Zmiana podstawy logarytmu

Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę?

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

Warto rozpisać potęgi trójki: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$.

Odpowiedź: C. $4$.

Sposób 1 — osobno każdy logarytm:

$$\log_2 8=3 \quad (\text{bo } 2^3=8),\qquad \log_2 4=2 \quad (\text{bo } 2^2=4)$$

$$3+2=5$$

Sposób 2 — wzór na logarytm iloczynu:

$$\log_a x+\log_a y=\log_a(x\cdot y)$$

$$\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5 \quad (\text{bo } 2^5=32)$$

Oba sposoby dają ten sam wynik — drugi bywa niezbędny, gdy pojedyncze logarytmy nie są „ładne”.

Odpowiedź: $5$.

Pojedyncze logarytmy nie są liczbami całkowitymi, więc korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$$

Podstawiamy:

$$\log_5 100-\log_5 4=\log_5\frac{100}{4}=\log_5 25$$

Obliczamy:

$$\log_5 25=2 \quad (\text{bo } 5^2=25)$$

Odpowiedź: $2$.

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich.

Dlaczego: $\log_2 x=y$ oznacza $2^y=x$. Potęga o podstawie dodatniej zawsze daje wynik dodatni — nie da się otrzymać zera ani liczby ujemnej.

$$D=(0,\,+\infty)$$

Uwaga na odpowiedź C: zero nie należy do dziedziny, bo żadna potęga dwójki nie jest równa zeru.

Odpowiedź: B. $x>0$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$27=3^3 \quad\Rightarrow\quad 3^{2x-1}=3^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2x-1=3$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $3^{2\cdot2-1}=3^3=27$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — dziedzina. Argument logarytmu musi być dodatni:

$$x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$

Krok 2 — przechodzimy na postać wykładniczą. Zapis $\log_2 A=3$ oznacza $A=2^3$:

$$x-1=2^3=8$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=9$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $9>1$ ✔

Sprawdzenie w równaniu: $\log_2(9-1)=\log_2 8=3$ ✔

Uwaga: w równaniach logarytmicznych wyznaczenie dziedziny to nie formalność — rozwiązania spoza niej trzeba odrzucić.

Odpowiedź: $x=9$.

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $1$:

$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$

Każda liczba dodatnia podniesiona do potęgi zerowej daje $1$, więc wynik nie zależy od podstawy.

Druga zależność warta zapamiętania: $\log_a a=1$, bo $a^1=a$.

Odpowiedź: D. $0$.

Krok 1 — zamieniamy drugi czynnik na podstawę $2$. Ze wzoru na zmianę podstawy:

$$\log_5 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 5}$$

Krok 2 — podstawiamy do iloczynu:

$$\log_2 5\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8$$

Czynnik $\log_2 5$ się skraca.

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Reguła ogólna: $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$ — podstawy „skracają się” jak ogniwa łańcucha.

Odpowiedź: $3$.

Podstawiamy $x=0$ do wzoru funkcji:

$$f(0)=a^0=1$$

Zachodzi to dla każdej dopuszczalnej podstawy, więc wszystkie wykresy funkcji wykładniczych przecinają oś OY w tym samym punkcie $(0,\,1)$.

Uwaga na kolejność współrzędnych: odpowiedź A ma te same liczby, ale zamienione miejscami — punkt $(1,\,0)$ leży na osi OX, a funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

Dla porównania: wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez $(1,\,0)$.

Odpowiedź: B. $(0,\,1)$.

Pierwszy logarytm. Szukamy wykładnika dającego $\frac19$:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19 \quad\Rightarrow\quad \log_3\frac19=-2$$

Drugi logarytm. Podstawą jest teraz $\frac13$:

$$\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9 \quad\Rightarrow\quad \log_{\frac13} 9=-2$$

Obserwacja: oba wyniki są równe $-2$. Odwrócenie podstawy i odwrócenie argumentu jednocześnie nie zmienia wartości logarytmu.

Uwaga: logarytm może być ujemny — to nie błąd. Ujemny wynik oznacza tylko, że argument jest mniejszy od $1$ przy podstawie większej od $1$.

Odpowiedź: oba logarytmy wynoszą $-2$.

