Funkcja logarytmiczna

Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę?

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

Warto rozpisać potęgi trójki: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$.

Odpowiedź: C. $4$.

Dla funkcji wykładniczej $a^x$ przy podstawie $a>1$ funkcja jest rosnąca. Tutaj $a=3>1$.

Sprawdzenie: $f(0)=1$, $f(1)=3$, $f(2)=9$ — wartości rosną.

Odpowiedź: B. rosnąca.

Dla podstawy większej od $1$ funkcja wykładnicza jest rosnąca:

$$a>1 \Rightarrow \text{rosnąca}$$

Odpowiedź: B. rosnąca.

Logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich:

$$x>0$$

Odpowiedź: B. $(0,\infty)$.

Sposób 1 — osobno każdy logarytm:

$$\log_2 8=3 \quad (\text{bo } 2^3=8),\qquad \log_2 4=2 \quad (\text{bo } 2^2=4)$$

$$3+2=5$$

Sposób 2 — wzór na logarytm iloczynu:

$$\log_a x+\log_a y=\log_a(x\cdot y)$$

$$\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5 \quad (\text{bo } 2^5=32)$$

Oba sposoby dają ten sam wynik — drugi bywa niezbędny, gdy pojedyncze logarytmy nie są „ładne”.

Odpowiedź: $5$.

Dziedzina: potęgę o dodatniej podstawie można obliczyć dla dowolnego wykładnika, więc:

$$D=\mathbb{R}$$

Zbiór wartości: potęga o dodatniej podstawie jest zawsze dodatnia, ale nigdy nie osiąga zera:

$$ZW=(0,\,+\infty)$$

Uwaga: przedział jest otwarty — wartość $0$ nie należy do zbioru wartości.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}$, $ZW=(0,\,+\infty)$.

$$f(0)=3^0=1$$

$$f(1)=3^1=3$$

$$f(-1)=3^{-1}=\frac13$$

Odpowiedź: $1$, $3$, $\frac13$.

$$f(8)=\log_2 8=3 \quad (2^3=8)$$

Odpowiedź: $3$.

Pojedyncze logarytmy nie są liczbami całkowitymi, więc korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$$

Podstawiamy:

$$\log_5 100-\log_5 4=\log_5\frac{100}{4}=\log_5 25$$

Obliczamy:

$$\log_5 25=2 \quad (\text{bo } 5^2=25)$$

Odpowiedź: $2$.

Dla $x=0$ mamy $a^0=1$ niezależnie od podstawy, więc każdy wykres przechodzi przez punkt $(0,\,1)$.

Dla porównania: wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez $(1,\,0)$.

Odpowiedź: C. $(0,\,1)$.

Dla każdej podstawy $a>0$ zachodzi $a^0=1$, więc:

$$f(0)=1 \quad\Rightarrow\quad \text{punkt } (0,\ 1)$$

Odpowiedź: C. $(0,\ 1)$.

Bo $\log_a 1=0$ dla każdej podstawy, więc zawsze $(1,0)$.

Odpowiedź: C. $(1,0)$.

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich.

Dlaczego: $\log_2 x=y$ oznacza $2^y=x$. Potęga o podstawie dodatniej zawsze daje wynik dodatni — nie da się otrzymać zera ani liczby ujemnej.

$$D=(0,\,+\infty)$$

Uwaga na odpowiedź C: zero nie należy do dziedziny, bo żadna potęga dwójki nie jest równa zeru.

Odpowiedź: B. $x>0$.

Podstawa $a=\frac13$ mieści się w przedziale $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca.

Sprawdzenie na wartościach:

$$f(0)=1,\qquad f(1)=\tfrac13,\qquad f(2)=\tfrac19$$

Wartości maleją, choć pozostają dodatnie.

Odpowiedź: malejąca, bo $0<\frac13<1$.

Dla podstawy z przedziału $(0,\ 1)$ funkcja wykładnicza jest malejąca:

$$0

Odpowiedź: A. malejąca.

