📘 Teoria 1 ∑ Wzory 0 🧩 Quizy 1 ✍ Zadania dodatkowe 45 📄 Z arkuszy 0 📘 Teoria 1 Planimetria — zagadnienia uzupełniające (klasa 2 LO) Twierdzenie sinusów $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$.
Twierdzenie cosinusów $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Pole trójkąta $P=\frac{1}{2}ab\sin C$.
Okrąg opisany i wpisany Promienie wiążą się z bokami i polem trójkąta.
∑ Wzory 0 Brak wzorów do tego tematu.
✍ Zadania dodatkowe 45 Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Zadanie nr 1
Pole trójkąta o bokach $a,b$ i kącie $\gamma$ między nimi to:
A $\tfrac12 ab\sin\gamma$
B $ab\cos\gamma$
C $\tfrac12 ab$
D $a+b$
▼ Pokaż rozwiązanie $P=\tfrac12 ab\sin\gamma$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 2
Oblicz pole trójkąta o bokach $4$ i $6$ oraz kącie $30^\circ$ między nimi.
▼ Pokaż rozwiązanie $$\tfrac12\cdot4\cdot6\cdot\tfrac12=6$$
Odpowiedź: $6$.
Zadanie nr 3
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne $9$ i $12$. Oblicz przeciwprostokątną.
▼ Pokaż rozwiązanie $$\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$
Odpowiedź: $15$.
Zadanie nr 4
Kąt środkowy jest względem wpisanego opartego na tym samym łuku:
A równy
B dwa razy większy
C dwa razy mniejszy
D prostopadły
▼ Pokaż rozwiązanie Dwukrotność wpisanego.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 5
Kąt wpisany ma $40^\circ$. Ile ma kąt środkowy oparty na tym samym łuku?
▼ Pokaż rozwiązanie $2\cdot40^\circ=80^\circ$.
Odpowiedź: $80^\circ$.
Zadanie nr 6
Oblicz przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $1$ i $1$.
▼ Pokaż rozwiązanie $$\sqrt{1+1}=\sqrt2$$
Odpowiedź: $\sqrt2$.
Zadanie nr 7
Pole trójkąta $a=6$, $b=8$, $\gamma=90^\circ$?
▼ Pokaż rozwiązanie $\tfrac12\cdot6\cdot8=24$.
Odpowiedź: $24$.
Zadanie nr 8
Przeciwprostokątna trójkąta $9,12$?
Zadanie nr 9
Pole trójkąta z $\tfrac12 ab\sin\gamma$ dla $\gamma=90^\circ$ to:
A $\tfrac12 ab$
B $ab$
C $0$
D $\tfrac14 ab$
▼ Pokaż rozwiązanie $\sin90^\circ=1$.
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 10
Kąt środkowy vs wpisany oparty na tym samym łuku — stosunek?
▼ Pokaż rozwiązanie Środkowy $=2\times$ wpisany.
Odpowiedź: $2:1$.
Zadanie nr 11
Tw. cosinusów: $a=b=2$, $\gamma=60^\circ$. Oblicz $c$.
▼ Pokaż rozwiązanie $c^2=4+4-2\cdot4\cdot\tfrac12=4$, $c=2$.
Odpowiedź: $2$.
Zadanie nr 12
Pole trójkąta $a=4$, $b=5$, $\gamma=30^\circ$?
▼ Pokaż rozwiązanie $\tfrac12\cdot4\cdot5\cdot\tfrac12=5$.
Odpowiedź: $5$.
Zadanie nr 13
W tw. sinusów $\tfrac{a}{\sin\alpha}$ równa się:
A $R$
B $2R$
C $\tfrac{R}{2}$
D $\pi R$
Zadanie nr 14
Kąt wpisany $30^\circ$ — jaki kąt środkowy?
▼ Pokaż rozwiązanie $60^\circ$.
Odpowiedź: $60^\circ$.
Zadanie nr 15
Trójkąt równoboczny bok $4$ — pole (wzór $\tfrac{a^2\sqrt3}{4}$)?
▼ Pokaż rozwiązanie $\tfrac{16\sqrt3}{4}=4\sqrt3$.
Odpowiedź: $4\sqrt3$.
Zadanie nr 16
Stosunek pól figur podobnych o skali $5$?
Zadanie nr 17
Tw. cosinusów: $a=3$, $b=4$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz $c$.
▼ Pokaż rozwiązanie $c^2=9+16-0=25$, $c=5$.
Odpowiedź: $5$.