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Wykładnik „wychodzi przed” logarytm jako czynnik:

$$\log_a x^3=3\log_a x$$

Sprawdźmy na liczbach dla $a=2$, $x=4$:

$$\log_2 4^3=\log_2 64=6 \qquad \text{oraz} \qquad 3\log_2 4=3\cdot2=6$$

Zgadza się. Odpowiedź A dałaby $2^3=8$ — to zupełnie co innego.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — dziedzina. Oba argumenty muszą być dodatnie:

$$x>0 \quad \text{oraz} \quad x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

Krok 2 — łączymy logarytmy wzorem na logarytm iloczynu:

$$\log_3\left[x(x-2)\right]=1$$

Krok 3 — przechodzimy na postać wykładniczą:

$$x(x-2)=3^1=3$$

Krok 4 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$x^2-2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-1$$

Krok 5 — konfrontujemy z dziedziną. Warunek to $x>2$, więc $x=-1$ odrzucamy.

Sprawdzenie dla $x=3$: $\log_3 3+\log_3 1=1+0=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Szukamy wykładnika dla podstawy $10$:

$$10^3=1000 \quad\Rightarrow\quad \log_{10} 1000=3$$

Logarytm dziesiętny zapisujemy często krócej jako $\log 1000$ — pominięcie podstawy oznacza właśnie $10$.

Praktyczna wskazówka: logarytm dziesiętny z liczby będącej potęgą dziesiątki to po prostu liczba zer: $\log 100=2$, $\log 10\,000=4$.

Odpowiedź: A. $3$.

1. $8=2^3$.
2. $\log_2 8=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B błędnie liczy $2\cdot?$.

1. $\log 5+\log 2=\log(5\cdot2)=\log 10$.
2. $\log_{10}10=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A dodaje argumenty zamiast mnożyć.

1. $1000=10^3$.
2. $\log_{10}1000=3$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A myli logarytm z argumentem.

1. $\log_2 32-\log_2 4=\log_2\dfrac{32}{4}=\log_2 8$.
2. $=3$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B odejmuje argumenty ($32-4$).

1. $\log_2 48-\log_2 3=\log_2\dfrac{48}{3}=\log_2 16$.
2. $16=2^4$, więc wynik $4$.

Odpowiedź: $4$.

1. $\log_2 4=2$, $\log_2 8=3$.
2. $3\cdot2-3=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B pomija współczynnik $3$, C nie odejmuje $\log_2 8$, D to błąd rachunkowy.

1. $\dfrac18=2^{-3}$.
2. $\log_2 2^{-3}=-3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A gubi znak minus.

1. $\log_a a=1$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to $\log_a 1$.

1. $\log_3 27=3$, $\log_3\tfrac13=-1$.
2. $3+(-1)=2$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A pomija ujemny składnik.

1. $\log_6 2+\log_6 3=\log_6(2\cdot3)$.
2. $=\log_6 6=1$.

Odpowiedź: równość zachodzi, wynik $1$.

1. $16=2^4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B - błąd.

1. $2+1=3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A dodaje argumenty.

1. $\log(5\cdot20)=\log 100=2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A dodaje argumenty.

1. $\log_2\tfrac{64}{8}=\log_2 8=3$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B odejmuje argumenty.

1. $\log_3\tfrac{54}{2}=\log_3 27$.
2. $=3$.

Odpowiedź: $3$

1. Dziedzina: $x\gt 1$.
2. $\log_2\big((x-1)(x+1)\big)=3 \Rightarrow x^2-1=8 \Rightarrow x=\pm3$.
3. Z dziedziny $x=3$.

Odpowiedź: $x=3$

1. Dziedzina: $x\gt 2$.
2. $-3=\log_{\frac12}8$; podstawa $\frac12\lt 1$ — funkcja malejąca, więc $x-2\le8$, czyli $x\le10$.
3. Z dziedziną: $x\in(2,10]$.

Odpowiedź: $x\in(2,10]$

1. $5\cdot0{,}8^t\lt 1 \iff 0{,}8^t\lt 0{,}2$.
2. $0{,}8^7\approx0{,}2097\gt 0{,}2$, $0{,}8^8\approx0{,}1678\lt 0{,}2$.
3. (Albo: $t\gt \frac{\log0{,}2}{\log0{,}8}\approx7{,}21$.) Po $8$ pełnych dobach.