Dla podstawy $a>1$ funkcja logarytmiczna jest rosnąca.

Odpowiedź: A. rosnąca.

Krok 1 — sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy:

$$32=2^5$$

$$2^x=2^5$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc z równości potęg o tej samej podstawie wynika równość wykładników:

$$x=5$$

Sprawdzenie: $2^5=32$ ✔

Odpowiedź: $x=5$.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność:

$$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac14$$

Uwaga: wynik jest dodatni, mimo ujemnego wykładnika — funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.

Odpowiedź: $f(-2)=\frac14$.

Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste, $D=\mathbb{R}$.

Zbiór wartości: tylko liczby dodatnie:

$$ZW=(0,\ +\infty)$$

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}$, $ZW=(0,+\infty)$.

Warunek — argument dodatni:

$$x-3>0 \quad\Rightarrow\quad x>3$$

$$x\in(3,\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(3,\infty)$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$27=3^3 \quad\Rightarrow\quad 3^{2x-1}=3^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2x-1=3$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $3^{2\cdot2-1}=3^3=27$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Gdy $x$ dąży do minus nieskończoności, wartości $2^x$ zbliżają się do zera, ale nigdy go nie osiągają:

$$\lim_{x\to-\infty}2^x=0$$

Asymptotą poziomą jest oś OX, czyli prosta $y=0$.

Odpowiedź: D. $y=0$.

Dla $x\to-\infty$ wartości $2^x$ dążą do zera, więc asymptotą poziomą jest oś $OX$:

$$y=0$$

Uwaga: wykres nigdy nie dotyka tej prostej — wartości są zawsze dodatnie.

Odpowiedź: D. $y=0$.

Z definicji logarytmu:

$$x=2^4=16$$

Sprawdzenie dziedziny: $16>0$ ✔

Odpowiedź: $x=16$.

O monotoniczności funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ decyduje podstawa:

$$a>1 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad 0

Tutaj $a=\frac12$, czyli $0maleje w całej dziedzinie.

Sprawdźmy na liczbach:

$$f(0)=1,\qquad f(1)=\tfrac12,\qquad f(2)=\tfrac14$$

Wartości faktycznie maleją.

Odpowiedź: A.

Funkcja $2^x$ jest rosnąca, a $100>99$, więc:

$$2^{100}>2^{99}$$

Ile razy większa:

$$\frac{2^{100}}{2^{99}}=2^{100-99}=2$$

Odpowiedź: $2^{100}$ jest dwa razy większa.

Przesunięcie: dodanie $3$ do całej funkcji przesuwa wykres o $3$ jednostki w górę.

Asymptota pozioma: przesuwa się razem z wykresem:

$$y=0 \ \to\ y=3$$

Zbiór wartości też się przesuwa: $(3,\ +\infty)$.

Odpowiedź: przesunięcie o $3$ w górę, asymptota $y=3$.

Logarytm „odwraca” potęgowanie: $\log_a x$ jest odwrotnością $a^x$.

Odpowiedź: D. wykładniczej.

Krok 1 — dziedzina. Argument logarytmu musi być dodatni:

$$x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$

Krok 2 — przechodzimy na postać wykładniczą. Zapis $\log_2 A=3$ oznacza $A=2^3$:

$$x-1=2^3=8$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=9$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $9>1$ ✔

Sprawdzenie w równaniu: $\log_2(9-1)=\log_2 8=3$ ✔

Uwaga: w równaniach logarytmicznych wyznaczenie dziedziny to nie formalność — rozwiązania spoza niej trzeba odrzucić.

Odpowiedź: $x=9$.

Krok 1 — wzór. Przesunięcie w górę to dodanie stałej na zewnątrz:

$$g(x)=2^x+3$$

Krok 2 — asymptota. Skoro cały wykres przesunął się o $3$ w górę, asymptota też:

$$y=3$$

Zbiór wartości zmienia się na $(3,\,+\infty)$.

