Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Oblicz $\log_3 81$.
Ile wynosi $\log_2 8$?
Wyrażenie $\log_2 8$ jest równe:
Dziedziną funkcji $f(x)=\log_2 x$ jest:
Oblicz $\log_2 8+\log_2 4$ na dwa sposoby.
Oblicz $\log_3 81$ oraz $\log_{10}1000$.
Oblicz $\log_3 81$.
Oblicz $f(8)$ dla $f(x)=\log_2 x$.
Liczba $\log_2 32$ jest równa
Rozwiąż równanie $4^x=8^{x-1}$.
Oblicz $\log_5 100-\log_5 4$.
Ile wynosi $\log_5 1$ oraz $\log_7 7$?
Ile wynosi $\log_a 1$ (dla $a>0$, $a\neq1$)?
Wykres funkcji $f(x)=\log_a x$ przechodzi przez punkt:
Liczba $\log_3 81-\log_3 3$ jest równa
Rozwiąż równanie $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$.
Jaka jest dziedzina funkcji $f(x)=\log_2 x$?
Wyrażenie $\log_a(xy)$ jest równe:
Oblicz $\log_5 5$ oraz $\log_7 1$.
Funkcja $f(x)=\log_3 x$ jest:
Liczba $\log_9 3$ jest równa
Rozwiąż nierówność $\left(\tfrac13\right)^{2x-1}\gt 27$.
Rozwiąż równanie $2^x=32$.
Oblicz $\log_2 4+\log_2 8$, korzystając z własności logarytmów.
Oblicz $\log_2 \frac{1}{16}$.
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\log_2(x-3)$.
Liczba $\log_{\sqrt2} 8$ jest równa
Rozwiąż nierówność $\log_{\frac12}(x-2)\ge-3$.
Rozwiąż równanie $3^{2x-1}=27$.
Wyrażenie $\log_a\dfrac{x}{y}$ jest równe:
Wzór na sumę logarytmów o tej samej podstawie to:
Rozwiąż równanie $\log_2 x=4$.
Liczba $\log_4 2-\log_4 32$ jest równa
Masę substancji (w gramach) po $t$ dobach opisuje wzór $m(t)=5\cdot0{,}8^{\,t}$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa substancji po raz pierwszy będzie mniejsza od $1$ grama.
Funkcja $f(x)=\left(\frac12\right)^x$ jest:
Oblicz $\log_2 48-\log_2 3$.
Oblicz $\log_2 4+\log_2 8$, korzystając ze wzoru na sumę logarytmów.
Funkcja logarytmiczna jest funkcją odwrotną do:
Liczba $2\log_3 6-\log_3 4$ jest równa
Temperatura kawy (w $^\circ$C) po $t$ minutach jest równa $T(t)=20+60\cdot k^t$. Po $10$ minutach kawa ma $50^\circ$C. Oblicz temperaturę kawy po $20$ minutach.
Rozwiąż równanie $\log_2(x-1)=3$.
Wyrażenie $\log_a x^n$ jest równe:
Oblicz $\log_3 18-\log_3 2$.
Oblicz $\log_3 27+\log_3 1$.
Liczba $x$ spełniająca równanie $\log_x 49=2$ jest równa
Wykaż, że jeżeli $\log_23=a$, to $\log_624=\dfrac{a+3}{a+1}$.
Ile wynosi $\log_a 1$ dla dowolnej dopuszczalnej podstawy $a$?
Oblicz $\log_3 9^5$.
Wyrażenie $\log_a x^n$ jest równe:
Zbiorem wartości funkcji $f(x)=\log_2 x$ jest:
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Rozwiąż równanie $9^x-4\cdot3^x+3=0$.
Oblicz $\log_2 5\cdot\log_5 8$, korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu.
Zapisz wzór na zmianę podstawy logarytmu i oblicz $\log_4 8$.
Oblicz $\log_2 8^3$, korzystając ze wzoru na logarytm potęgi.
Rozwiąż równanie $\log_5(2x)=2$.
Wiadomo, że $a=\log_2 5$. Zapisz liczbę $\log_2 40$ za pomocą $a$.