Odpowiedź: po $8$ dobach

1. Zmiana podstawy na $2$: $\log_624=\dfrac{\log_224}{\log_26}$.
2. $\log_224=\log_2(8\cdot3)=3+a$, $\log_26=\log_2(2\cdot3)=1+a$.
3. Stąd $\log_624=\dfrac{a+3}{a+1}$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. Dziedzina: $x\gt 2$.
2. $\log_2\big(x(x-2)\big)\lt \log_28$; podstawa $2\gt 1$: $x^2-2x-8\lt 0$.
3. $(x-4)(x+2)\lt 0 \Rightarrow x\in(-2,4)$. Z dziedziną: $x\in(2,4)$.

Odpowiedź: $x\in(2,4)$

1. Dziedzina: $x^2-1\gt 0$ i $x-1\gt 0$, czyli $x\gt 1$.
2. $\log_2(x^2-1)=\log_2\big(4(x-1)\big) \Rightarrow x^2-1=4x-4 \Rightarrow x^2-4x+3=0$.
3. $x=1$ lub $x=3$; $x=1$ nie należy do dziedziny. Odpowiedź: $x=3$.

Odpowiedź: $x=3$

Wskazówka: Kto nie wyznaczy dziedziny, poda dwa rozwiązania i straci punkt.

Szukamy wykładnika, do którego podnosimy $2$, by otrzymać $8$:

$$2^3=8 \quad\Rightarrow\quad \log_2 8=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

$$10^3=1000 \quad\Rightarrow\quad \log_{10}1000=3$$

Odpowiedź: $4$ oraz $3$.

Logarytm z jedynki zawsze wynosi zero, bo $a^0=1$:

$$\log_5 1=0$$

Logarytm liczby przy jej własnej podstawie to $1$, bo $a^1=a$:

$$\log_7 7=1$$

Odpowiedź: $0$ oraz $1$.

Logarytm iloczynu to suma logarytmów:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$$

Skąd to wynika: mnożeniu liczb odpowiada dodawanie wykładników — logarytm zamienia mnożenie na dodawanie.

Odpowiedź: C. $\log_a x+\log_a y$.

Sposób 1 — osobno:

$$\log_2 4+\log_2 8=2+3=5$$

Sposób 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_2(4\cdot8)=\log_2 32=5$$

Oba dają ten sam wynik ✔

Odpowiedź: $5$.

Logarytm ilorazu to różnica logarytmów:

$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$$

Odpowiedź: A. $\log_a x-\log_a y$.

Krok 1 — logarytm różnicy zamieniamy na logarytm ilorazu:

$$\log_2 48-\log_2 3=\log_2\frac{48}{3}=\log_2 16$$

Krok 2 — obliczamy:

$$\log_2 16=4$$

Zaleta metody: $\log_2 48$ osobno jest trudny, ale różnica daje wygodną liczbę $16$.

Odpowiedź: $4$.

Logarytm potęgi to iloczyn wykładnika i logarytmu podstawy:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Uwaga: to nie to samo co $(\log_a x)^n$ — wykładnik „schodzi przed" logarytm, a nie potęguje go.

Odpowiedź: D. $n\log_a x$.

Sposób 1 — reguła potęgi:

$$\log_3 9^5=5\log_3 9=5\cdot2=10$$

Sposób 2 — najpierw potęga. $9=3^2$, więc $9^5=3^{10}$, a $\log_3 3^{10}=10$.

Oba dają $10$ ✔

Odpowiedź: $10$.

Wzór na zmianę podstawy:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Obliczamy $\log_4 8$, przechodząc na podstawę $2$:

$$\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}$$

Sprawdzenie: $4^{3/2}=\left(\sqrt4\right)^3=2^3=8$ ✔

Odpowiedź: $\log_4 8=\frac32$.

$$2^5=32 \quad\Rightarrow\quad \log_2 32=5$$

Odpowiedź: B. $5$.

