Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Zaznaczamy pierwiastki na osi. Krzywą prowadzimy od prawej strony z góry, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Przy każdym pierwiastku jednokrotnym krzywa przechodzi przez oś, przy dwukrotnym (ogólnie: parzystej krotności) tylko jej dotyka i wraca.
Dlatego $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak wyłącznie w $x=-4$.
$(x-1)(x-2)(x-3)<0$. Pierwiastki $1$, $2$, $3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(2,3)$.
Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, więc:
$$\frac{L(x)}{M(x)}>0 \iff L(x)\cdot M(x)>0 \quad\text{przy } M(x)\neq0$$
To pozwala korzystać z tej samej krzywej znaków co przy wielomianach.
Nie mnożymy nierówności przez mianownik z niewiadomą — nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{x+2}{x-1}\ge1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$
Stąd $\frac{x}{x-3}\ge0$ daje $x\in(-\infty,0\rangle\cup(3,+\infty)$ — zero domknięte, trójka nie.
Z $x^3\ge4x$ nie wolno skracać przez $x$ (gubimy rozwiązania i mylimy znak). Poprawnie:
$$x^3-4x\ge0 \iff x(x-2)(x+2)\ge0 \iff x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$
Podstaw jedną liczbę z każdego wyznaczonego przedziału do wyjściowej nierówności. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje niemal każdy błąd znaku.
Trzy klasyczne błędy: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, pominięcie warunku na dziedzinę oraz mechaniczne naprzemienne wpisywanie znaków bez sprawdzenia krotności pierwiastków.
Co robi: sprowadza nierówność wymierną do wielomianowej, którą rozwiązuje się jedną metodą — krzywą znaków na osi liczbowej.
Elementy: $L(x)$ to licznik, $M(x)$ — mianownik. Ułamek ma zawsze taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, bo dzielenie i mnożenie rządzą się tą samą regułą znaków.
Jak rysować krzywą: zaznaczamy pierwiastki na osi i prowadzimy krzywą od prawej strony z góry (gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni). W pierwiastku jednokrotnym krzywa przecina oś, w dwukrotnym tylko jej dotyka.
Przykład: $\frac{x-2}{x+1} > 0$ sprowadzamy do $(x-2)(x+1) > 0$, skąd $x \in (-\infty,-1) \cup (2,+\infty)$.
Nawiasy: pierwiastki licznika domykamy przy nierówności nieostrej, ale pierwiastki mianownika zostają wyłączone zawsze. Dlatego $\frac{x}{x-3} \ge 0$ daje $x \in (-\infty,\,0\rangle \cup (3,+\infty)$.
Pułapka: mnożenie nierówności przez mianownik z niewiadomą. Nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.
Co robi: wyznacza zbiór rozwiązań nierówności wielomianowej metodą graficzną („wężyka”).
Elementy: rozkładamy wielomian na czynniki, zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy krzywą od prawej góry (gdy $a>0$). Przy pierwiastku o krotności nieparzystej krzywa przechodzi przez oś, przy parzystej — odbija się.
Przykład: $(x-1)(x+2)^2(x-4)>0$: pierwiastki $-2$ (krotność 2, odbicie), $1$ i $4$ (przejścia). Rozwiązanie: $x\in(-\infty,-2)\cup(-2,1)\cup(4,+\infty)$.
Pułapka: pierwiastek podwójny nie zmienia znaku, ale nadal jest miejscem zerowym — przy nierówności ostrej trzeba go wykluczyć ze zbioru rozwiązań.
Rozwiązaniem nierówności $(x-2)(x+3)<0$ jest:
Rozwiąż nierówność $x(x-5)\ge0$.
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+3x-5$ przez dwumian $x-2$.
Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{x+1}{x-4}$.
Wyznacz $m$, dla którego liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3+mx^2-4x+4$.
Ile miejsc zerowych ma wielomian $W(x)=x(x-1)(x+6)$?
Rozwiąż nierówność $x^3-3x^2-4x+12\ge0$.
Rozłóż na czynniki wielomian $W(x)=x^3-9x$.
Rozwiąż równanie $2x^3-3x^2-3x+2=0$.
Dla jakich $x$ zachodzi $\frac{1}{x}>0$?
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+1}{x-2}\ge2$.
Rozwiąż nierówność $x^2-4x+3>0$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2-1}{x+3}\le x-1$.
Rozwiąż nierówność $\frac{x-2}{x+1}>0$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x+2$. Wyznacz $a$ i $b$ oraz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Które $x$ nie należy do dziedziny wyrażenia $\frac{5}{x^2-9}$?
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x-1$ jest równa $3$, a przez $x+2$ jest równa $-3$. Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)(x+2)$.
Rozwiąż nierówność $(x-1)(x-2)(x-3)<0$.
Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których wielomian $W(x)=x^3-3x+m$ ma pierwiastek podwójny.
Rozwiązaniem nierówności $x^2\le16$ jest:
Rozwiąż nierówność $x^4-5x^2+4\lt 0$.
Rozwiąż nierówność $\frac{3}{x-2}\le0$.
Rozwiąż nierówność $x^3\ge4x$.
Wielomian $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak w punkcie:
Rozwiąż równanie wielomianowe $x^3-5x^2+6x=0$.
Nierówność $\frac{x}{x-3}\ge0$ ma rozwiązanie:
Rozwiąż nierówność $\frac{x+2}{x-1}\ge1$.
Rozwiąż nierówność $\frac{x^2-4}{x+1}\le0$.
Sprawdź, czy $x=2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3-3x^2+4x-4$, a następnie rozłóż go na czynniki.
Wyznacz dziedzinę i rozwiąż nierówność $\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.