Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Wielomian stopnia $n$: $W(x)=a_nx^n+\ldots+a_1x+a_0$, gdzie $a_n\ne0$. Liczbę $a_n$ nazywamy współczynnikiem wiodącym, a $a_0$ — wyrazem wolnym.
$$W(x)=(x-a)Q(x)+W(a)$$
Reszta z dzielenia przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$. Stąd kluczowy wniosek:
$$(x-a)\mid W(x) \iff W(a)=0$$
Uwaga na znak: dla dzielnika $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$.
Jeśli współczynniki są całkowite, każdy pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ (ułamek nieskracalny) spełnia: $p$ dzieli wyraz wolny, $q$ dzieli współczynnik wiodący. Gdy $a_n=1$, pierwiastki wymierne są całkowite i dzielą wyraz wolny.
Metody: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, dzielenie przez znaleziony dwumian (schemat Hornera).
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
Rozkładamy na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy współczynnik wiodący jest dodatni). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wskazuje tylko kandydatów — każdego trzeba sprawdzić podstawieniem. Nie gwarantuje też, że pierwiastki wymierne w ogóle istnieją (wielomian $x^3-2$ nie ma żadnego).
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa $W(a)$:
$$R=W(a)$$
Pozwala policzyć resztę bez wykonywania dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.
$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$
Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(x-a)$ jest czynnikiem wielomianu. To most między pierwiastkami a rozkładem na czynniki.
Pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ oznacza $a=-2$. Łatwo pomylić znak.
$$\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$$
Reszta ma stopień mniejszy od dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian reszta jest więc stałą.
Uzupełniamy brakujące potęgi zerami, dzielimy najwyższe wyrazy, odejmujemy i powtarzamy. Przykład: $(x^3-1):(x-1)=x^2+x+1$.
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego. To zawęża listę kandydatów do sprawdzenia.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd metoda współczynników nieoznaczonych.
Przy dzieleniu pisemnym nie gub brakujących potęg. Sprawdzaj znak przy przechodzeniu od pierwiastka do czynnika.
Co robi: reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$ — dzięki temu podzielność sprawdzamy jednym podstawieniem.
Elementy: $W(x)$ — wielomian, $Q(x)$ — iloraz (stopień o 1 niższy), $W(a)$ — reszta (liczba). Dzielenie wykonujemy pisemnie lub schematem Hornera.
Przykład: $W(x)=x^3-2x^2-5x+6$, sprawdzamy $a=1$: $W(1)=1-2-5+6=0$, więc $(x-1)$ dzieli $W(x)$ i $W(x)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$.
Pułapka: przy dzielniku $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$, nie $2$ — bo $x+2=x-(-2)$. To najczęstszy błąd znakowy w tym temacie.
Co robi: podaje resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian bez wykonywania dzielenia i wiąże pierwiastki z czynnikami liniowymi.
Elementy: $W(x)$ to wielomian, $a$ — liczba, $R$ — reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$.
Dwa zastosowania: szybkie liczenie reszty ($R=W(a)$) oraz sprawdzanie podzielności — $(x-a)$ dzieli $W(x)$ dokładnie wtedy, gdy $a$ jest pierwiastkiem.
Przykład: reszta z dzielenia $x^3-2x+5$ przez $(x-1)$ to $W(1)=4$. A ponieważ dla $x^3-3x^2+4$ mamy $W(2)=0$, wielomian dzieli się przez $(x-2)$.
Stopnie: $\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$, a reszta z dzielenia przez dwumian jest stałą.
Pułapka: pierwiastek $a=3$ daje czynnik $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ odpowiada $a=-2$. Uważaj na znak.
Jaki jest stopień wielomianu $W(x)=3x^4-2x^2+x-7$?
Jaki jest stopień wielomianu $W(x)=3x^4-2x^2+5$?
Twierdzenie Bézouta mówi, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-a)$ jest równa:
Dodaj wielomiany: $(x^2+3x-1)+(2x^2-x+4)$.
Dodaj wielomiany $W(x)=2x^2+3x-1$ i $P(x)=x^2-5x+4$.
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3-2x+5$ przez $(x-1)$.
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+3x-5$ przez dwumian $x-2$.
Wykonaj mnożenie: $(x-2)(x^2+3x-1)$.
Oblicz $W(2)$ dla wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+x-3$.
Sprawdź, czy $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x)=x^3-3x^2+4$.
Wyznacz $m$, dla którego liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3+mx^2-4x+4$.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa:
Wymnóż $(x+3)(x-3)$.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
Rozwiąż nierówność $x^3-3x^2-4x+12\ge0$.
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3+2x-3$ przez $(x+1)$.
Wymnóż $(x+2)^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Oblicz $W(-1)$ dla $W(x)=2x^3+x^2-x+3$ i podaj resztę z dzielenia przez $(x+1)$.
