Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej (1)

Dla podstawy większej od $1$ funkcja wykładnicza jest rosnąca:

$$a>1 \Rightarrow \text{rosnąca}$$

Odpowiedź: B. rosnąca.

$$f(0)=3^0=1$$

$$f(1)=3^1=3$$

$$f(-1)=3^{-1}=\frac13$$

Odpowiedź: $1$, $3$, $\frac13$.

Dla każdej podstawy $a>0$ zachodzi $a^0=1$, więc:

$$f(0)=1 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (0,\ 1)$$

Odpowiedź: C. $(0,\ 1)$.

Dla podstawy z przedziału $(0,\ 1)$ funkcja wykładnicza jest malejąca:

$$0

Odpowiedź: A. malejąca.

Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste, $D=\mathbb{R}$.

Zbiór wartości: tylko liczby dodatnie:

$$ZW=(0,\ +\infty)$$

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}$, $ZW=(0,+\infty)$.

Dla $x\to-\infty$ wartości $2^x$ dążą do zera, więc asymptotą poziomą jest oś $OX$:

$$y=0$$

Uwaga: wykres nigdy nie dotyka tej prostej — wartości są zawsze dodatnie.

Odpowiedź: D. $y=0$.

Przesunięcie: dodanie $3$ do całej funkcji przesuwa wykres o $3$ jednostki w górę.

Asymptota pozioma: przesuwa się razem z wykresem:

$$y=0 \ \to\ y=3$$

Zbiór wartości też się przesuwa: $(3,\ +\infty)$.

Odpowiedź: przesunięcie o $3$ w górę, asymptota $y=3$.

Logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich:

$$D=(0,\ +\infty)$$

Odpowiedź: B. $x>0$.

$$f(1)=\log_2 1=0$$

$$f(2)=\log_2 2=1$$

$$f(8)=\log_2 8=3$$

Obserwacja: funkcja logarytmiczna rośnie powoli — ośmiokrotny wzrost argumentu daje wartość zaledwie $3$.

Odpowiedź: $0$, $1$, $3$.

Dla każdej podstawy $\log_a 1=0$, więc wykres przechodzi przez $(1,\ 0)$.

Ciekawa symetria: funkcja wykładnicza przechodzi przez $(0,1)$, a logarytmiczna przez $(1,0)$ — to punkty zamienione, bo funkcje są wzajemnie odwrotne.

Odpowiedź: C. $(1,\ 0)$.

Logarytm o podstawie $2$ jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie:

$$\log_2\left(2^x\right)=x$$

Geometrycznie: ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$.

Odpowiedź: A. $2^x$.

Krok 1 — sprowadzamy do wspólnej podstawy:

$$8=2^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2^x=2^3 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Zasada: funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc równość potęg oznacza równość wykładników.

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — dziedzina: $x>0$.

Krok 2 — z definicji logarytmu:

$$\log_3 x=2 \iff x=3^2=9$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $9>0$ ✔

Odpowiedź: $x=9$.

Dla podstawy z przedziału $(0,\ 1)$ funkcja logarytmiczna jest malejąca.

Analogia z wykładniczą: ten sam warunek na podstawę ($0

Odpowiedź: B. malejąca.

Przesunięcie: odjęcie $3$ od argumentu przesuwa wykres o $3$ jednostki w prawo.

Dziedzina. Argument logarytmu musi być dodatni:

$$x-3>0 \quad\Rightarrow\quad x>3$$

Asymptota pionowa też przesuwa się: z $x=0$ na $x=3$.

Odpowiedź: przesunięcie o $3$ w prawo, $D=(3,+\infty)$.

Gdy $x\to0^+$, wartości logarytmu dążą do $-\infty$, więc asymptotą pionową jest oś $OY$:

$$x=0$$

Odpowiedź: D. $x=0$.

Krok 1 — sprowadzamy do wspólnej podstawy $3$:

$$\left(\frac13\right)^x=3^{-x},\qquad 9=3^2$$

Krok 2 — porównujemy:

$$3^{-x}=3^2 \quad\Rightarrow\quad -x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9$ ✔

Uwaga: $\frac13=3^{-1}$, więc $\left(\frac13\right)^x=3^{-x}$ — kluczowy krok do wspólnej podstawy.

Odpowiedź: $x=-2$.

Krok 1 — przesunięcie. $g$ to $2^x$ przesunięte o $4$ w dół.

Krok 2 — asymptota pozioma:

$$y=0 \ \to\ y=-4$$

Krok 3 — zbiór wartości:

$$ZW=(-4,\ +\infty)$$

Krok 4 — miejsce zerowe. Szukamy $g(x)=0$:

$$2^x-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2^x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Podsumowanie przebiegu. Funkcja rośnie, przecina oś $OX$ w $x=2$, a dla $x\to-\infty$ zbliża się do prostej $y=-4$ od góry.

Odpowiedź: asymptota $y=-4$, $ZW=(-4,+\infty)$, miejsce zerowe $x=2$.

Krok 1 — dlaczego wykładnicza rosnąca. Zmienna $t$ jest w wykładniku, a podstawa $1{,}05>1$, więc funkcja rośnie wykładniczo.

Krok 2 — wartość początkowa:

$$K(0)=1000\cdot1{,}05^0=1000\ \text{zł}$$

Krok 3 — po dwóch latach:

$$K(2)=1000\cdot1{,}05^2=1000\cdot1{,}1025=1102{,}50\ \text{zł}$$

Interpretacja. To model procentu składanego — kapitał przyrasta coraz szybciej, bo odsetki naliczają się od rosnącej kwoty. Wykres to rosnąca krzywa wykładnicza startująca z $(0,\ 1000)$.

Odpowiedź: $K(0)=1000$ zł, $K(2)=1102{,}50$ zł.

Krok 1 — funkcje wzajemnie odwrotne. Z definicji logarytmu:

$$g(f(x))=\log_2\left(2^x\right)=x,\qquad f(g(x))=2^{\log_2 x}=x$$

Złożenie w obie strony daje $x$, więc $f$ i $g$ są funkcjami odwrotnymi.

Krok 2 — własność symetrii. Jeśli punkt $(a,\ b)$ leży na wykresie $f$ (czyli $b=2^a$), to $a=\log_2 b$, więc punkt $(b,\ a)$ leży na wykresie $g$.

Krok 3 — wniosek. Zamiana współrzędnych $(a,b)\to(b,a)$ to właśnie symetria względem prostej $y=x$. Zatem wykresy $f$ i $g$ są swoimi odbiciami w tej prostej. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $(1,\ 2)$ leży na $f$ (bo $2^1=2$), a $(2,\ 1)$ leży na $g$ (bo $\log_2 2=1$) ✔