Odpowiedź: $g(x)=2^x+3$; asymptota $y=3$.

Logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich:

$$D=(0,\ +\infty)$$

Odpowiedź: B. $x>0$.

$$\log_3 27=3 \quad (3^3=27)$$

$$\log_3 1=0$$

$$3+0=3$$

Odpowiedź: $3$.

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $1$:

$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$

Każda liczba dodatnia podniesiona do potęgi zerowej daje $1$, więc wynik nie zależy od podstawy.

Druga zależność warta zapamiętania: $\log_a a=1$, bo $a^1=a$.

Odpowiedź: D. $0$.

Funkcja $3^x$ jest rosnąca (podstawa $>1$), więc większy wykładnik daje większą wartość:

$$3^5=243>81=3^4 \ ✔$$

Dla porównania: przy podstawie $\frac12$ (funkcja malejąca) większy wykładnik daje mniejszą wartość, więc C jest fałszywe. Podobnie $3^{-1}=\frac13<1=3^0$.

Odpowiedź: A.

$$f(1)=\log_2 1=0$$

$$f(2)=\log_2 2=1$$

$$f(8)=\log_2 8=3$$

Obserwacja: funkcja logarytmiczna rośnie powoli — ośmiokrotny wzrost argumentu daje wartość zaledwie $3$.

Odpowiedź: $0$, $1$, $3$.

Logarytm przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.

Odpowiedź: B. $\mathbb{R}$.

Krok 1 — zamieniamy drugi czynnik na podstawę $2$. Ze wzoru na zmianę podstawy:

$$\log_5 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 5}$$

Krok 2 — podstawiamy do iloczynu:

$$\log_2 5\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8$$

Czynnik $\log_2 5$ się skraca.

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Reguła ogólna: $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$ — podstawy „skracają się” jak ogniwa łańcucha.

Odpowiedź: $3$.

Dziedzina: logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich:

$$D=(0,\,+\infty)$$

Zbiór wartości: logarytm przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste:

$$ZW=\mathbb{R}$$

Obserwacja: funkcja logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej — ich dziedziny i zbiory wartości zamieniają się miejscami.

Odpowiedź: $D=(0,\,+\infty)$, $ZW=\mathbb{R}$.

Dla każdej podstawy $\log_a 1=0$, więc wykres przechodzi przez $(1,\ 0)$.

Ciekawa symetria: funkcja wykładnicza przechodzi przez $(0,1)$, a logarytmiczna przez $(1,0)$ — to punkty zamienione, bo funkcje są wzajemnie odwrotne.

Odpowiedź: C. $(1,\ 0)$.

Krok 1 — postać wykładnicza:

$$2x=5^2=25$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=12{,}5$$

Krok 3 — dziedzina: $2x=25>0$ ✔

Odpowiedź: $x=12{,}5$.

Krok 1 — sprowadzamy obie strony do podstawy $2$:

$$4=2^2,\qquad 8=2^3$$

$$\left(2^2\right)^x=2^3$$

Krok 2 — korzystamy ze wzoru $(a^m)^n=a^{mn}$:

$$2^{2x}=2^3$$

Krok 3 — porównujemy wykładniki:

$$2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\frac32$$

Sprawdzenie: $4^{3/2}=\left(\sqrt4\right)^3=2^3=8$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac32=1{,}5$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$\left(\frac23\right)^0=1$$

Odpowiedź: C. $1$.

Logarytm o podstawie $2$ jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie:

$$\log_2\left(2^x\right)=x$$

Geometrycznie: ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$.

Odpowiedź: A. $2^x$.

$100=10^2$, więc $\log_{10}100=2$.

Odpowiedź: A. $2$.

Podstawiamy $x=0$ do wzoru funkcji:

$$f(0)=a^0=1$$

Zachodzi to dla każdej dopuszczalnej podstawy, więc wszystkie wykresy funkcji wykładniczych przecinają oś OY w tym samym punkcie $(0,\,1)$.

