Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Zaznaczamy pierwiastki na osi. Krzywą prowadzimy od prawej strony z góry, jeśli współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Przy każdym pierwiastku jednokrotnym krzywa przechodzi przez oś, przy dwukrotnym (ogólnie: parzystej krotności) tylko jej dotyka i wraca.
Dlatego $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak wyłącznie w $x=-4$.
$(x-1)(x-2)(x-3)<0$. Pierwiastki $1$, $2$, $3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$. Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(2,3)$.
Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, więc:
$$\frac{L(x)}{M(x)}>0 \iff L(x)\cdot M(x)>0 \quad\text{przy } M(x)\neq0$$
To pozwala korzystać z tej samej krzywej znaków co przy wielomianach.
Nie mnożymy nierówności przez mianownik z niewiadomą — nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
$$\frac{x+2}{x-1}\ge1 \quad\Rightarrow\quad \frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$
Stąd $\frac{x}{x-3}\ge0$ daje $x\in(-\infty,0\rangle\cup(3,+\infty)$ — zero domknięte, trójka nie.
Z $x^3\ge4x$ nie wolno skracać przez $x$ (gubimy rozwiązania i mylimy znak). Poprawnie:
$$x^3-4x\ge0 \iff x(x-2)(x+2)\ge0 \iff x\in\langle-2,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$
Podstaw jedną liczbę z każdego wyznaczonego przedziału do wyjściowej nierówności. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje niemal każdy błąd znaku.
Trzy klasyczne błędy: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą, pominięcie warunku na dziedzinę oraz mechaniczne naprzemienne wpisywanie znaków bez sprawdzenia krotności pierwiastków.
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed rozwiązaniem i na końcu sprawdzamy, czy wynik do niej należy.
$$\frac{L(x)}{M(x)}=0 \iff L(x)=0 \ \text{i} \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje licznik; mianownik musi być tylko różny od zera.
Mnożymy obie strony przez mianownik (lub przez wspólny mianownik), rozwiązujemy i odrzucamy pierwiastki spoza dziedziny. Alternatywnie mnożymy „na krzyż”.
Nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik o zmiennym znaku — nie wiadomo, czy odwrócić znak. Zamiast tego:
$$\frac{L}{M}>0 \iff L\cdot M>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc badamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika.
Przy nierówności nieostrej pierwiastek licznika domykamy (ułamek równy zeru jest dozwolony), ale pierwiastek mianownika zawsze wykluczamy — to punkt spoza dziedziny.
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $x=4$ dni wspólnej pracy.
Najczęstszy błąd to pominięcie dziedziny i przyjęcie pierwiastka „obcego”, który zeruje mianownik.
Co robi: sprowadza nierówność wymierną do wielomianowej, którą rozwiązuje się jedną metodą — krzywą znaków na osi liczbowej.
Elementy: $L(x)$ to licznik, $M(x)$ — mianownik. Ułamek ma zawsze taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika, bo dzielenie i mnożenie rządzą się tą samą regułą znaków.
Jak rysować krzywą: zaznaczamy pierwiastki na osi i prowadzimy krzywą od prawej strony z góry (gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni). W pierwiastku jednokrotnym krzywa przecina oś, w dwukrotnym tylko jej dotyka.
Przykład: $\frac{x-2}{x+1} > 0$ sprowadzamy do $(x-2)(x+1) > 0$, skąd $x \in (-\infty,-1) \cup (2,+\infty)$.
Nawiasy: pierwiastki licznika domykamy przy nierówności nieostrej, ale pierwiastki mianownika zostają wyłączone zawsze. Dlatego $\frac{x}{x-3} \ge 0$ daje $x \in (-\infty,\,0\rangle \cup (3,+\infty)$.
Pułapka: mnożenie nierówności przez mianownik z niewiadomą. Nie znamy jego znaku, a mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot nierówności. Zamiast tego przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika.
Co robi: sprowadza równanie wymierne do wielomianowego, a nierówność wymierną — do iloczynowej (bo iloraz i iloczyn mają ten sam znak).
Elementy: $P$, $Q$ — wielomiany. Najpierw wyznaczamy dziedzinę ($Q(x)\ne 0$), potem rozwiązujemy, na końcu odrzucamy rozwiązania spoza dziedziny.
Przykład: $\frac{x-1}{x+2}>0$ zamieniamy na $(x-1)(x+2)>0$, skąd $x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$ — zgodne z dziedziną $x\ne -2$.
Pułapka: nigdy nie mnóż nierówności przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwrócić kierunek. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika.
Rozwiązaniem nierówności $(x-2)(x+3)<0$ jest:
Dziedziną równania $\dfrac{1}{x-4}=2$ jest zbiór:
Wyrażenie $\frac{1}{x-3}$ jest określone dla:
Rozwiąż nierówność $x(x-5)\ge0$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{6}{x}=3$.
Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{5}{x+2}$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2\ge2ab$.
Oblicz resztę z dzielenia wielomianu $W(x)=x^3-2x^2+3x-5$ przez dwumian $x-2$.
Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\frac{x+1}{x-4}$.
Wyznacz dziedzinę wyrażenia $\dfrac{x+1}{x^2-9}$.
Skróć wyrażenie $\frac{2x}{4x^2}$ (dla $x\neq0$).
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ prawdziwa jest nierówność $x+\dfrac1x\ge2$.
