MATEMATIX

Polityka prywatności

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 2 LO › Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie

Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Okrąg wpisany i opisany — trójkąt i czworokąt

Gdzie leżą środki

Okrąg opisany — środek w przecięciu symetralnych boków, bo każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka, a więc od wierzchołków.

Okrąg wpisany — środek w przecięciu dwusiecznych kątów, bo punkt dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, a więc od boków.

Wzory na promienie w trójkącie

$$r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}$$

gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu.

Pierwszy wzór wynika z podziału trójkąta na trzy mniejsze o wspólnym wierzchołku w środku okręgu — każdy ma wysokość $r$, więc łączne pole to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.

Trójkąt prostokątny

$$R=\frac{c}{2},\qquad r=\frac{a+b-c}{2}$$

Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — to twierdzenie Talesa czytane wstecz: kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.

Dla trójkąta $5$, $12$, $13$: $R=6{,}5$ oraz $r=\frac{5+12-13}{2}=2$. Kontrola wzorem ogólnym: $P=30$, $p=15$, $r=\frac{30}{15}=2$ ✔

Trójkąt równoboczny

$$R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r$$

Oba środki to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ od wierzchołka. Stąd $R=\frac23h$ i $r=\frac13h$.

Konsekwencja dla pól: koło opisane ma pole czterokrotnie większe, bo pola zależą od kwadratu promienia.

Czworokąt wpisany w okrąg

$$\alpha+\gamma=180^\circ,\qquad \beta+\delta=180^\circ$$

Przeciwległe kąty muszą się dopełniać. Sama poprawna suma wszystkich kątów ($360^\circ$) nie wystarcza — kąty $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$ sumują się do $360^\circ$, ale $36+108=144\neq180$, więc takiego czworokąta nie da się wpisać w okrąg.

Okrąg zawsze da się opisać na prostokącie i kwadracie; na rombie tylko wtedy, gdy jest kwadratem.

Czworokąt opisany na okręgu

$$a+c=b+d$$

Sumujemy boki przeciwległe. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ spełnia warunek, bo $4+10=7+7$.

W romb okrąg da się wpisać zawsze — wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi automatycznie.

Dwa różne twierdzenia

To najczęstsze źródło pomyłek: warunek wpisania okręgu dotyczy boków, a warunek opisania — kątów.

Kwadrat

$$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac{a}{2},\qquad \frac{R}{r}=\sqrt2$$

Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki (średnica = przekątna), wpisany dotyka boków (średnica = bok).

Na co uważać

Nie zamieniaj symetralnych z dwusiecznymi. Przy warunku $a+c=b+d$ pilnuj, które boki są przeciwległe. I sprawdzaj sensowność wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.

∑Wzory 2

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt
$$R=\frac{abc}{4P},\qquad r=\frac{P}{s},\qquad s=\frac{a+b+c}{2}$$

Co robi: wyznacza promienie okręgu opisanego na trójkącie i wpisanego w niego, gdy znamy boki i pole.

Elementy: $R$ — promień okręgu opisanego (środek na przecięciu symetralnych boków), $r$ — promień wpisanego (środek na przecięciu dwusiecznych kątów), $P$ — pole, $s$ — połowa obwodu.

Przykład: trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $s=6$. Wtedy $R=\frac{3\cdot4\cdot5}{24}=2{,}5$ (czyli połowa przeciwprostokątnej ✔) oraz $r=\frac{6}{6}=1$.

Pułapka: środek okręgu opisanego może leżeć poza trójkątem — dzieje się tak przy kącie rozwartym. Środek wpisanego zawsze leży wewnątrz.

Promienie okręgu wpisanego i opisanego w trójkącie
$$r = \frac{P}{p}, \qquad R = \frac{abc}{4P}, \qquad p = \frac{a+b+c}{2}$$

Co robi: wiąże pole trójkąta z promieniami obu okręgów — wpisanego i opisanego.

Elementy: $a$, $b$, $c$ to boki, $P$ — pole, $p$ — połowa obwodu, $r$ — promień okręgu wpisanego, $R$ — opisanego.

Skąd wzór na $r$: łącząc środek okręgu wpisanego z wierzchołkami, dzielimy trójkąt na trzy mniejsze o wysokości $r$. Suma ich pól to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.

Przypadki szczególne: w trójkącie prostokątnym $R=\frac{c}{2}$ (przeciwprostokątna jest średnicą) oraz $r=\frac{a+b-c}{2}$. W równobocznym $R=\frac{a\sqrt3}{3}$, $r=\frac{a\sqrt3}{6}$, a więc $R=2r$.