Krok 1 — logarytm iloczynu:

$$\log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\cdot9)=\log_6 36$$

Krok 2 — obliczamy:

$$6^2=36 \quad\Rightarrow\quad \log_6 36=2$$

Idea. Ani $\log_6 4$, ani $\log_6 9$ nie są „ładne", ale ich suma tak — łączenie logarytmów często upraszcza rachunek.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — wciągamy współczynnik jako wykładnik:

$$2\log_a 3=\log_a 3^2=\log_a 9$$

Krok 2 — łączymy sumę w logarytm iloczynu:

$$\log_a 9+\log_a 5=\log_a(9\cdot5)=\log_a 45$$

Odpowiedź: $\log_a 45$.

Ze wzoru na zmianę podstawy $\log_b a=\frac{1}{\log_a b}$, więc:

$$\log_a b\cdot\log_b a=\log_a b\cdot\frac{1}{\log_a b}=1$$

Wniosek: logarytmy $\log_a b$ i $\log_b a$ są swoimi odwrotnościami.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — zamieniamy $\log_5 8$ na podstawę $2$:

$$\log_5 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 5}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\log_2 5\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8=3$$

Efektowne skrócenie: $\log_2 5$ się skraca, zostaje $\log_2 8=3$.

Odpowiedź: $3$.

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich:

$$x>0$$

Dlaczego: nie istnieje wykładnik, do którego podniesiona dodatnia podstawa dałaby liczbę ujemną lub zero.

Odpowiedź: A. $x>0$.

Krok 1 — łączymy wszystko w jeden logarytm. Różnica to iloraz, suma to iloczyn:

$$\log_2 6-\log_2 3+\log_2 4=\log_2\frac{6\cdot4}{3}$$

Krok 2 — upraszczamy ułamek:

$$\log_2\frac{24}{3}=\log_2 8$$

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Uwaga na kolejność znaków. Wyraz $-\log_2 3$ trafia do mianownika, a $+\log_2 4$ do licznika. Znak logarytmu decyduje o jego miejscu w ułamku.

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — rozkładamy $12$ na czynniki:

$$12=4\cdot3=2^2\cdot3$$

Krok 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_2 12=\log_2\left(2^2\cdot3\right)=\log_2 2^2+\log_2 3$$

Krok 3 — obliczamy każdy składnik:

$$\log_2 2^2=2,\qquad \log_2 3=a$$

Krok 4 — łączymy:

$$\log_2 12=2+a$$

Metoda. Gdy jeden logarytm jest dany jako parametr, rozkładamy liczbę na czynniki tak, by pojawiły się: podstawa (daje liczbę) i znany czynnik.

Odpowiedź: $\log_2 12=a+2$.

Krok 1 — sprowadzamy wszystko do podstawy $2$ wzorem na zmianę podstawy:

$$\log_3 2=\frac{\log_2 2}{\log_2 3}=\frac{1}{\log_2 3}$$

$$\log_4 3=\frac{\log_2 3}{\log_2 4}=\frac{\log_2 3}{2}$$

$$\log_2 4=2$$

Krok 2 — mnożymy wszystko:

$$\frac{1}{\log_2 3}\cdot\frac{\log_2 3}{2}\cdot2$$

Krok 3 — skracamy. $\log_2 3$ się skraca, potem $2$ z $\frac12$:

$$\frac{1}{\log_2 3}\cdot\frac{\log_2 3}{2}\cdot2=1$$

Elegancki wynik. Iloczyn logarytmów „po okręgu" ($3\to2\to4\to$ z powrotem do potęgi $2$) redukuje się do $1$.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — punkt wyjścia: wzór na zmianę podstawy. Zapiszmy $\log_a b$ w podstawie $b$:

$$\log_a b=\frac{\log_b b}{\log_b a}$$

Krok 2 — korzystamy z $\log_b b=1$:

$$\log_a b=\frac{1}{\log_b a} \qquad ∎$$

Interpretacja. Zamiana podstawy z logarytmem odpowiada odwróceniu ułamka. Dlatego np. $\log_2 8=3$, a $\log_8 2=\frac13$.

Sprawdzenie: $\log_2 8\cdot\log_8 2=3\cdot\frac13=1$ ✔ — zgodnie z zadaniem 14.