bigr]^2-4\cdot1\cdot m^2=4(m-1)^2-4m^2$$

Krok 2 — upraszczamy:

$$\Delta=4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2=4m^2-8m+4-4m^2=-8m+4$$

Krok 3 — warunek $\Delta>0$:

$$-8m+4>0 \quad\Rightarrow\quad 4>8m \quad\Rightarrow\quad m<\frac12$$

Uwaga na rachunek. Kluczowe było poprawne podniesienie $-2(m-1)$ do kwadratu — nawias i mnożnik $4$ łatwo pogubić. Wyrazy z $m^2$ skróciły się, więc wyróżnik okazał się liniowy.

Odpowiedź: $m<\frac12$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$, $t\ge0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozkładamy na czynniki:

$$(t-1)(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{ lub } \ t=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1$$

$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $16-20+4=0$ ✔

Odpowiedź: $x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1 x_2=m$$

Krok 2 — tożsamość na sumę kwadratów:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=36-2m$$

Krok 3 — podstawiamy warunek zadania:

$$36-2m=20 \quad\Rightarrow\quad 2m=16 \quad\Rightarrow\quad m=8$$

Krok 4 — kontrola istnienia pierwiastków. Dla $m=8$: $\Delta=36-32=4>0$ ✔ — pierwiastki istnieją i są rzeczywiste.

Sprawdzenie: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Odpowiedź: $m=8$.

Krok 1 — trzy warunki na dwa dodatnie pierwiastki.

Wyróżnik $\Delta\ge0$:

$$m^2-4(m+3)\ge0 \quad\Rightarrow\quad m^2-4m-12\ge0$$

Miejsca zerowe $m=-2$ i $m=6$, więc $m\le-2$ lub $m\ge6$.

Suma $>0$:

$$x_1+x_2=m>0$$

Iloczyn $>0$:

$$x_1 x_2=m+3>0 \quad\Rightarrow\quad m>-3$$

Krok 2 — część wspólna trzech warunków. Z sumy $m>0$, z iloczynu $m>-3$ (słabsze), z wyróżnika $m\le-2$ lub $m\ge6$. Łącząc z $m>0$:

$$m\ge6$$

Sprawdzenie dla $m=6$: $x^2-6x+9=(x-3)^2$, pierwiastek podwójny $x=3>0$ ✔

Odpowiedź: $m\ge6$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, długość $x+7$:

$$x(x+7)=60$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$x^2+7x-60=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$\Delta=49+240=289,\qquad \sqrt{289}=17$$

$$x_1=\frac{-7-17}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-7+17}{2}=5$$

Krok 4 — odrzucamy wynik bez sensu. Bok nie może być ujemny, więc $x=5$.

Wymiary: szerokość $5$ cm, długość $5+7=12$ cm.

Sprawdzenie: $5\cdot12=60$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $5$ cm na $12$ cm.

Krok 1 — wzory Viète'a:

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1 x_2=12$$

Krok 2 — tożsamość:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2=p^2-24$$

Krok 3 — warunek zadania:

$$p^2-24=25 \quad\Rightarrow\quad p^2=49 \quad\Rightarrow\quad p=7 \ \text{lub}\ p=-7$$

Krok 4 — sprawdzamy istnienie pierwiastków. $\Delta=p^2-48=49-48=1>0$ dla obu wartości ✔

Dlaczego dwie odpowiedzi. Suma kwadratów zależy od $p^2$, więc znak $p$ nie ma znaczenia — dostajemy parę wartości przeciwnych.

Odpowiedź: $p=7$ lub $p=-7$.

Przypadek 1: $m=0$. Nierówność redukuje się do $2x+1>0$, czyli $x>-\frac12$ — nie zachodzi dla wszystkich $x$. Odrzucamy.

Przypadek 2: $m\neq0$. Aby parabola była zawsze dodatnia, potrzeba ramion w górę i braku pierwiastków:

• $m>0$ — ramiona w górę,
• $\Delta<0$ — brak miejsc zerowych.

Wyróżnik:

$$\Delta=4-4m<0 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Część wspólna: $m>0$ i $m>1$ daje $m>1$.

Wniosek. Warunek $m>1$ pochłania $m>0$, a przypadek $m=0$ odpadł osobno. Zawsze trzeba go rozpatrzyć oddzielnie, bo dla $m=0$ wyrażenie przestaje być kwadratowe.

Odpowiedź: $m>1$.

Potrzebne są trzy warunki naraz.

Warunek 1 — istnienie dwóch pierwiastków ($\Delta>0$):

$$\Delta=(m+1)^2-4m=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2$$

$$(m-1)^2>0 \quad\Rightarrow\quad m\neq1$$

Warunek 2 — suma pierwiastków dodatnia:

$$x_1+x_2=m+1>0 \quad\Rightarrow\quad m>-1$$

Warunek 3 — iloczyn pierwiastków dodatni:

$$x_1\cdot x_2=m>0$$

Część wspólna warunków: $m>0$ (to mocniejsze niż $m>-1$) oraz $m\neq1$:

$$m\in(0,\,1)\cup(1,\,+\infty)$$

Dlaczego trzy warunki: sama dodatnia suma nie wystarcza (jeden pierwiastek mógłby być ujemny, a drugi duży dodatni) — dopiero dodatni iloczyn gwarantuje ten sam znak obu.

Odpowiedź: $m\in(0,\,1)\cup(1,\,+\infty)$.

Krok 1 — założenie. Niech $x_1>0$ i $x_2>0$ będą pierwiastkami równania.