Zadanie nr 18
Promień okręgu opisanego wyznaczamy z tw.:
A cosinusów
B Talesa
C sinusów
D Bézouta
Zadanie nr 19
Promień okręgu opisanego, gdy $a=6$, $\sin\alpha=\tfrac12$.
▼ Pokaż rozwiązanie $2R=\tfrac{6}{1/2}=12 \Rightarrow R=6$.
Odpowiedź: $6$.
Zadanie nr 20
W trójkącie $a=7$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$ oblicz $c$ (tw. cosinusów).
▼ Pokaż rozwiązanie $c^2=49+64-2\cdot56\cdot\tfrac12=57$, $c=\sqrt{57}$.
Odpowiedź: $\sqrt{57}$.
Zadanie nr PR12.1
W trójkącie dwa boki mają długości $7$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $120^\circ$. Oblicz długość trzeciego boku.
▼ Pokaż rozwiązanie $c^2=49+64-2\cdot7\cdot8\cdot\left(-\frac12\right)=113+56=169$, $c=13$. Odpowiedź: $13$
Zadanie nr PR12.2
W trójkącie bok $a=6$ leży naprzeciw kąta $\alpha=45^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
▼ Pokaż rozwiązanie $2R=\frac{6}{\sin45^\circ}=\frac{6}{\frac{\sqrt2}2}=6\sqrt2$, $R=3\sqrt2$. Odpowiedź: $3\sqrt2$
Zadanie nr PR12.3
Trójkąt ma boki długości $5$, $7$ i $8$. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku długości $7$ oraz pole trójkąta.
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos\alpha=\frac{25+64-49}{2\cdot5\cdot8}=\frac{40}{80}=\frac12 \Rightarrow \alpha=60^\circ$. $P=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3$. Odpowiedź: $60^\circ$, $P=10\sqrt3$
Schemat punktowania: 1 pkt — zapis tw. cosinusów, 2 pkt — kąt $60^\circ$, 3 pkt — pole $10\sqrt3$. Zadanie nr PR12.4
W trójkącie $ABC$: $|BC|=10$, $|\angle BAC|=30^\circ$, $|\angle ABC|=45^\circ$. Oblicz długości boków $AC$ i $AB$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac{|AC|}{\sin45^\circ}=\frac{10}{\sin30^\circ}=20 \Rightarrow |AC|=20\cdot\frac{\sqrt2}2=10\sqrt2$. $|\angle C|=105^\circ$, $\sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$. $|AB|=20\sin105^\circ=5(\sqrt6+\sqrt2)$. Odpowiedź: $|AC|=10\sqrt2$, $|AB|=5(\sqrt6+\sqrt2)$
Schemat punktowania: 1 pkt — tw. sinusów ($2R=20$), 2 pkt — $|AC|=10\sqrt2$, 3 pkt — $|AB|=5(\sqrt6+\sqrt2)$. Zadanie nr PR12.5
W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $6$ punkt $D$ leży na boku $BC$ i $|BD|=2$. Oblicz $|AD|$ oraz $\sin\angle BAD$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\triangle ABD$: $|AD|^2=36+4-2\cdot6\cdot2\cdot\frac12=28$, $|AD|=2\sqrt7$. Tw. sinusów: $\frac{|BD|}{\sin\angle BAD}=\frac{|AD|}{\sin60^\circ} \Rightarrow \sin\angle BAD=\frac{2\cdot\frac{\sqrt3}2}{2\sqrt7}=\frac{\sqrt3}{2\sqrt7}=\frac{\sqrt{21}}{14}$. Odpowiedź: $|AD|=2\sqrt7$, $\sin\angle BAD=\tfrac{\sqrt{21}}{14}$
Schemat punktowania: 1 pkt — tw. cosinusów w $\triangle ABD$, 2 pkt — $|AD|=2\sqrt7$, 3 pkt — zapis tw. sinusów, 4 pkt — $\sin\angle BAD=\frac{\sqrt{21}}{14}$. Zadanie nr PR12.6
Równoległobok ma boki długości $5$ i $8$ oraz kąt ostry $60^\circ$. Oblicz długości jego przekątnych.