Uwaga na kolejność współrzędnych: odpowiedź A ma te same liczby, ale zamienione miejscami — punkt $(1,\,0)$ leży na osi OX, a funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

Dla porównania: wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez $(1,\,0)$.

Odpowiedź: B. $(0,\,1)$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$27=3^3 \quad\Rightarrow\quad 3^x>3^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Podstawa $3>1$, więc funkcja jest rosnąca i znak nierówności zostaje bez zmian:

$$x>3$$

Odpowiedź: $x\in(3,\,+\infty)$.

Krok 1 — sprowadzamy do wspólnej podstawy:

$$8=2^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2^x=2^3 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Zasada: funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc równość potęg oznacza równość wykładników.

Odpowiedź: $x=3$.

Warunek:

$$2x-4>0 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

$$x\in(2,\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(2,\infty)$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$16=2^4 \quad\Rightarrow\quad 2^x>2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Podstawa $2>1$, więc funkcja jest rosnąca i znak nierówności pozostaje bez zmian:

$$x>4$$

Kluczowa uwaga: gdyby podstawa mieściła się w przedziale $(0,\,1)$, funkcja byłaby malejąca i znak nierówności trzeba by odwrócić. Przykładowo $\left(\frac12\right)^x>\frac{1}{16}$ daje $x<4$.

Odpowiedź: $x\in(4,\,+\infty)$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$\frac18=\left(\frac12\right)^3 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^3$$

Krok 2 — kluczowa uwaga. Podstawa $\frac12$ należy do przedziału $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca — przy porównywaniu wykładników odwracamy znak nierówności:

$$x<3$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $\left(\frac12\right)^0=1>\frac18$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,3)$.

Krok 1 — dziedzina: $x>0$.

Krok 2 — z definicji logarytmu:

$$\log_3 x=2 \iff x=3^2=9$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $9>0$ ✔

Odpowiedź: $x=9$.

Sposób — różnica logarytmów:

$$\log_2 32-\log_2 4=\log_2\frac{32}{4}=\log_2 8=3$$

Odpowiedź: $3$.

Pierwszy logarytm. Szukamy wykładnika dającego $\frac19$:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19 \quad\Rightarrow\quad \log_3\frac19=-2$$

Drugi logarytm. Podstawą jest teraz $\frac13$:

$$\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9 \quad\Rightarrow\quad \log_{\frac13} 9=-2$$

Obserwacja: oba wyniki są równe $-2$. Odwrócenie podstawy i odwrócenie argumentu jednocześnie nie zmienia wartości logarytmu.

Uwaga: logarytm może być ujemny — to nie błąd. Ujemny wynik oznacza tylko, że argument jest mniejszy od $1$ przy podstawie większej od $1$.

Odpowiedź: oba logarytmy wynoszą $-2$.

Zmiana wewnątrz wykładnika przesuwa wykres poziomo, a minus oznacza ruch w prawo.

Sprawdzenie: punkt $(0,\,1)$ przechodzi na $(1,\,1)$, bo $2^{1-1}=2^0=1$ ✔

Odpowiedź: B. o $1$ w prawo.

Dla podstawy z przedziału $(0,\ 1)$ funkcja logarytmiczna jest malejąca.

Analogia z wykładniczą: ten sam warunek na podstawę ($0

Odpowiedź: B. malejąca.

Dla podstawy $0

Odpowiedź: C. malejąca.

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Wykładnik „wychodzi przed” logarytm jako czynnik:

$$\log_a x^3=3\log_a x$$

Sprawdźmy na liczbach dla $a=2$, $x=4$:

$$\log_2 4^3=\log_2 64=6 \qquad \text{oraz} \qquad 3\log_2 4=3\cdot2=6$$

Zgadza się. Odpowiedź A dałaby $2^3=8$ — to zupełnie co innego.

Odpowiedź: C.

Obliczamy każdą:

$$2^3=8,\qquad 3^2=9,\qquad 2^{-1}=\tfrac12,\qquad 1=1$$

Porządkujemy:

$$\tfrac12<1<8<9$$

Odpowiedź: $2^{-1}<1<2^3<3^2$.

