Konstrukcja wspólnej stycznej do dwóch okręgów

Dwa okręgi leżące na zewnątrz siebie (rozłączne) mają cztery wspólne styczne: dwie zewnętrzne i dwie wewnętrzne.

Odpowiedź: $4$.

Okręgi styczne zewnętrznie mają trzy wspólne styczne: dwie zewnętrzne i jedną w punkcie styczności.

Odpowiedź: D. $3$.

Krok 1 — porównujemy odległość środków z sumą promieni:

$$r_1+r_2=3+5=8,\qquad d=10$$

Krok 2 — wniosek. Skoro $d>r_1+r_2$ ($10>8$), okręgi są rozłączne zewnętrznie.

Krok 3 — liczba stycznych. Okręgi rozłączne zewnętrznie mają $4$ wspólne styczne.

Odpowiedź: $4$ styczne.

Okręgi przecinające się (w dwóch punktach) mają dwie wspólne styczne — obie zewnętrzne. Stycznych wewnętrznych nie ma, bo okręgi „zachodzą" na siebie.

Odpowiedź: B. $2$.

Gdy jeden okrąg leży w całości wewnątrz drugiego (bez styczności), nie ma żadnej wspólnej stycznej — nie da się poprowadzić prostej dotykającej obu.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — styczność wewnętrzna. Odległość środków równa się różnicy promieni:

$$d=|r_1-r_2|=4-2=2$$

Krok 2 — liczba stycznych. Okręgi styczne wewnętrznie mają dokładnie jedną wspólną styczną — w punkcie styczności.

Odpowiedź: $d=2$, jedna wspólna styczna.

Pełna klasyfikacja (dla promieni $r_1$, $r_2$ i odległości środków $d$):

• rozłączne zewnętrznie ($d>r_1+r_2$): 4 styczne,
• styczne zewnętrznie ($d=r_1+r_2$): 3,
• przecinające się ($|r_1-r_2|\lt d\lt r_1+r_2$): 2,
• styczne wewnętrznie ($d=|r_1-r_2|$): 1,
• jeden wewnątrz drugiego ($d\lt |r_1-r_2|$): 0.

Prawidłowość. Im „bliżej" okręgi, tym mniej wspólnych stycznych — od $4$ (osobno) do $0$ (jeden w drugim).

Odpowiedź: $4$, $3$, $2$, $1$ lub $0$ — jak wyżej.

Krok 1 — wartości graniczne:

$$r_1+r_2=8,\qquad |r_1-r_2|=6-2=4$$

Krok 2 — porównanie z $d=4$:

$$d=|r_1-r_2|=4$$

Krok 3 — wniosek. Skoro odległość środków równa się różnicy promieni, okręgi są styczne wewnętrznie — mniejszy leży wewnątrz większego i dotyka go w jednym punkcie.

Krok 4 — liczba stycznych: jedna wspólna styczna.

Odpowiedź: styczne wewnętrznie, $1$ wspólna styczna.

Krok 1 — model. Dla stycznej zewnętrznej odcinek między punktami styczności, linia środków i różnica promieni tworzą trójkąt prostokątny.

Krok 2 — długość stycznej zewnętrznej:

$$t=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}$$

Krok 3 — podstawiamy $d=25$, $r_1-r_2=3$:

$$t=\sqrt{25^2-3^2}=\sqrt{625-9}=\sqrt{616}=2\sqrt{154}\approx24{,}8$$

Uwaga. Dla stycznej zewnętrznej używamy różnicy promieni; dla wewnętrznej — sumy: $\sqrt{d^2-(r_1+r_2)^2}$.

Odpowiedź: $t=2\sqrt{154}$.