Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej — powtórzenie

$$\Delta=b^2-4ac$$

Odpowiedź: B. $b^2-4ac$.

$a=1$, $b=-6$, $c=5$:

$$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16$$

Odpowiedź: $\Delta=16$.

Krok 1 — delta (z zad. 2): $\Delta=16$, $\sqrt{\Delta}=4$.

Krok 2 — wzory na pierwiastki:

$$x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5$$

Sprawdzenie: $1\cdot5=5=c$ ✔ (wzór Viète’a).

Odpowiedź: $x_1=1$, $x_2=5$.

Współczynnik $a=3>0$, więc ramiona skierowane w górę.

Odpowiedź: C. w górę.

Krok 1 — pierwsza współrzędna:

$$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$$

Krok 2 — druga współrzędna:

$$q=f(2)=4-8+1=-3$$

Odpowiedź: $W=(2,-3)$.

Dla $\Delta<0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych — parabola nie przecina osi $OX$.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — delta:

$$\Delta=49-48=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{7+1}{2}=4$$

Odpowiedź: $x\in\{3,4\}$.

Krok 1 — wierzchołek (z zad. 5): $W=(2,-3)$.

Krok 2 — postać kanoniczna $f(x)=a(x-p)^2+q$:

$$f(x)=(x-2)^2-3$$

Sprawdzenie: $(x-2)^2-3=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=(x-2)^2-3$.

Przecięcie z osią $OY$ dla $x=0$:

$$f(0)=1 \quad\Rightarrow\quad (0,1)$$

Wskazówka: to zawsze wyraz wolny $c$.

Odpowiedź: D. $(0,1)$.

Krok 1 — $a=-2<0$, więc parabola ma maksimum w wierzchołku.

Krok 2 — argument:

$$p=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=-\frac{8}{-4}=2$$

Krok 3 — wartość największa:

$$f(2)=-8+16-3=5$$

Odpowiedź: dla $x=2$ wartość największa $5$.

Postać iloczynowa: $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$$1\cdot(x-2)(x-(-3))=(x-2)(x+3)$$

Odpowiedź: B. $(x-2)(x+3)$.

Krok 1 — równanie niezupełne (brak wyrazu $bx$):

$$2x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x^2=4$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,2\}$.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias (brak wyrazu wolnego):

$$x(x+5)=0$$

Krok 2 — iloczyn zerowy:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x+5=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=-5$$

Odpowiedź: $x\in\{-5,0\}$.

Oś symetrii to $x=p=2$ (pierwsza współrzędna wierzchołka).

Odpowiedź: C. $x=2$.

Krok 1 — miejsca zerowe (z zad. 3): $x_1=1$, $x_2=5$.

Krok 2 — kształt paraboli. $a=1>0$ — ramiona w górę, wartości dodatnie poza pierwiastkami.

Krok 3 — odczyt:

$$x\in(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$$

Uwaga: nierówność ostra „$>$” — końce otwarte.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$.

$$\Delta=36-36=0$$

Dla $\Delta=0$ jest jedno (podwójne) miejsce zerowe: $x=\frac{6}{2}=3$.

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Delta:

$$\Delta=16-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4,\qquad \sqrt{\Delta}=2$$

$$x_1=\frac{-4-2}{-2}=3,\qquad x_2=\frac{-4+2}{-2}=1$$

Krok 2 — kształt. $a=-1<0$ — ramiona w dół, wartości dodatnie między pierwiastkami.

Krok 3 — nierówność „$\ge$” — końce domknięte:

$$x\in\langle1,\ 3\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle1,3\rangle$.

Krok 1 — zmienne. Niech liczby to $x$ i $10-x$. Iloczyn:

$$P(x)=x(10-x)=-x^2+10x$$

Krok 2 — to parabola z $a=-1<0$, ma maksimum w wierzchołku:

$$x=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=5$$

Krok 3 — wartość:

$$P(5)=5\cdot5=25$$

Wniosek. Przy ustalonej sumie iloczyn jest największy, gdy liczby są równe ($5$ i $5$).

Odpowiedź: największy iloczyn to $25$.

Krok 1 — postać kanoniczna z wierzchołkiem:

$$f(x)=a(x-1)^2-4$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$ z punktu $(3,0)$:

$$0=a(3-1)^2-4 \quad\Rightarrow\quad 0=4a-4 \quad\Rightarrow\quad a=1$$

Krok 3 — wzór:

$$f(x)=(x-1)^2-4=x^2-2x-3$$

Sprawdzenie: $f(3)=9-6-3=0$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=x^2-2x-3$.

Sposób 1 — postać kanoniczna. Uzupełniamy do kwadratu:

$$x^2+2x+5=(x^2+2x+1)+4=(x+1)^2+4$$

Ponieważ $(x+1)^2\ge0$, to $(x+1)^2+4\ge4>0$ dla każdego $x$. $\quad∎$

Sposób 2 — delta. $\Delta=4-20=-16<0$ oraz $a=1>0$, więc parabola leży w całości nad osią $OX$ — potwierdza wynik.

Wniosek: najmniejsza wartość funkcji to $4$ (w $x=-1$), więc wszystkie wartości są dodatnie.