Przesunięcie: odjęcie $3$ od argumentu przesuwa wykres o $3$ jednostki w prawo.

Dziedzina. Argument logarytmu musi być dodatni:

$$x-3>0 \quad\Rightarrow\quad x>3$$

Asymptota pionowa też przesuwa się: z $x=0$ na $x=3$.

Odpowiedź: przesunięcie o $3$ w prawo, $D=(3,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x-1>0$, czyli $x>1$.

Krok 2 — postać wykładnicza:

$$x-1=2^3=8$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=9$$

Krok 4 — $9>1$ ✔

Odpowiedź: $x=9$.

Krok 1 — dziedzina. Oba argumenty muszą być dodatnie:

$$x>0 \quad \text{oraz} \quad x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

Krok 2 — łączymy logarytmy wzorem na logarytm iloczynu:

$$\log_3\left[x(x-2)\right]=1$$

Krok 3 — przechodzimy na postać wykładniczą:

$$x(x-2)=3^1=3$$

Krok 4 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$x^2-2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-1$$

Krok 5 — konfrontujemy z dziedziną. Warunek to $x>2$, więc $x=-1$ odrzucamy.

Sprawdzenie dla $x=3$: $\log_3 3+\log_3 1=1+0=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Potęga o dodatniej podstawie zawsze daje wynik dodatni:

$$a^x>0 \quad \text{dla } a>0$$

Dlatego zbiór wartości to $(0,\,+\infty)$ — funkcja nigdy nie osiąga zera ani wartości ujemnych. Wartość $1$ osiąga dla $x=0$.

Odpowiedź: D. ujemnych ani zera.

Gdy $x\to0^+$, wartości logarytmu dążą do $-\infty$, więc asymptotą pionową jest oś $OY$:

$$x=0$$

Odpowiedź: D. $x=0$.

$\log_a a=1$ dla każdej podstawy, bo $a^1=a$.

Odpowiedź: D. $1$.

Krok 1 — budujemy wzór. Po każdej godzinie liczba mnoży się przez $2$, więc po $t$ godzinach mnożnikiem jest $2^t$:

$$N(t)=500\cdot2^t$$

Krok 2 — obliczamy dla $t=6$:

$$N(6)=500\cdot2^6=500\cdot64=32\,000$$

Sprawdzenie krokami: $500 \to 1000 \to 2000 \to 4000 \to 8000 \to 16\,000 \to 32\,000$ — sześć podwojeń ✔

Warto zauważyć: wzrost wykładniczy jest bardzo szybki — w ciągu doby liczba bakterii przekroczyłaby $8$ miliardów.

Odpowiedź: $N(t)=500\cdot2^t$; po $6$ godzinach będzie $32\,000$ bakterii.

Krok 1 — nierówność:

$$200\cdot2^t>3000 \quad\Rightarrow\quad 2^t>15$$

Krok 2 — sprawdzamy kolejne potęgi dwójki:

$$2^3=8<15,\qquad 2^4=16>15$$

Zatem najmniejsze całkowite $t$ to $4$.

Krok 3 — weryfikacja:

$$N(4)=200\cdot16=3200>3000 \ ✔$$

$$N(3)=200\cdot8=1600<3000$$

Odpowiedź: po $4$ godzinach.

Krok 1 — sprowadzamy do wspólnej podstawy $3$:

$$\left(\frac13\right)^x=3^{-x},\qquad 9=3^2$$

Krok 2 — porównujemy:

$$3^{-x}=3^2 \quad\Rightarrow\quad -x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9$ ✔

Uwaga: $\frac13=3^{-1}$, więc $\left(\frac13\right)^x=3^{-x}$ — kluczowy krok do wspólnej podstawy.

Odpowiedź: $x=-2$.