▼ Pokaż rozwiązanie Krótsza przekątna (naprzeciw $60^\circ$): $d_1^2=25+64-40=49$, $d_1=7$. Dłuższa (naprzeciw $120^\circ$): $d_2^2=25+64+40=129$, $d_2=\sqrt{129}$. Kontrola: $49+129=178=2(25+64)$ ✓. Odpowiedź: $7$ i $\sqrt{129}$
Schemat punktowania: 1 pkt — tw. cosinusów dla jednej przekątnej, 2 pkt — $d_1=7$, 3 pkt — $d_2=\sqrt{129}$. Zadanie nr PR12.7
Pole trójkąta jest równe $12\sqrt3$, a dwa jego boki mają długości $6$ i $8$. Oblicz długość trzeciego boku. Rozważ wszystkie przypadki.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac12\cdot6\cdot8\sin\gamma=12\sqrt3 \Rightarrow \sin\gamma=\frac{\sqrt3}2 \Rightarrow \gamma=60^\circ$ lub $120^\circ$. $\gamma=60^\circ$: $c^2=36+64-48=52$, $c=2\sqrt{13}$. $\gamma=120^\circ$: $c^2=100+48=148$, $c=2\sqrt{37}$. Odpowiedź: $2\sqrt{13}$ lub $2\sqrt{37}$
Schemat punktowania: 1 pkt — $\sin\gamma=\frac{\sqrt3}{2}$, 2 pkt — dwa kąty $60^\circ$ i $120^\circ$, 3 pkt — jeden przypadek, 4 pkt — oba przypadki. Zadanie nr PR12.8
W trójkącie $ABC$: $|AB|=8$, $|AC|=5$, $|\angle BAC|=60^\circ$. Oblicz długość dwusiecznej $AD$ kąta $BAC$.
▼ Pokaż rozwiązanie $P_{ABC}=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\sin60^\circ=10\sqrt3$. Dwusieczna dzieli trójkąt na dwa o kątach $30^\circ$ przy $A$: $P=\frac12\cdot8\cdot d\cdot\frac12+\frac12\cdot5\cdot d\cdot\frac12=\frac{13d}4$. $\frac{13d}{4}=10\sqrt3 \Rightarrow d=\frac{40\sqrt3}{13}$. Odpowiedź: $|AD|=\tfrac{40\sqrt3}{13}$
Schemat punktowania: 1 pkt — pole trójkąta $ABC$, 2 pkt — zapis pola jako sumy pól z dwusieczną, 3 pkt — równanie z $d$, 4 pkt — $d=\frac{40\sqrt3}{13}$. Zadanie nr PR12.9
W trójkącie $ABC$: $|AB|=6$, $|AC|=4$, a środkowa $AM$ ma długość $\sqrt{19}$. Oblicz $|BC|$ i miarę kąta $BAC$.
▼ Pokaż rozwiązanie $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}4 \Rightarrow 19=\frac{32+72-a^2}4 \Rightarrow a^2=28$, $a=2\sqrt7$. $\cos\angle A=\frac{36+16-28}{2\cdot6\cdot4}=\frac{24}{48}=\frac12 \Rightarrow 60^\circ$. Odpowiedź: $|BC|=2\sqrt7$, $|\angle BAC|=60^\circ$
Schemat punktowania: 1 pkt — wzór na środkową (lub tw. cosinusów w dwóch trójkątach), 2 pkt — $|BC|=2\sqrt7$, 3 pkt — $\cos\angle A=\frac12$, 4 pkt — kąt $60^\circ$. Zadanie nr PR12.10
W trójkącie $ABC$: $|AB|=5$, $|BC|=8$, $|CA|=7$. Oblicz miarę kąta $ABC$, pole trójkąta, promienie okręgów opisanego i wpisanego oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\cos\angle B=\frac{25+64-49}{80}=\frac12 \Rightarrow 60^\circ$. $P=\frac12\cdot5\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}2=10\sqrt3$. $2R=\frac{7}{\sin60^\circ} \Rightarrow R=\frac7{\sqrt3}=\frac{7\sqrt3}3$. $p=10$, $r=\frac Pp=\sqrt3$. $h_A=\frac{2P}{|BC|}=\frac{20\sqrt3}8=\frac{5\sqrt3}2$. Odpowiedź: $60^\circ$; $P=10\sqrt3$; $R=\tfrac{7\sqrt3}3$; $r=\sqrt3$; $h_A=\tfrac{5\sqrt3}{2}$
Schemat punktowania: 1 pkt — kąt $60^\circ$, 2 pkt — pole, 3 pkt — $R$, 4 pkt — $r$, 5 pkt — wysokość $h_A$. Zadanie nr PR20.1
Wykaż, że środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach.