Przykład: trójkąt $5$, $12$, $13$ ma $P=30$ i $p=15$, więc $r=2$ oraz $R=6{,}5$. Kontrola wzorem dla trójkąta prostokątnego: $\frac{5+12-13}{2}=2$ ✔

Pułapka: we wzorze na $r$ występuje połowa obwodu, nie cały obwód. Sprawdzaj też sens wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.

🧩Quizy 1

▶Okrąg wpisany i opisany8 pyt. średni

✍Zadania 72

Zadanie nr 1

Kąt środkowy oparty na pewnym łuku ma $80^\circ$. Ile ma kąt wpisany oparty na tym samym łuku?

A $80^\circ$
B $40^\circ$
C $160^\circ$
D $20^\circ$
Zadanie nr 1

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia:

A dwusiecznych kątów
B wysokości
C symetralnych boków
D środkowych
Zadanie nr 2

Kąt wpisany oparty na łuku ma $35^\circ$. Oblicz kąt środkowy oparty na tym samym łuku.

Zadanie nr 2

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $6$ i $8$.

Zadanie nr PR13.1

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach $6$, $8$, $10$.

Zadanie nr 3

Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu ma miarę:

A $45^\circ$
B $180^\circ$
C $90^\circ$
D zależy od okręgu
Zadanie nr 3

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $6$.

Zadanie nr PR13.2

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $5$, $5$, $6$.

Zadanie nr 4

Oblicz długość okręgu o promieniu $5$ cm (przyjmij $\pi\approx3{,}14$).

Zadanie nr 4

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku $a$ wynosi:

A $\frac{a\sqrt3}{6}$
B $\frac{a\sqrt3}{3}$
C $\frac{a}{2}$
D $\frac{a\sqrt3}{2}$
Zadanie nr PR13.3

Trapez prostokątny o podstawach $12$ i $6$ jest opisany na okręgu. Oblicz promień tego okręgu.

Zadanie nr 5

Oblicz pole koła o promieniu $6$ cm.

Zadanie nr 5

Na czworokącie można opisać okrąg. Jeden z jego kątów ma $75^\circ$. Ile ma kąt przeciwległy?

Zadanie nr PR13.4

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, $|\angle DAB|=70^\circ$, $|\angle ABC|=95^\circ$. Oblicz miary pozostałych kątów czworokąta.

Zadanie nr 6

W czworokącie wpisanym w okrąg jeden z kątów ma $70^\circ$. Ile ma kąt leżący naprzeciw niego?

A $110^\circ$
B $70^\circ$
C $20^\circ$
D $140^\circ$
Zadanie nr 6

W czworokąt można wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy:

A przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$
B przekątne są równe
C wszystkie boki są równe
D sumy przeciwległych boków są równe
Zadanie nr PR13.5

Trójkąt ma boki długości $13$, $14$, $15$. Oblicz jego pole oraz promienie okręgów wpisanego i opisanego.

Zadanie nr 7

Oblicz długość łuku okręgu o promieniu $6$ cm odpowiadającego kątowi środkowemu $60^\circ$.

Zadanie nr 7

Trójkąt ma boki $6$, $8$, $10$ i pole $24$. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Zadanie nr PR13.6

Z punktu $P$ poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku $O$ i promieniu $5$, styczne w punktach $A$ i $B$. $|PO|=13$. Oblicz długość odcinka stycznej $PA$ oraz długość cięciwy $AB$.

Zadanie nr 8

Oblicz pole wycinka koła o promieniu $10$ cm odpowiadającego kątowi $90^\circ$.

Zadanie nr 8

W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają $x$ i $3x$. Oblicz oba kąty.

Zadanie nr PR13.7

Okrąg wpisany w trójkąt $ABC$ o bokach $|BC|=7$, $|CA|=8$, $|AB|=9$ jest styczny do boku $AB$ w punkcie $K$. Oblicz $|AK|$ i $|KB|$.

Zadanie nr 9

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $10$ wynosi:

A $10$
B $2{,}5$
C $\sqrt{10}$
D $5$
Zadanie nr 9

Na którym czworokącie zawsze można opisać okrąg?

A na dowolnym równoległoboku
B na prostokącie
C na rombie
D na dowolnym trapezie
Zadanie nr PR13.8

Deltoid $ABCD$, w którym $|AB|=|AD|=6$ i $|CB|=|CD|$, jest wpisany w okrąg, a $|\angle BAD|=60^\circ$. Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz promień okręgu wpisanego w ten deltoid.

Zadanie nr 10

Dwa kąty wpisane w okrąg są oparte na tym samym łuku. Pierwszy ma $42^\circ$. Ile ma drugi? Uzasadnij.