Rozwiąż nierówność $\log_2x+\log_2(x-2)\lt 3$.
Rozwiąż równanie $4^x=8$.
Ile wynosi $\log_2 32$?
Ile wynosi $\log_{10} 1000$?
Ile wynosi $\log_{10}100$?
Wiadomo, że $\log_a 2=0{,}3$ oraz $\log_a 3=0{,}5$. Oblicz $\log_a 72$.
Rozwiąż równanie $\log_2(x^2-1)=2+\log_2(x-1)$.
Wykres funkcji $f(x)=a^x$ (dla $a>0$, $a\neq1$) zawsze przechodzi przez punkt:
Oblicz $\log_6 4+\log_6 9$.
Oblicz $\log_2 3+\log_2 \frac{4}{3}+\log_2 2$.
Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x)=\log_3(2x-4)$.
Rozwiąż nierówność $2^x>16$.
Zapisz $2\log_a 3+\log_a 5$ jako jeden logarytm.
Rozwiąż równanie $\log_2 x=5$.
Oblicz $\log_2 32-\log_2 4$.
Oblicz $\log_3 \frac{1}{9}$ oraz $\log_{\frac13} 9$.
Wyrażenie $\log_a b\cdot\log_b a$ jest równe:
Ile wynosi $\log_4 2$?
Funkcja $f(x)=\log_{1/2}x$ (podstawa $\frac12$) jest:
Które wyrażenie jest równe $\log_a x^3$?
Oblicz $\log_2 5\cdot\log_5 8$, korzystając ze zmiany podstawy.
Rozwiąż równanie $\log_3(x+1)=2$.
Rozwiąż równanie $\log_2(x-1)=3$.
$$\log_a b=c \iff a^c=b \qquad (a>0,\ a\neq1,\ b>0)$$
Logarytm to wykładnik, do którego podnosimy podstawę.
$$\log_a 1=0,\qquad \log_a a=1$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y \quad\text{(iloczyn → suma)}$$
$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y \quad\text{(iloraz → różnica)}$$
$$\log_a x^n=n\log_a x \quad\text{(potęga → mnożnik)}$$
$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$
Pozwala sprowadzić dowolny logarytm do wygodnej podstawy. Wniosek: $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$, więc $\log_a b\cdot\log_b a=1$.
Trudne logarytmy często upraszczają się dopiero po połączeniu: $\log_2 48-\log_2 3=\log_2 16=4$, choć każdy z osobna nie jest „ładny".
$\log_a x^n=n\log_a x$ to nie to samo co $(\log_a x)^n$ — wykładnik schodzi przed logarytm. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich.
Co robi: pozwala rozbijać i łączyć logarytmy oraz przeliczać je na inną podstawę.
Elementy: $a,b,c>0$ i różne od $1$, $x,y>0$. Logarytm iloczynu to suma, ilorazu — różnica, potęgi — mnożnik.
Wartości szczególne: $\log_a 1=0$, $\log_a a=1$.
Przykład: $\log_2 48-\log_2 3=\log_2 16=4$; $\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac32$.
Wniosek ze zmiany podstawy: $\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$, więc $\log_a b\cdot\log_b a=1$.
Pułapka: $\log_a x^n=n\log_a x$ to nie to samo co $(\log_a x)^n$. Logarytm istnieje tylko dla argumentów dodatnich.
Co robi: zamienia mnożenie na dodawanie, dzielenie na odejmowanie, a potęgowanie na mnożenie — to główne narzędzie przy równaniach wykładniczych.
Elementy: podstawa $a>0$, $a\ne 1$; argumenty $x,y>0$. Definicja: $\log_a b=c \iff a^c=b$. Wartości bazowe: $\log_a 1=0$, $\log_a a=1$.
Przykład: $\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5$; $\log_3 81=\log_3 3^4=4$; $\log_5 100-\log_5 4=\log_5 25=2$.
Pułapka: $\log_a(x+y)$ nie upraszcza się do niczego — wzór działa tylko dla iloczynu. Zawsze też sprawdzaj dziedzinę: argument logarytmu musi być dodatni, co przy równaniach eliminuje część rozwiązań.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.