Krok 1 — suma logarytmów = logarytm iloczynu:

$$\log_2\left(6\cdot\frac{2}{3}\right)=\log_2 4$$

Krok 2 — obliczamy:

$$\log_2 4=2$$

Odpowiedź: $2$.

Szukamy wykładnika dla podstawy $10$:

$$10^3=1000 \quad\Rightarrow\quad \log_{10} 1000=3$$

Logarytm dziesiętny zapisujemy często krócej jako $\log 1000$ — pominięcie podstawy oznacza właśnie $10$.

Praktyczna wskazówka: logarytm dziesiętny z liczby będącej potęgą dziesiątki to po prostu liczba zer: $\log 100=2$, $\log 10\,000=4$.

Odpowiedź: A. $3$.

Krok 1 — symetria względem osi OY to zamiana $x$ na $-x$:

$$g(x)=2^{-x}$$

Krok 2 — przekształcamy wzór:

$$2^{-x}=\left(2^{-1}\right)^x=\left(\frac12\right)^x$$

Krok 3 — monotoniczność. Podstawa $\frac12$ należy do $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca.

Wniosek ogólny: odbicie funkcji rosnącej względem osi OY daje funkcję malejącą.

Odpowiedź: $g(x)=\left(\frac12\right)^x$; funkcja malejąca.

Krok 1 — przesunięcie. $g$ to $2^x$ przesunięte o $4$ w dół.

Krok 2 — asymptota pozioma:

$$y=0 \ \to\ y=-4$$

Krok 3 — zbiór wartości:

$$ZW=(-4,\ +\infty)$$

Krok 4 — miejsce zerowe. Szukamy $g(x)=0$:

$$2^x-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2^x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Podsumowanie przebiegu. Funkcja rośnie, przecina oś $OX$ w $x=2$, a dla $x\to-\infty$ zbliża się do prostej $y=-4$ od góry.

Odpowiedź: asymptota $y=-4$, $ZW=(-4,+\infty)$, miejsce zerowe $x=2$.

Krok 1 — dziedzina: $x+2>0$, czyli $x>-2$.

Krok 2 — równość logarytmów o tej samej podstawie → równość argumentów:

$$x+2=7 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Krok 3 — $5>-2$ ✔

Odpowiedź: $x=5$.

Krok 1 — dostrzegamy strukturę. Zauważmy, że $9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2$, więc równanie jest kwadratowe względem $3^x$.

Krok 2 — podstawienie. Niech $t=3^x$, przy czym $t>0$ (potęga jest zawsze dodatnia):

$$t^2-4t+3=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$(t-1)(t-3)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{ lub } \ t=3$$

Oba wyniki są dodatnie, więc oba są dopuszczalne.

Krok 4 — wracamy do zmiennej $x$:

$$3^x=1 \quad\Rightarrow\quad x=0$$

$$3^x=3 \quad\Rightarrow\quad x=1$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $9-4\cdot3+3=9-12+3=0$ ✔

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=1$.

Krok 1 — wzór. Co roku zostaje $80\%$ wartości, czyli mnożnik $0{,}8$:

$$W(t)=60\,000\cdot0{,}8^t$$

Krok 2 — wartość po $2$ latach:

$$W(2)=60\,000\cdot0{,}64=38\,400\ \text{zł}$$

Sprawdzenie krokami: po roku $60\,000\cdot0{,}8=48\,000$, po drugim $48\,000\cdot0{,}8=38\,400$ ✔

Uwaga: spadek o $20\%$ dwa razy to nie spadek o $40\%$ — drugi procent liczy się od mniejszej kwoty.

Odpowiedź: $W(t)=60\,000\cdot0{,}8^t$; po $2$ latach $38\,400$ zł.

Krok 1 — dlaczego wykładnicza rosnąca. Zmienna $t$ jest w wykładniku, a podstawa $1{,}05>1$, więc funkcja rośnie wykładniczo.