Krok 2 — iloczyn. Ze wzoru Viète'a $x_1 x_2=c$. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni:

$$c=x_1 x_2>0 \qquad ✔$$

Krok 3 — suma. Ze wzoru $x_1+x_2=-b$. Suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia:

$$-b=x_1+x_2>0 \quad\Rightarrow\quad b<0 \qquad ✔$$

Krok 4 — wniosek. Otrzymaliśmy $c>0$ oraz $b<0$. $\qquad ∎$

Uwaga. To warunek konieczny, ale nie wystarczający — sam znak współczynników nie gwarantuje istnienia pierwiastków. Trzeba jeszcze $\Delta\ge0$. Przykład: $x^2-2x+5=0$ ma $b<0$, $c>0$, ale $\Delta<0$ i nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Krok 1 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot(-1)=m^2+4$$

Krok 2 — szacujemy. Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc:

$$m^2\ge0 \quad\Rightarrow\quad m^2+4\ge4>0$$

Krok 3 — wniosek. Wyróżnik jest dodatni dla każdego $m$, więc równanie zawsze ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. $\qquad ∎$

Interpretacja przez Viète'a. Iloczyn pierwiastków wynosi $x_1 x_2=-1<0$, więc pierwiastki zawsze mają przeciwne znaki — muszą być dwa różne i rzeczywiste. To niezależne potwierdzenie tezy.

Sprawdzenie dla $m=0$: $x^2-1=0$ daje $x=\pm1$ — dwa różne pierwiastki ✔

1. Krok 1. Dwa różne pierwiastki ($\Delta>0$).

   $a=m^{2}>0$. $\Delta=(-2m)^{2}-4m^{2}(-m+1)=4m^{2}-4m^{2}(1-m)=4m^{3}$. Warunek $\Delta>0\Rightarrow m>0$.

2. Krok 2. Oba pierwiastki w $(-2,2)$ — warunki brzegowe.

   Ponieważ $a>0$, potrzeba: $f(-2)>0$, $f(2)>0$ oraz odcięta wierzchołka $x_{w}\in(-2,2)$.

   $$f(-2)=4m^{2}+3m+1>0\ (\Delta=9-16<0\Rightarrow \text{zawsze prawdziwe}).$$ $$f(2)=4m^{2}-5m+1>0\ \Rightarrow\ m<\tfrac14\ \lor\ m>1.$$
3. Krok 3. Wierzchołek. $$x_{w}=\frac{2m}{2m^{2}}=\frac{1}{m},\qquad -2<\frac{1}{m}<2.$$

   Przy $m>0$ warunek redukuje się do $\frac{1}{m}<2\Rightarrow m>\frac12$.

4. Krok 4. Część wspólna warunków. $$m>0\ \wedge\ \left(m<\tfrac14\lor m>1\right)\ \wedge\ m>\tfrac12\ \Rightarrow\ m>1.$$

   Odpowiedź: $m\in(1,+\infty)$.

1. Krok 1. Wzory Viète’a.

   $S=x_{1}+x_{2}=3m+1$, $P=x_{1}x_{2}=2m^{2}+m+1$.

2. Krok 2. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste ($\Delta>0$). $$\Delta=S^{2}-4P=(3m+1)^{2}-4(2m^{2}+m+1)=m^{2}+2m-3=(m+3)(m-1)>0\ \Rightarrow\ m<-3\ \lor\ m>1.$$
3. Krok 3. Uproszczenie warunku.

   $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=S^{3}-3PS$, więc lewa strona $=S^{3}-3PS+3P(S-3)=S^{3}-9P$. Warunek:

   $$S^{3}-9P\le 3m-7.$$ $$(3m+1)^{3}-9(2m^{2}+m+1)\le 3m-7\ \Rightarrow\ 27m^{3}+9m^{2}-8\le 3m-7.$$ $$27m^{3}+9m^{2}-3m-1\le 0\ \Rightarrow\ (3m-1)(3m+1)^{2}\le 0.$$
4. Krok 4. Rozwiązanie nierówności.

   Czynnik $(3m+1)^{2}\ge 0$, więc znak zależy od $(3m-1)$: nierówność zachodzi dla $m\le\tfrac13$.

5. Krok 5. Część wspólna z warunkiem $\Delta>0$. $$\left(m<-3\ \lor\ m>1\right)\ \wedge\ m\le\tfrac13\ \Rightarrow\ m<-3.$$

   Odpowiedź: $m\in(-\infty,-3)$.

1. Krok 1. Oznaczenie i wzory Viète’a.

   Niech $c=\dfrac{m-3}{m-2}$. Równanie $x^{2}+4x-c=0$ daje $x_{1}+x_{2}=-4$ oraz $x_{1}x_{2}=-c$.

2. Krok 2. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste. $$\Delta=16+4c>0\ \Rightarrow\ c>-4.$$
3. Krok 3. Warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$.

   Korzystamy z tożsamości $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})$:

   $$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(-4)^{3}-3(-c)(-4)=-64-12c.$$ $$-64-12c>-28\ \Rightarrow\ -12c>36\ \Rightarrow\ c<-3.$$
4. Krok 4. Złożenie warunków na $c$ i powrót do $m$.

   Musi być $-4

   $\dfrac{m-3}{m-2}<-3:\ \dfrac{m-3+3(m-2)}{m-2}<0\Rightarrow\dfrac{4m-9}{m-2}<0\Rightarrow m\in\left(2,\tfrac{9}{4}\right).$

   $\dfrac{m-3}{m-2}>-4:\ \dfrac{m-3+4(m-2)}{m-2}>0\Rightarrow\dfrac{5m-11}{m-2}>0\Rightarrow m<2\ \lor\ m>\tfrac{11}{5}.$

5. Krok 5. Część wspólna. $$m\in\left(2,\tfrac{9}{4}\right)\cap\left((-\infty,2)\cup(\tfrac{11}{5},\infty)\right)=\left(\frac{11}{5},\ \frac{9}{4}\right).$$