Rozwiąż równanie $2x^3-3x^2-3x+2=0$.
Sprawdź, czy liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3-3x+2$.
Rozłóż na czynniki wielomian $x^3-4x$.
Reszta z dzielenia $W(x)=x^4+1$ przez $(x-1)$ wynosi:
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+1}{x-2}\ge2$.
Rozłóż na czynniki wielomian $W(x)=x^3-6x^2+11x-6$, wiedząc, że jednym z pierwiastków jest $x=1$.
Liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$, gdy:
Wykonaj dzielenie $\left(x^2+5x+6\right):(x+2)$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2-1}{x+3}\le x-1$.
Rozłóż na czynniki: $x^3-1$.
Sprawdź, czy liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3-2x^2-x+2$.
Dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x)=x^3+mx-6$ dzieli się przez $(x-2)$?
Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x+2$. Wyznacz $a$ i $b$ oraz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Rozłóż na czynniki: $x^4-16$.
Wymnóż $(x-5)^2$.
Jeśli $W(3)=0$, to wielomian $W(x)$ dzieli się przez:
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x-1$ jest równa $3$, a przez $x+2$ jest równa $-3$. Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)(x+2)$.
Rozwiąż równanie $x^3-4x=0$.
Rozwiąż równanie $x^3-9x=0$.
Wielomiany $W(x)=ax^2+3x+1$ oraz $P(x)=2x^2+bx+1$ są równe. Wyznacz $a$ i $b$.
Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których wielomian $W(x)=x^3-3x+m$ ma pierwiastek podwójny.
Wyznacz wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu $W(x)=2x^3-3x^2-3x+2$.
Stopień iloczynu wielomianów stopnia $3$ i stopnia $2$ wynosi:
Stopień ilorazu przy dzieleniu wielomianu stopnia $5$ przez wielomian stopnia $2$ wynosi:
Rozwiąż nierówność $x^4-5x^2+4\lt 0$.
Wielomian stopnia $3$ ma co najwyżej ile pierwiastków rzeczywistych?
Wykonaj mnożenie $(x+1)(x^2-x+1)$.
Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)$ wynosi $3$, a przez $(x+2)$ wynosi $-6$. Oblicz $W(1)$ i $W(-2)$.
Dla jakiej wartości parametru $m$ wielomian $W(x)=x^3+mx^2-4$ jest podzielny przez $(x-2)$?
Rozłóż na czynniki $x^2-7x+12$.
Wykonaj dzielenie $\left(x^3-1\right):(x-1)$.
Rozwiąż nierówność $(x-1)(x+2)(x-4)>0$.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-3)$ jest równa:
Wielomian $W(x)=x^3+2x^2-x-2$ ma pierwiastek $x=1$, bo:
Rozwiąż nierówność $(x-3)(x+1)^2\le 0$.
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3+2x^2-5$ przez $(x-1)$.
Dla jakich $a$ i $b$ wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny zarówno przez $(x-1)$, jak i przez $(x-2)$?
Współczynnik wiodący wielomianu $W(x)=-5x^3+2x^2-x+8$ wynosi:
Który zapis to poprawny rozkład różnicy sześcianów $x^3-8$?
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$ jest wielomianem stopnia:
Wielomiany $W(x)=ax^2+bx+3$ oraz $P(x)=2x^2-5x+c$ są równe. Wyznacz $a$, $b$, $c$.
Rozwiąż równanie $x^3-2x^2-3x=0$.
Wielomian $W(x)=x^3-4x^2+ax+b$ przy dzieleniu przez $(x-1)$ daje resztę $2$, a przez $(x+1)$ resztę $-6$. Wyznacz $a$ i $b$.
Rozłóż na czynniki metodą grupowania: $x^3+2x^2-3x-6$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax-6$ ma pierwiastek $x=2$. Wyznacz współczynnik $a$.
Rozłóż wielomian $W(x)=x^3-6x^2+11x-6$ na czynniki, wiedząc, że jednym z pierwiastków jest $x=1$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ ma pierwiastki $1$ i $2$. Wyznacz $a$ i $b$ oraz trzeci pierwiastek.
Rozłóż na czynniki wielomian $x^3+2x^2-x-2$ metodą grupowania.
Znajdź wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu $W(x)=x^3-2x^2-5x+6$.
Wykaż, że wielomian $W(x)=x^4+x^2+1$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Rozwiąż równanie $x^3-x^2-4x+4=0$, wykorzystując rozkład przez grupowanie.
Wykaż, że dla dowolnego $n$ naturalnego wielomian $x^n-1$ dzieli się przez $(x-1)$.
Dany jest wielomian $W(x)=-3x^{3}-x^{2}+kx+1$, gdzie $k$ jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że $W(x)=(x+1)\cdot Q(x)$ dla pewnego wielomianu $Q$. Liczba $k$ jest równa
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.