Krok 2 — wartość początkowa:

$$K(0)=1000\cdot1{,}05^0=1000\ \text{zł}$$

Krok 3 — po dwóch latach:

$$K(2)=1000\cdot1{,}05^2=1000\cdot1{,}1025=1102{,}50\ \text{zł}$$

Interpretacja. To model procentu składanego — kapitał przyrasta coraz szybciej, bo odsetki naliczają się od rosnącej kwoty. Wykres to rosnąca krzywa wykładnicza startująca z $(0,\ 1000)$.

Odpowiedź: $K(0)=1000$ zł, $K(2)=1102{,}50$ zł.

Krok 1 — różnica magnitud: $6-4=2$ jednostki.

Krok 2 — każda jednostka to $\times10$:

$$10^2=100$$

Interpretacja. Skala logarytmiczna zamienia mnożenie na dodawanie — różnica $2$ na skali oznacza $100$-krotność.

Odpowiedź: $100$ razy silniejsze.

Krok 1 — wzór na procent składany:

$$K_n=10\,000\cdot1{,}05^n$$

Krok 2 — układamy nierówność:

$$10\,000\cdot1{,}05^n>12\,000 \quad\Rightarrow\quad 1{,}05^n>1{,}2$$

Krok 3 — sprawdzamy kolejne lata podanymi przybliżeniami:

$$1{,}05^3\approx1{,}158<1{,}2 \qquad \text{(za mało)}$$

$$1{,}05^4\approx1{,}216>1{,}2 \qquad \text{(wystarczy)}$$

Krok 4 — kwota po czwartym roku:

$$K_4\approx10\,000\cdot1{,}216=12\,160\ \text{zł}$$

Kontrola sensu: po trzech latach byłoby około $11\,580$ zł — jeszcze poniżej progu, a po czwartym już powyżej ✔

Odpowiedź: $K_n=10\,000\cdot1{,}05^n$; kapitał przekroczy $12\,000$ zł po $4$ pełnych latach.

Krok 1 — miejsce zerowe. Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$2^x-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2^x=4=2^2 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 2 — asymptota. Wykres $y=2^x$ przesunięto o $4$ w dół, więc asymptota też się przesuwa:

$$y=-4$$

Krok 3 — zbiór wartości. Skoro $2^x>0$, to $2^x-4>-4$:

$$ZW=(-4,\,+\infty)$$

Sprawdzenie: $f(0)=1-4=-3$, co mieści się w $ZW$ ✔

Odpowiedź: miejsce zerowe $x=2$, asymptota $y=-4$, $ZW=(-4,\,+\infty)$.

Krok 1 — funkcje wzajemnie odwrotne. Z definicji logarytmu:

$$g(f(x))=\log_2\left(2^x\right)=x,\qquad f(g(x))=2^{\log_2 x}=x$$

Złożenie w obie strony daje $x$, więc $f$ i $g$ są funkcjami odwrotnymi.

Krok 2 — własność symetrii. Jeśli punkt $(a,\ b)$ leży na wykresie $f$ (czyli $b=2^a$), to $a=\log_2 b$, więc punkt $(b,\ a)$ leży na wykresie $g$.

Krok 3 — wniosek. Zamiana współrzędnych $(a,b)\to(b,a)$ to właśnie symetria względem prostej $y=x$. Zatem wykresy $f$ i $g$ są swoimi odbiciami w tej prostej. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $(1,\ 2)$ leży na $f$ (bo $2^1=2$), a $(2,\ 1)$ leży na $g$ (bo $\log_2 2=1$) ✔

Krok 1 — składamy funkcje. Podstawiamy $g(x)=a^x$ do $f$:

$$f(g(x))=\log_a(a^x)$$

Krok 2 — własność logarytmu potęgi:

$$\log_a(a^x)=x\cdot\log_a a=x\cdot1=x \qquad ∎$$

Wniosek. Złożenie daje $x$, więc funkcje są wzajemnie odwrotne — ich wykresy są symetryczne względem prostej $y=x$.

Sprawdzenie: $a=2$, $x=3$: $g(3)=8$, $f(8)=\log_2 8=3$ ✔