Wyznacz $m$, dla którego liczba $2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3+mx^2-4x+4$.
Ile miejsc zerowych ma wielomian $W(x)=x(x-1)(x+6)$?
Ułamek $\dfrac{x-2}{x+5}$ jest równy zeru, gdy:
Wyrażenie $\frac{x^2-4}{x-2}$ (dla $x\neq2$) upraszcza się do:
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4$.
Rozwiąż nierówność $x^3-3x^2-4x+12\ge0$.
Rozłóż na czynniki wielomian $W(x)=x^3-9x$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{x+3}{x-1}=0$.
Rozwiąż równanie $\frac{6}{x}=3$.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność $x^4-4x+3\ge0$.
Rozwiąż równanie $2x^3-3x^2-3x+2=0$.
Dla jakich $x$ zachodzi $\frac{1}{x}>0$?
Ułamek $\dfrac{3}{x-2}$ jest dodatni, gdy:
Rozwiąż równanie $\frac{x+1}{x-1}=2$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+1}{x-2}\ge2$.
Rozwiąż nierówność $x^2-4x+3>0$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=1$.
Dziedziną wyrażenia $\frac{x}{x^2-1}$ jest zbiór liczb rzeczywistych bez:
Liczby rzeczywiste $a$ i $b$ spełniają warunki $a+b=2$ oraz $a^2+b^2\le2$. Wykaż, że $a=b=1$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x^2-1}{x+3}\le x-1$.
Rozwiąż nierówność $\frac{x-2}{x+1}>0$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{4}{x-2}$.
Dodaj ułamki $\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}$ (dla $x\neq0$).
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $(a+b)^3\ge4ab(a+b)$.
Wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny przez dwumiany $x-1$ oraz $x+2$. Wyznacz $a$ i $b$ oraz trzeci pierwiastek tego wielomianu.
Które $x$ nie należy do dziedziny wyrażenia $\frac{5}{x^2-9}$?
Nierówność $\dfrac{1}{x}>0$ jest spełniona dla:
Rozwiąż równanie $\frac{x}{3}=\frac{4}{6}$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$, $b$, $c$ prawdziwa jest nierówność $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $x-1$ jest równa $3$, a przez $x+2$ jest równa $-3$. Wyznacz resztę z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)(x+2)$.
Rozwiąż nierówność $(x-1)(x-2)(x-3)<0$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x-3}{x+1}>0$.
Wyrażenie $\frac{3x+6}{3}$ upraszcza się do:
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $n^5-n$ jest podzielna przez $30$.
Wyznacz wszystkie wartości $m$, dla których wielomian $W(x)=x^3-3x+m$ ma pierwiastek podwójny.
Rozwiązaniem nierówności $x^2\le16$ jest:
Rozwiązując nierówność wymierną, mnożymy obustronnie przez mianownik:
Rozwiąż równanie $\frac{2}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{4}$.
Liczby dodatnie $a$ i $b$ spełniają warunek $a+b=1$. Wykaż, że $ab\le\tfrac14$ oraz $\left(1+\dfrac1a\right)\left(1+\dfrac1b\right)\ge9$.
Rozwiąż nierówność $x^4-5x^2+4\lt 0$.
Rozwiąż nierówność $\frac{3}{x-2}\le0$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x+1}$.
Skróć wyrażenie $\frac{x^2+3x}{x}$ (dla $x\neq0$).
Rozwiąż nierówność $x^3\ge4x$.
Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-3}$.
Równanie $\frac{1}{x}=0$:
Wielomian $W(x)=(x-1)^2(x+4)$ zmienia znak w punkcie:
Nierówność $\dfrac{2}{x}<0$ ma rozwiązanie:
Pomnóż $\frac{2}{x}\cdot\frac{x}{5}$ (dla $x\neq0$).
Rozwiąż równanie wielomianowe $x^3-5x^2+6x=0$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=3$.
Rozwiąż równanie $\frac{x+2}{x}=\frac{5}{3}$.
Nierówność $\frac{x}{x-3}\ge0$ ma rozwiązanie:
Które $x$ NIE należy do dziedziny wyrażenia $\dfrac{x+1}{x^2-x}$?
Wyrażenie $\frac{x-5}{5-x}$ (dla $x\neq5$) jest równe:
Rozwiąż nierówność $\frac{x+2}{x-1}\ge1$.
Rozwiąż równanie $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{5}{6}$.
Rozwiąż równanie $\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x+1}$.
Rozwiąż nierówność $\frac{x^2-4}{x+1}\le0$.
Rozwiąż nierówność $\dfrac{x+2}{x-1}\le0$.
Rozwiąż równanie $\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}$ i zwróć uwagę na dziedzinę.
Sprawdź, czy $x=2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)=x^3-3x^2+4x-4$, a następnie rozłóż go na czynniki.
Dwie ekipy malują halę. Pierwsza sama zrobiłaby to w $6$ dni, druga w $12$ dni. W ile dni pomalują halę razem?
Dwie osoby malują płot: pierwsza w $6$ h, druga w $3$ h. W ile godzin pomalują razem?
Wyznacz dziedzinę i rozwiąż nierówność $\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$.
Wykaż, że równanie $\dfrac{x^2+1}{x}=1$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Wykaż, że dla $x\neq0$ wyrażenie $\frac{x^2+x}{x}-x$ jest stałe, i podaj jego wartość.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.