▼ Pokaż rozwiązanie Środkowa $CM$ dzieli bok $AB$ na równe odcinki $AM$ i $MB$. Trójkąty $AMC$ i $MBC$ mają wspólną wysokość z wierzchołka $C$. Mają więc równe podstawy i równe wysokości — równe pola. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — równe podstawy, 2 pkt — wspólna wysokość, 3 pkt — wniosek. Zadanie nr PR20.2
Wykaż, że w trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie przeciwprostokątnej.
▼ Pokaż rozwiązanie Kąt prosty jest kątem wpisanym opartym na przeciwprostokątnej, więc przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego. Jej środek $M$ jest środkiem tego okręgu, więc $|MA|=|MB|=|MC|=R=\frac c2$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — przeciwprostokątna jako średnica, 2 pkt — środek przeciwprostokątnej jako środek okręgu, 3 pkt — wniosek. Zadanie nr PR20.3
Punkty $M$ i $N$ są środkami boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$. Wykaż, że $MN\parallel AB$ i $|MN|=\frac12|AB|$.
▼ Pokaż rozwiązanie $\frac{|CM|}{|CA|}=\frac{|CN|}{|CB|}=\frac12$ i kąt $C$ wspólny ⇒ $\triangle CMN\sim\triangle CAB$ (cecha bkb) w skali $\frac12$. Stąd $|MN|=\frac12|AB|$ i $|\angle CMN|=|\angle CAB|$ — kąty odpowiadające równe, więc $MN\parallel AB$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — podobieństwo trójkątów $CMN$ i $CAB$, 2 pkt — $|MN|=\frac12|AB|$, 3 pkt — uzasadnienie równoległości. Zadanie nr PR20.4
Wykaż, że w każdym równoległoboku suma kwadratów długości przekątnych jest równa sumie kwadratów długości wszystkich boków.
▼ Pokaż rozwiązanie Boki $a$, $b$, kąt ostry $\alpha$. Tw. cosinusów: $d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$, $d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos(180^\circ-\alpha)=a^2+b^2+2ab\cos\alpha$. $d_1^2+d_2^2=2a^2+2b^2=a^2+b^2+a^2+b^2$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — tw. cosinusów dla jednej przekątnej, 2 pkt — dla drugiej z $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, 3 pkt — dodanie i wniosek. Zadanie nr PR20.5
W trapezie $ABCD$ ($AB\parallel CD$) dwusieczne kątów $DAB$ i $ADC$ przecinają się w punkcie $P$. Wykaż, że kąt $APD$ jest prosty.
▼ Pokaż rozwiązanie $AB\parallel CD$, więc $|\angle DAB|+|\angle ADC|=180^\circ$ (kąty przy jednym ramieniu). W $\triangle APD$: $|\angle PAD|+|\angle PDA|=\frac12\cdot180^\circ=90^\circ$. Zatem $|\angle APD|=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — suma kątów przy ramieniu $180^\circ$, 2 pkt — suma połówek $90^\circ$, 3 pkt — wniosek. Zadanie nr PR20.6
Punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta równobocznego o boku $a$. Wykaż, że suma odległości punktu $P$ od boków trójkąta jest równa wysokości tego trójkąta.
▼ Pokaż rozwiązanie Łączymy $P$ z wierzchołkami — trójkąt dzieli się na trzy trójkąty o podstawach $a$ i wysokościach $d_1,d_2,d_3$. $\frac12a(d_1+d_2+d_3)=P_\triangle=\frac12a\cdot h$. Stąd $d_1+d_2+d_3=h=\frac{a\sqrt3}2$. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — podział na trzy trójkąty, 2 pkt — zapis sumy pól, 3 pkt — wniosek. Zadanie nr PR20.7
Dany jest prostokąt $ABCD$ i dowolny punkt $P$ płaszczyzny. Wykaż, że $|PA|^2+|PC|^2=|PB|^2+|PD|^2$.
▼ Pokaż rozwiązanie Układ: $A=(0,0)$, $B=(p,0)$, $C=(p,q)$, $D=(0,q)$, $P=(x,y)$. $|PA|^2+|PC|^2=x^2+y^2+(x-p)^2+(y-q)^2$; $|PB|^2+|PD|^2=(x-p)^2+y^2+x^2+(y-q)^2$. Obie strony są równe. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — wprowadzenie układu współrzędnych, 2 pkt — zapis kwadratów odległości, 3 pkt — wniosek. Zadanie nr PR20.8
Dwa okręgi przecinają się w punktach $A$ i $B$. Odcinki $AC$ i $AD$ są średnicami tych okręgów. Wykaż, że punkty $C$, $B$, $D$ leżą na jednej prostej.