Zadanie nr 10

Oblicz promień okręgu opisanego na kwadracie o boku $8$ oraz promień okręgu wpisanego w ten kwadrat.

Zadanie nr PR13.9

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątną $c$. Wykaż, że $r+R=\frac{a+b}{2}$, gdzie $r$ i $R$ — promienie okręgów wpisanego i opisanego.

Zadanie nr 11

Czworokąt można wpisać w okrąg, gdy:

A sumy sąsiednich boków są równe
B sumy przeciwległych kątów wynoszą $180^\circ$
C przekątne są równe
D wszystkie boki są równe
Zadanie nr 11

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $c$ wynosi:

A $\frac{c}{2}$
B $c$
C $\frac{c}{3}$
D $c\sqrt2$
Zadanie nr PR13.10

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. $|AB|=3$, $|BC|=5$, $|CD|=8$, $|\angle ABC|=120^\circ$ oraz $|AD|\gt |AB|$. Oblicz $|AC|$, promień okręgu, $|AD|$ oraz pole czworokąta.

Zadanie nr 12

W okrąg wpisano czworokąt o kątach $x$, $100^\circ$, $2x$ i $80^\circ$ (w kolejności). Wyznacz $x$.

Zadanie nr 12

Czy w czworokąt o bokach $5$, $7$, $9$, $11$ (w tej kolejności) można wpisać okrąg?

Zadanie nr 13

Styczna do okręgu w punkcie styczności tworzy z promieniem poprowadzonym do tego punktu kąt:

A $45^\circ$
B $60^\circ$
C $90^\circ$
D $180^\circ$
Zadanie nr 13

Trójkąt równoboczny ma bok $12$. Oblicz promienie obu okręgów i stosunek ich pól.

Zadanie nr 14

Trójkąt równoboczny ma bok $6$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Skorzystaj ze wzoru $R=\frac{a\sqrt3}{3}$.

Zadanie nr 14

W trapez równoramienny o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ można wpisać okrąg?

A tak, bo jest równoramienny
B nie, bo podstawy są różne
C tak, bo $4+10=7+7$
D nie da się ustalić
Zadanie nr 15

Oblicz pole pierścienia kołowego ograniczonego okręgami o promieniach $5$ cm i $3$ cm (o wspólnym środku).

Zadanie nr 15

Oblicz pole trójkąta o obwodzie $30$, w który wpisano okrąg o promieniu $4$.

Zadanie nr 16

Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) ma tę samą miarę co:

A kąt wpisany oparty na tej cięciwie
B kąt środkowy oparty na tej cięciwie
C kąt pełny
D zawsze $90^\circ$
Zadanie nr 16

Kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy ma miarę:

A $45^\circ$
B $90^\circ$
C $180^\circ$
D $60^\circ$
Zadanie nr 17

W okręgu o promieniu $10$ cm poprowadzono cięciwę w odległości $6$ cm od środka. Oblicz długość tej cięciwy.

Zadanie nr 17

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $5$ i $12$ oblicz promień okręgu wpisanego i opisanego.

Zadanie nr 18

Oblicz pole odcinka koła (część między cięciwą a łukiem) dla ćwiartki koła o promieniu $4$ cm, gdzie cięciwą jest bok trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych będących promieniami.

Zadanie nr 18

Czworokąt wpisany w okrąg ma kąty $x$, $2x$, $3x$ i $4x$. Oblicz wszystkie kąty i sprawdź, czy taki czworokąt jest możliwy.

Zadanie nr 19

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Kąt środkowy jest o $50^\circ$ większy od kąta wpisanego. Oblicz oba kąty.

Zadanie nr 19

Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $7$, $8$ i $9$, wiedząc, że jego pole wynosi $12\sqrt5$.

Zadanie nr 20

Na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $6$ i $8$ opisano okrąg oraz wpisano okrąg. Oblicz promienie obu okręgów. Skorzystaj ze wzoru na promień okręgu wpisanego $r=\frac{a+b-c}{2}$.

Zadanie nr 20

Wykaż, że w trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego jest dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego. Podaj konsekwencję dla pól obu kół.

Zadanie nr 22 · Matura 2026

W okrąg o promieniu $9\sqrt3$ wpisano trójkąt równoboczny $\mathcal{T}$. Bok trójkąta $\mathcal{T}$ ma długość …

Zadanie nr 38 · Matura 2023
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB|=4\), \(|BC|=5\), \(|AC|=6\). Na tym trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(R\).

