Wyrażenia wymierne — zastosowania (2)

Skracamy wspólne czynniki licznika i mianownika:

$$\frac{6x}{9x}=\frac{6}{9}=\frac23$$

Odpowiedź: B. $\frac23$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-2$.

Krok 2 — rozkładamy licznik (różnica kwadratów):

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$$

Uwaga: po skróceniu założenie nadal obowiązuje. Wyrażenie równa się $x-2$ wyłącznie dla $x\neq-2$.

Odpowiedź: $x-2$ dla $x\neq-2$.

Mianowniki są jednakowe, więc dodajemy tylko liczniki:

$$\frac{2+3}{x}=\frac{5}{x}$$

Odpowiedź: $\frac{5}{x}$.

Reguła: skracać wolno wyłącznie czynniki — elementy połączone mnożeniem.

W $\frac{x+3}{x+5}$ litera $x$ jest składnikiem dodawania, więc skreślenie jej byłoby błędem.

Test liczbowy dla $x=1$: $\frac{4}{6}=\frac23$, a „po skróceniu” wyszłoby $\frac35$ — inna wartość.

Odpowiedź: C. $x$ jest składnikiem sumy, a nie czynnikiem iloczynu.

Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik, a potem skracamy:

$$\frac{3x}{6x}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$$

Odpowiedź: A. $\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — wspólny mianownik $x(x+1)$:

$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}$$

Krok 3 — dodajemy liczniki:

$$\frac{2x+1}{x(x+1)}$$

Odpowiedź: $\frac{2x+1}{x^2+x}$ dla $x\notin\{-1,\,0\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq3$.

Krok 2 — licznik ze wzoru skróconego mnożenia:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3$$

Odpowiedź: $x-3$ dla $x\neq3$.

Mianownik zeruje się, gdy:

$$x^2-16=0 \quad\Rightarrow\quad (x-4)(x+4)=0$$

Odpadają oba pierwiastki: $4$ i $-4$.

Częsty błąd: pominięcie wartości ujemnej.

Odpowiedź: D. $\mathbb{R}\setminus\{-4,\,4\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq1$.

Krok 2 — rozkładamy licznik pierwszego ułamka:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot\frac{x}{x-1}$$

Krok 3 — skracamy $x$ oraz $(x-1)$:

$$x+1$$

Odpowiedź: $x+1$ dla $x\notin\{0,\,1\}$.

Wspólny mianownik to $2x$:

$$\frac{x}{2x}+\frac{2}{2x}=\frac{x+2}{2x}$$

Uwaga: odpowiedź D pokazuje najczęstszy błąd — dodawanie liczników i mianowników osobno.

Odpowiedź: B. $\frac{x+2}{2x}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ (dzielnik nie może być zerem).

Krok 2 — mnożymy przez odwrotność:

$$\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x^2}=\frac{6x}{3x^2}$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{2}{x}$$

Odpowiedź: $\frac{2}{x}$ dla $x\neq0$.

Sposób 1 — najpierw upraszczamy:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 \quad (x\neq3)$$

$$5+3=8$$

Sposób 2 — podstawiamy wprost:

$$\frac{25-9}{5-3}=\frac{16}{2}=8 \ ✔$$

Wartość $5$ należy do dziedziny, więc oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $8$.

Wyłączamy $2$ przed nawias w liczniku:

$$\frac{2(x+3)}{x+3}=2$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $\frac{6}{3}=2$ ✔

Odpowiedź: A. $2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$ oraz $x\neq0$.

Krok 2 — wspólny mianownik $x(x-2)$:

$$\frac{3x}{x(x-2)}-\frac{x-2}{x(x-2)}$$

Krok 3 — odejmujemy liczniki (uwaga na minus przed nawiasem):

$$\frac{3x-(x-2)}{x(x-2)}=\frac{2x+2}{x(x-2)}$$

Odpowiedź: $\frac{2x+2}{x^2-2x}$ dla $x\notin\{0,\,2\}$.

Wyłączamy $x$ przed nawias w liczniku, a potem skracamy:

$$\frac{x(x+2)}{x}=x+2$$

Uwaga: nie wolno skreślić samego $x$ z $x^2$ i zostawić $2x$ — skracamy dopiero po wyłączeniu wspólnego czynnika.

Odpowiedź: C. $x+2$.

Krok 1 — rozkładamy licznik. Szukamy liczb o sumie $5$ i iloczynie $6$ — to $2$ i $3$:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Krok 2 — rozkładamy mianownik:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 3 — dziedzina (z mianownika przed skróceniem):

$$x\neq2 \quad\text{oraz}\quad x\neq-2$$

Krok 4 — skracamy $(x-2)$:

$$\frac{x-3}{x+2}$$

Kluczowa uwaga: dziedzinę ustalamy zawsze przed skracaniem. Po uproszczeniu mianownik nie zawiera już $(x-2)$, ale warunek $x\neq2$ nadal obowiązuje.

Odpowiedź: $\frac{x-3}{x+2}$ dla $x\notin\{-2,\,2\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — mianowniki są jednakowe, odejmujemy liczniki:

$$\frac{x-1}{x-1}$$

Krok 3 — skracamy:

$$1$$

Uwaga: wyrażenie równa się $1$ dla każdego $x$ z dziedziny, ale nie jest tożsamościowo równe $1$ — dla $x=1$ w ogóle nie istnieje.

Odpowiedź: $1$ dla $x\neq1$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — lewa strona:

$$\frac{5}{x}=\frac{5}{4}$$

Krok 3 — porównanie. Liczniki są równe, więc mianowniki też:

$$x=4$$

Krok 4 — sprawdzenie dziedziny: $4\neq0$ ✔

Kontrola: $\frac24+\frac34=\frac54$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — wydajności. W ciągu godziny pierwszy maluje $\frac14$ pokoju, drugi $\frac16$.

Krok 2 — wspólna wydajność:

$$\frac14+\frac16=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$$

Krok 3 — czas to odwrotność wydajności:

$$t=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}=2{,}4\ \text{godziny}$$

$$0{,}4\cdot60=24\ \text{minuty}$$

Kontrola sensu: wynik musi być krótszy niż praca szybszego malarza ($4$ h) — i jest ✔ Uśrednianie czasów ($5$ h) dałoby wynik bez sensu.

Odpowiedź: razem malują $\frac{5}{12}$ pokoju na godzinę; praca zajmie $2$ godziny $24$ minuty.