▼ Pokaż rozwiązanie Kąt $ABC$ jest wpisany w pierwszy okrąg i oparty na średnicy $AC$ — jest prosty. Analogicznie $|\angle ABD|=90^\circ$. Proste $BC$ i $BD$ są prostopadłe do $AB$ w tym samym punkcie $B$, więc się pokrywają — $C$, $B$, $D$ są współliniowe. $\blacksquare$ Odpowiedź: dowód
Schemat punktowania: 1 pkt — $|\angle ABC|=90^\circ$, 2 pkt — $|\angle ABD|=90^\circ$, 3 pkt — wniosek o współliniowości. Zadanie nr PR20.9
Pole trójkąta $ABC$ jest równe $P$. Punkty $K$, $L$, $M$ leżą odpowiednio na bokach $AB$, $BC$, $CA$, przy czym $|AK|:|KB|=|BL|:|LC|=|CM|:|MA|=1:2$. Oblicz pole trójkąta $KLM$.
▼ Pokaż rozwiązanie $P_{AKM}=\frac12|AK|\cdot|AM|\sin A=\frac13\cdot\frac23\cdot P=\frac29P$ (bo $|AK|=\frac13|AB|$, $|AM|=\frac23|AC|$). Analogicznie $P_{BLK}=P_{CML}=\frac29P$. $P_{KLM}=P-3\cdot\frac29P=\frac P3$. Odpowiedź: $\tfrac P3$
Schemat punktowania: 1 pkt — metoda (pola „narożnych” trójkątów), 2 pkt — $P_{AKM}=\frac29P$, 3 pkt — pozostałe narożne trójkąty, 4 pkt — $P_{KLM}=\frac P3$. Zadanie nr PR20.10
W trapezie $ABCD$ o podstawach $|AB|=a$ i $|CD|=b$ punkty $E$ i $F$ są środkami ramion $AD$ i $BC$. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\frac35$. Oblicz stosunek $a:b$.
▼ Pokaż rozwiązanie $|EF|=\frac{a+b}2$; oba trapezy mają wysokość $\frac h2$. $P_{EFCD}=\frac{b+\frac{a+b}2}{2}\cdot\frac h2=\frac{(a+3b)h}8$, $P_{ABFE}=\frac{(3a+b)h}8$. $\frac{a+3b}{3a+b}=\frac35 \Rightarrow 5a+15b=9a+3b \Rightarrow a=3b$. Odpowiedź: $a:b=3$
Schemat punktowania: 1 pkt — długość $EF$ i wysokości, 2 pkt — pola obu trapezów, 3 pkt — równanie, 4 pkt — $a:b=3$. Zadanie nr PR20.11
Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa
A $180^\circ$
B $360^\circ$
C $90^\circ$
D $270^\circ$
▼ Pokaż rozwiązanie $180^\circ$. Odpowiedź: A
Dlaczego nie pozostałe? B to czworokąt.
Zadanie nr PR20.12
Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $6$ i $8$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
▼ Pokaż rozwiązanie Przeciwprostokątna: $c=\sqrt{36+64}=10$. Środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej: $R=\tfrac c2=5$. Odpowiedź: B
Dlaczego nie pozostałe? A to średnica, C to średnia przyprostokątnych, D to połowa dłuższej przyprostokątnej.
Zadanie nr PR20.13
Kąt w trójkącie równobocznym ma miarę
A $90^\circ$
B $45^\circ$
C $60^\circ$
D $30^\circ$
▼ Pokaż rozwiązanie $\tfrac{180^\circ}{3}=60^\circ$. Odpowiedź: C
Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.
Zadanie nr PR20.14
W trójkącie dwa kąty to $50^\circ$ i $60^\circ$. Trzeci kąt ma miarę
A $80^\circ$
B $110^\circ$
C $60^\circ$
D $70^\circ$
▼ Pokaż rozwiązanie $180^\circ-(50+60)^\circ=70^\circ$. Odpowiedź: D
Dlaczego nie pozostałe? A - błąd.
Zadanie nr PR20.15
W trójkącie dwa kąty mają $40^\circ$ i $75^\circ$. Oblicz trzeci kąt.
▼ Pokaż rozwiązanie $180^\circ-(40+75)^\circ=65^\circ$. Odpowiedź: $65^\circ$
📄 Zadania z arkuszy 0 Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Brak zadań z arkuszy do tego tematu.