Matematyka jest prosta



Oblicz promień \(R\) okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\).
Zadanie nr 17 · Matura 2022
Na trójkącie ostrokątnym \(ABC\) opisano okrąg o środku \(O\). Miara kąta \(ABC\) jest równa \(65°\). Miara kąta \(ACO\) jest równa:
A \(130°\)
B \(25°\)
C \(65°\)
D \(50°\)
Zadanie nr 15 · Matura 2020
Punkty \(A=(80,-1)\) i \(B=(-6,-19)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\). W tym trójkącie kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych:
A \((43,-10)\)
B \((37,10)\)
C \((43,10)\)
D \((37,-10)\)
Zadanie nr 29 · Matura 2020
Bok \(AB\) jest średnicą, a punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Punkt \(D\) leży na tym okręgu, a odcinek \(SD\) zawarty jest w symetralnej boku \(BC\) trójkąta (zobacz rysunek).

Matematyka jest prosta



Wykaż, że odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\).
Zadanie nr 34 · Próbny 2020
Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90°\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Matematyka jest prosta
Zadanie nr 14 · Matura 2019
Punkty \(D\) i \(E\) leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym \(ABC\) (zobacz rysunek). Odcinek \(CD\) jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany \(DEB\) ma miarę \(α\).



Matematyka jest prosta
A \(α=30°\)
B \(α\lt30°\)
C \(α\gt45°\)
D \(α=45°\)
Zadanie nr 27 · Próbny 2019
Na trójkącie o bokach długości \(\sqrt{5}, \sqrt{15}, \sqrt{10}\) opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.
Zadanie nr 28 · Próbny 2017
Na trójkącie opisano okrąg. Wierzchołki trójkąta podzieliły ten okrąg na łuki, których długości pozostają w stosunku \(10:6:4\). Odczytaj z tablic i zapisz przybliżoną wartość cosinusa najmniejszego kąta tego trójkąta.
Zadanie nr 34 · Matura 2017
Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90°\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Matematyka jest prosta
Zadanie nr 17 · Matura 2015
Dane są punkty \(A=(-2,5)\) oraz \(B=(4,-1)\). Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym \(ABC\) jest równy:
A \(\sqrt{6}\)
B \(2\sqrt{6}\)
C \(6\sqrt{3}\)
D \(3\sqrt{3}\)
Zadanie nr 19 · Próbny 2015
Na trójkącie \(ABC\) opisano okrąg o środku \(S\) i promieniu równym \(6\). Kąt wpisany \(ACB\) ma miarę \(15°\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe:
A \(9\)
B \(9\sqrt{2}\)
C \(9\sqrt{3}\)
D \(18\)
Zadanie nr 16 · Matura 2014
Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy \(8\). Wysokość tego trójkąta jest równa:
A \(4\sqrt{3}\)
B \(8\sqrt{3}\)
C \(12\)
D \(6\)
Zadanie nr 18 · Matura 2014
Na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości \(12\) i \(9\), opisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy:
A \(\sqrt{108}\)
B \(\frac{15}{2}\)
C \(15\)
D \(\frac{\sqrt{108}}{2}\)
Zadanie nr 31 · Matura 2014
Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(ABC\), o ramionach \(AC\) i \(BC\), leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).



Matematyka jest prosta



Wykaż, że miara kąta wypukłego \(ASB\) jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego \(SBC\).
Zadanie nr 33 · Próbny 2014
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(30°\). Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy \(2\sqrt{3}\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej podanej bryły.
Zadanie nr 32 · Matura 2013
Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(ABC\). Kąt \(ACS\) jest trzy razy większy od kąta \(BAS\), a kąt \(CBS\) jest dwa razy większy od kąta \(BAS\). Oblicz kąty trójkąta \(ABC\).



Matematyka jest prosta
Zadanie nr 17 · Próbny 2012
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(5\) i \(12\). Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
A \(12\)
B \(8,5\)
C \(6,5\)
D \(5\)
Zadanie nr 18 · Matura 2011
Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(6\) i \(8\). Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy:
A \(14\)
B \(8\)
C \(6\)
D \(5\)
Zadanie nr 17 · Matura 2010
Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień równy \(12\). Wysokość tego trójkąta jest równa:
A \(18\)
B \(20\)
C \(22\)
D \(24\)
Zadanie nr 29 · Matura
Na trójkącie o bokach długości \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{15}\) opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu.
Zadanie nr 38 · Matura
Dany jest trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny. Punkt \(O\) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, a punkt \(H\) jest jego ortocentrum.



Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

A. Punkt \(O\) jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

B. Punkt \(O\) jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

C. Punkt \(O\) jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.

D. Punkt \(H\) jest równo oddalony tylko od dwóch wierzchołków tego trójkąta.

E. Punkt \(H\) jest równo oddalony od trzech wierzchołków tego trójkąta.

F. Punkt \(H\) jest równo oddalony od trzech boków tego trójkąta.
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas